垂直平分线

垂直平分线 若,17,,8,試求。BMCMAC A P B C M 重點1 垂直平分線 如圖,?ABC中,?C,90?,?,且交PMABAC 重點2 三角形的外心 於P點,M為中點, AB 若,50,,40,試求。APACBC 如圖,農場主人為了方便,要建一口水井距離三地 等距離,試問水井應該建於圖中何處,請用尺規依 連接, BP下面的作法完成作圖。 ?PM?AB,M為AB中點 C (1)連接AB、。 AC?AP,BP P (2)分別作AB、的中垂線交於O點, AC設,x,,50,x APCP 222x,:50,x:,40 則O點即為所求。 A B M x,41 B果園 故AP,41 A菜園 1. 如圖,?ABC中,?C,90?,?,且交PMAB O 於P點,M為AB中點, AC 若,32,,24,試求PM。ACBC C養豬場 C P 1. 坐標平面上兩點A:,6,2:、B:2,,2:,則坐標 A B M 1 平面上四點P:0,4:、Q:,,2:、R:1,6:、S2 1:,5:,哪一點不在的中垂線上, AB 2 ABPM2. 如圖,?ABC中,?C,90?,P為中點, AB?,且交於M點, BC 2. 坐標平面上三點A:,3,2:、B:,3,,6:、C:3, ,2:,試求?ABC的外心坐標。 ,8,2. 如圖,鈍角三角形ABC內接於圓O,若AB 弦心距為3,試求?ABC的外接圓半徑。 A B C O 重點3 特殊三角形的外心 重點4 外心圓心角的度數 如圖,?ABC中,AB,,17,,16,試ACBC 求?ABC的外接圓半徑。 :圓O為?ABC的外接圓,若,160?,?B,AB作AM?於M點, BC 40?,試求?BOC。 1?AB,,?BM,,,8ACCMBC2 :?B,40?,,80? AC :22AM,,15 ,360?,160?,80?,120? BC178, 設O為圓心,半徑為x OA故?BOC,120? A ,15,x OM 222 x,:15,x:,8 O 2891. 圓O為?ABC的外接圓,若?B,30?,?C,x, B C 30M 40?,試求?BOC。 289故外接圓半徑為 30 1. ?ABC中,?C,90?,,8,,6,試求ACBC ?ABC的外接圓面積。 (A)?ABC 2. 圓O為?ABC的外接圓,若?BOC,130?,試 (B)?BDE 求?A。 (C)?ACD (D)?AFD : :3. O為?ABC的外心,若?A,70?,?C ,80?,則?BOC,, (A)35? (B)140? (C)60? (D)160? : :4. 如右圖,長方形ABCD 中,、交於OBDACD A 點,?於MABOM 點,?ACB,60?,ACM O ,10,若?AOM的面 積為a,?BOC的面積B C 為b,則下列敘述何者 錯誤, (A),8 AB (B)b,2a 綜合練習(一) (C)O為?ABC的外心一,選擇題,每題8分,共40分, (D)?AOD為等腰三角形 : :1. 如右圖,?ABC中, ?C,90?,E為中ACA : :5. 若下列四組數皆代表三角形的三邊點,?,若DEAC 長,則哪一個三角形的外心在三角形D ,5,,6,則ADACE 外部, ?BCD的周長為B (A)2、3、4 (B)3、4、5C 何, (C)4、5、6 (D)5、6、7 (A)16 (B)17 二、填充題,每格8分,共24分, (C)18 (D)20 1. 如右圖,?ABC中,M為中BC A : :2. 如右圖,A、B、C、BH點,高與交於H點,ACH D、E五點在圓O上,A AB若,16,,20,,BCAC BD、交於F點,ACB E 15,則HM, 。B C O 則O點不是下列哪一F M 個三角形的外心,C D 2. ?ABC為圓O的內接三角形,若?ACO,20?,點,與交於P點, ADBC 則?B, 。 若?A,54?,?Q,42?,試求?P。 3. ?ABC為圓O的內接三角形,若?AOB,150?, 則?C, 。 Q ?A、B、C、D四點共圓, ??A,54?,?DCP,54?。 B 三,計算題,每題18分,共36分,又?CDP,?A,?Q C ,54?,42? P A ABC的外接圓,若?OBC,30?,?C1. 圓O為?D ,96? ,?B,20?,則?AOB,, ??P,180?,?DCP,?CDP ,180?,54?,96? ,30? 1. 