2010信息安全数学基础试题A - 答案

2010信息安全数学基础试A - 计算机学院2009—2010学年《信息安全数学基础》考试答案 A卷 闭卷 考试时间: 2010 年 7 月 1 日 专业 班级 学号 学生姓名 题号 一 二 三 四 五 六 总分 核对人 题分 5 15 10 40 15 15 100 得分 一. 证明:若，则。(5分) pabpcd|(10)|(10),,和padbc|(),得分 评卷人 证明: p|c(10a,b),a(10c,d),ad,bc 得分 评卷人 236100xyz，，,,二. 求解线性方程组.(15分) ,3570xz，, , 3x，5z,13x，5z,70解:由有特解,故的解为: x,,3,z,200 ,代入得:.同样,由有特解x,,210，5t,z,140,3t2x，3y，6z,1008t,3y,3208t,3y,1 ,得的解为.综上可得原线性方程组的解为: t,2,y,58t,3y,320t,640，3s,y,1600，8s00 x,2990，15s, ,y,1600，8s,s,Z , ,z,,1780,9s, 得分 评卷人 x,2(mod9), ,21(mod15)x,三.求解同余式组.(10分) , ,43(mod7)x,, 解:原同余式组等价于: x,2(mod9)x,2(mod9),, ,,x,8(mod15)x,3(mod5),可化简为,根据中国剩余定理可得,其解为: x,83(mod315),