如圖,A、B、C、D四點共圓,與交於ABDC Q點,與交於P點, ADBC 若?P,46?,?Q,36?,試求?A。 2. 如圖,將?ABC沿摺痕對摺,使B點與CDE A 點重疊,若,17,,15,,20,ADDEECAC ,26,則?ABC的面積為何, B Q D C A A D D P B C B C E E 2. 如圖,A、B、C、D四點共圓,AB與交於DC P點,若?PBC,80?, ?P,44?,且CD,70?,試求?BOC。 P B C O A D 重點5 四邊形的外接圓 AB如圖,A、B、C、D四點共圓,與DC交於Q 重點6 四邊形外接圓的應用 如圖,?ABC中,?,?,試證?BDABACCE A ADE,?ABC。 重點7 外心的應用 E D ?,?, ?BDABACCEB C 如圖,正三角形ABC的邊長為12,試求?ABC的??BEC,?BDC,90?, 外接圓面積。 因此以為直徑作圓, BC 則此圓必通過D、E兩點:半圓的圓周角為直角:, 分別作、的中垂線與,且交於OAMBCACBN 點, 即B、C、D、E四點在同一圓上, ?O為?ABC的外心。 ??ABC為正三角形, 故?ADE,?ABC。 ?即為?ABC的高,,,6,,AMBMAMCM A 36 設,,x,,63,xOAOBOM1. 如圖,?ABC中,?,?,、BDABBDACCEN O 交於O點, CE2223x,:6,x:,6 B C 試證A、D、O、E四點在同一圓上。M 3x,4 33故外接圓面積,4〃4〃π,48πA E D O 1. 如圖,鳶形ABCD中,?BCD為正三角形,若ABB C ,17,,30, BC 試求四邊形ABCD的面積。 A B D O 2. 如圖,B、M、O、N四點在圓P上,為直徑,OB 圓P的半徑為5,若,8,,6,且AB、OMON 為圓O的弦,試求AB,。BCBC C A M O ABBE2. 如圖,?ABC中,,,與交於FACCD:: P 點,若DE//,?A,50?,,,30?,BCBDDEB N C 試求?DBE。 A D E F 錯誤, (A)若,1,則,,,2ABDFBC2 (B)若,1,則,,,3ABEFDE2 2 (C)若,1,則,,,ABDEDF2綜合練習(二) 2 一,選擇題,每題8分,共32分, 3 (D)若,1,則,,,EFABDF22: :1. 如右圖,圓內三弦 、、,L、ABEFCDP M、N三點分別為此A :4. 如右圖,ABCD為圓:F P B 三弦的中點,若要AB內接四邊形,與N L A 找到一個點O,使B 交於P點,、DCACE Q C M O到三弦等距離,交於Q點,則下BDQ R D C 則下列敘述何者正D 列敘述何者錯誤, 確, (A)?ABD,?ACD(B)?PAD,?PBC (A)O為、中垂線的交點ABCD (C)?PDA,?PBC(D)?CAD,?DBC QN (B)O為PM、的交點 QR (C)O為、RP中垂線的交點二、填充題,每格8分,共32分, (D)O為、中垂線的交點MNNL1. O為鈍角三角形?ABC的外心,若?B,28?, ?C,42?, 則?OAB, 。 : :2. 坐標平面上三點,A:,16,0:、B:0, ,12:、C:9,0:,則?ABC的外心坐2. 如右圖,?ABC中,AD? A 標為何, ,E、F分別為AB、 BC (A):,3.5,,4:(B):,3.5,4:E F 的中點,若AB,12,AC ,16,,10, B BCACC D (C):,3.5,,:(D):3.5,0:則,DEDF , 。: :3. 如右圖,?ABC的三 A 內角為45?,45?,ABBD3. 鳶形ABCD中,若,26,,48,,BC90?,?DEF的三內B C 40, 角為30?,60?,D 則ABCD的外接圓半徑為 。90?,若,DE,AC 則下列敘述何者F E 4. O為正三角形ABC的外心,若?ABC的面積為 9,則?ABC的外接圓面積為 。平分?ABC,?,?,31. 如圖,BPPAABPCBC 若//,且交於D點,試證四邊形ABCDBPADBC 為菱形。 三,計算題,每題18分,共36分, A D P 1. 如圖,ABCD為圓O的內接四邊形,與ABDC 交於P點,與交於Q點,若?P,46?,ADBCB C ?Q,32?,則?PCQ,, P B C 2. 如圖,?ABC中,?C,90?,回答下列問題: Q A D (1)求作一圓,使圓心O在邊上,且與、ABBC 兩邊相切,請用尺規依下面的作法完成AC 作圖。 1?作?A的角平分線,交於O點,。 BC2. 如圖,?ABC中,?B,45?,?C,30?,將三 2?以O為圓心,為半徑畫圓,則圓O即OC角形沿著AH對摺,使得B點與D點重疊,若CD 為所求。 ,10,則AB,, (2)承上題,若AB,20,,12,試求圓OACA 的半徑。 C B H D A B C 重點8 角平分線 AB右圖為一公園,A為大門,若要建一個涼亭與、重點9 角平分線的應用 AD、等距離,請用尺規依下面的作法完成作CD 圖。 如圖,?ABC中,BD平分?ABC,DE//,若BC AEAB,4,,10,試求。 BC(1)作?A的角平分線L。 B C (2)作?D的角平分線M。 M L BDDE?平分?ABC,//BC, (3)設L與M交於I點, I ??EBD,?DBC,?EDB, 則I即為所求。 A D A BE則,DE,10,4,6 D E B C 又?AED,?ABC 三邊的切點分別為D、E、F, 22 4:10,6: BC,,,3 3ADAF63, 22 ,15 BC,,,4 BEBD53, 22 ,,,7 CFCE43, ?ABC的周長,2〃:3,4,:,8,6,3731. 如圖,?ABC中,,,平分?BAC,ABATAC27 ?,若,13, BDABAC ,10,試求。 BDBC 1. O為?ABC的內心,?C,90?,若,17,ABBC A ,15,試求?ABC的內切圓半徑。 D B C T 2. 如圖,，,平分?ABC,平分?ABBFACCF2. 如圖,O為?ABC的內心,//,若,ABDEBCACP,//,若AB,21, DFBC17,,15,,13,試求。DEBCAC ,7,,10,試求。ADCEBC A A E D F O D E B P C B C 重點10 三角形的內心 如圖,O為?ABC的內心,D、E、F為切點,圓 O的半徑為3,若,6, OA 綜合練習(三) A ,5,,4,試求?ABC的周長。OBOC 一,選擇題,每題8分,共32分, D O F B C E : :1. 如右圖,?ABC平分?BAC (C)AP 中,?C,90?, (D)?ADE的周長,21C ?CAD,? D BAD,若,AB A B 25,,15,BC 則?ACD:? ABD的比值為 何,二,填充題,每格8分,共32分, 343 (A) (B) (C) (D)11. 如右圖,?ABC中,平AD554C 分?BAC,?, ABDE F D ?,若,20,ABDFAC : :2. 如右圖,直角三角形,16,?ABC的面積 AC A ABC中,?C,90?,為153,則DEB A E 平分?BAC,APCP, 。 平分?ACB,若AB P ,10,,8,則BCCP2. 坐標平面上,的直線方程式為3x,4y,24,ABB C ,,O為原點,若I為?AOB的內心,則?AIB的面 積為 。 (A) (B)2 (C)3 (D)222 3. 如右圖,將四邊形ABCD 由對角線對摺,使DACD C : :3. 平面上兩點A:0,6:、B:8,0:,O為點落在AB上,且與E點 原點,I為?AOB的內心, 重合,若AB,20,,AC 若?,?,則下列敘述IEIDOAOBB A 16,,12,且?ABCAEE 何者錯誤, 的面積為100,則ABCD (A)?AIB的面積為20的面積, 。 (B)四邊形ODIE為正方形 4. 如右圖,長方形ABCDA B 中,E為中點,沿AD (C)I的坐標為:2,2: BE、切下後得到?CEE O BCE,圓O為?BCE的內 (D)IB平分?OBA D C 切圓,若AB,15,,AD : :4. 如右圖,?ABC16,則圓O的半徑 中,?1,?2,?3為 。 A ,?4,DE//,BC AB,16,,若BC P 14,,12,則下ACD E 三,計算題,每題18分,共36分,4 1 列敘述何者正確,2 3 B C AD1. 如圖,已知梯形ABCD,求作一圓與、CD、BP (A),PC 三邊相切,請用尺規依下面的作法完成作BC (B)P為?ABC的外心圖。 1?作?ADC的角平分線L。 1 :?B,?C:,30?,2. I為?ABC的內心,?A,22?作?BCD的角平分線M。 試求?BIC。 A B 3?設L與M交於O點。 4?過O點作?。OHCD 5?以O為圓心,為半徑OH D C 畫圓, 則圓O即為所求。 2. 坐標平面上三點A:0,12:、B:,9,0:、C:16,0:,試求?ABC內心的坐標。 重點11 內心圓心角的度數 重點12 內心的應用(一) 如圖,I為?ABC的內心,若?BIC,:?1,?2:,50?,試求?A。 如圖,I為?ABC的內切圓圓心,AB,,若ABAC ,17,,16,試求圓I的半徑。BC設?1,?2,x? A ??BIC,x?,50? x,50,x,180 作?,?平分,BD,8ADADBCBCx,65 I ?A,180?,2:?1,?2:,50? 1 2 22B C ,,15 AD178, 設圓I的半徑為r 111. I為?ABC的內心,?A,70?,試求?BIC。AB?ABC,〃AD〃,〃:,,:〃BCACBC22 r 11〃16〃15,〃:16,17,17:〃r 22A 120,25r 24I r, 5B C D 1. 如圖,I為?ABC內切圓的圓心,,,ABADAC ,15,1. I為?ABC的內心,?C,90?,若ABAC?於D點,若,14,,24,試求圓ADBCBC ,12, I的半徑。 試求?AIB:?BIC:?AIC。 A I C B D 2. 坐標平面上三點A:0,15:、B:,20,0:、C:20,0:, 試求?ABC內切圓圓心的坐標。 2. I為?ABC的內心,若?A,30?,?B,60?, ?C,90?, 試求?AIB:?BIC:?AIC。 重點13 內心的應用(二) 如圖,I為?ABC的內心,若內切圓的半徑為6,重點14 內切圓與外接圓的應用 且IA,12,IB,15,,10, IC 試求?AIB:?BIC:?AIC。 A ?ABC中,?C,90?,若外接圓半徑R,20,內AB設D、E、F分別為、、的切點BCAC 切圓半徑r,6,試求?ABC的面積。 D F 22 3AD,AF,,6 126,I B 22C BEBD,,,3 21E 156, ?直角三角形的兩股和,斜邊長,2r,2R,2r22,,,8 CFCE106, ABI為內心,?AIB:?BIC:?AIC,::BCAC ?,,40,12,52 ACBC 1AB又?ABC,〃r〃:,,:ACBC3?AIB:?BIC:?AIC,:6,321:::321,2 38:::8,6: 1可以正確找到P點,,〃6〃:2R,,:ACBC2 (A)作、、的三中垂線的交點ADCDBC ,3〃:40,52: ,276 (B)作的中垂線與?ADC平分線的交點BC (C)作的中垂線與?ADC平分線的交點AD 1. ?ABC中,?C,90?,,17,,15,試ABBC 求外接圓半徑與內切圓半徑。 (D)作?ADC平分線與?ABC平分線的交點 : :2. I為?ABC的內心,D為中點,若BC ,5,,4,則下列敘述何者ABAC 錯誤, ABD:?ACD,5:4 (A)? (B)?AIB:?AIC,5:4 (C):,5:4BDCD (D):,5:4 BICI2. ?ABC中,,,20,,24,試求內ABACBC 切圓半徑與外接圓半徑。 : :3. I為?ABC的內心,若?A,76?,?B ,38?,則?AIB,, (A)123? (B)128? (C)109? (D)114? : :4. 如圖,I為?ABC的內心,?A,76?, 若亮亮從P點出發,沿著箭頭的方向 走,經過B?I?C?A,回到P點, 則亮亮轉了幾度, A (A)360? I (B)412? P (C)464? C B (D)720? 綜合練習(四) 二,填充題,每格8分,共32分,一,選擇題,每題8分,共32分, 1. I為?ABC的內心,?A,90?,?B,30?,若: :1. 四邊形ABCD中,若要找到一點P, ,6,回答下列問題: ACAD使P到B、C兩點等距離,且P到、 (1)?AIC, , 兩邊距離相等,則下列作法哪一種CD (2)內切圓直徑為 。 2. 圓A、圓B與圓C兩兩外切,三圓的半徑分別 為5、10、15,若I為?ABC的內心,回答下列問 題:(1)?ABC的外接圓半徑為 , (2)?AIC的面積為 。 三,計算題,每題18分,共36分, 內心,,,12,若?AIB1. I為?ABC的ACBC ,135?,則?BCD的面積,, 重點15 中線 如圖,?ABC中,,,17,,16,DABACBC 為中點,試求?ABD的面積。BC 過C點作?AB於E點, CE 22?AE,8,,,15,CE178, 1C ?ABC,〃16〃15,120 2 1 又D為中點,?ABD,?ABCBCD 22. 坐標平面上三點A:3,9:、B:,6,,3:、C:8, ,3:,則?ABC的內心坐標為何, A B E ??ABD,60 1. 如圖,?ABC中,D、E分別為、中點,ADBC AB,,15,,18, ACBC 試求。 CE A E B C D 2. 如圖,?ABC中,?C,90?,D為中點,AC 2. 如圖,G為?ABC的重心,?C,90?,?A,若,,2,,10, ABBCCD ,4, 30?,若BC試求?ABD的面積。 試求、與。 BEADCF C C D E D A B G A B F 重點16 三角形的重心 重點17 重心的應用 如圖,?ABC中,、、為三中線,若BEADCFBG ,18,,4,,7, DGFG如圖,ABCD為平行四邊形,E為的中點,若BC試求三中線長的和。 ?BEG的面積為2,試求平行四邊形ABCD的面 積。 A ,3,3〃4,12 ADDG 33F E 連接,且交BD於O點, ACBE,〃,〃18,27 BGA D 22G ?O、E分別與中點, ACBCB C D ,3,3〃7,21 CFFGO ?G為?ABC的重心 G ,BE,,12,27,21,60ADCF又?BEG,2,B C E ??ABC,6〃?BEG,6〃2,12 故平行四邊形ABCD的面積,2〃?ABC,2〃12 AB1. ?ABC中,,,15,,18,若E為ACBCAC,24 BE中點,試求。 BDAB1. 如圖,C、E分別為、的中點,、DEAC 交於G點,若?CDG的面積為1,試求?ABC 的面積。 A E G B D C 2. 如圖,C、E分別為、的中點,、BDABDEAC 交於G點,?, BDAC 2. 正三角形ABC中,內切圓的面積為4π,試求若?CDG的面積為20,,16,試求。BDEG ?ABC的面積。 A E G D B C 重點18 正三角形的心 綜合練習(五) 如圖,G為正三角形ABC的重心,若,2,CG 一,選擇題,每題8分,共32分, 試求:(1)?ABC的面積。 (2)?ABC的內切圓面積。: :1. 如圖,健民想用食指撐起一塊質地 均勻的等腰三角形積木,並保持平 衡不掉下來,若健民量出AB, ??ABC為正三角形 13,,10,則下列敘述何者BC 3?::,2:1: CGDGCD錯誤, A 3 ,2,,1,, CGDGCD (A)G為?ABC的重心A 3故,2 BCF E B32G G (B),8 AG33則?ABC,〃:2:,3 A 4B C D (C), BG41C 2因此內切圓面積,π〃1,π (D)?ABG的面積,40 AB1. 正三角形ABC中,若,6,試求外接圓的半: :2. 如右圖,Q為? A 徑與內切圓的半徑。 ABC的重心,P P E Q B C 為中點,則AD二、填充題,每格8分,共32分, 下列敘述何者 錯誤, 1. 如圖,G為?ABC的重心,若四邊形CDGE的 面積為6,則?ABC的面積為 。1 (A)?ABP,?ABC 4 A 1 (B)?BQD,?ABC E 6G C B D 1 (C)?CPQ,?ABP22. O為?ABC的外心,G為?ABC的重心,?C ,90?,若,18,,24, BCAC (D)?CDP,?ABP 則, 。 OG : :3. ?ABC中,D、E、F分別為三邊、BC3. 如右圖,G為?ABC的重心,AB、的中點,若G為?ABC的重ABCA,,?,若,12,BEACCFBCA 心,則下列敘述何者正確,則(1)四邊形AEFG的面積 F 為 , E G (A)G為?DEF的內心(2)AB, 。 B C (B)G為?DEF的重心 (C)G為?DEF的外心 三,計算題,每題18分,共36分, (D)G為?DEF內任一點 1. 如圖,?ABC中,M為中點,?,ABCMAC 若AB,10,,4, ACA : :4. ?ABC中,D、E、F分別為三邊、BC則:(1)?BCM的面積為何, 、AB的中點,若P為?ABC的內CA (2),, BCM C 心,則下列敘述何者正確, (A)P為?DEF的外心B (B)P為?DEF的內心 (C)P為?DEF的重心2. 如圖,ABCD為平行四邊形,M、P、Q分別為 PQAMBD、AD、的中點,、分別與BCCD (D)P為?DEF內任一點AB73交於G、H兩點,若,10,,2,且BC AMBD?, 則:(1),, GH PQ (2),, P A D O H Q G B C M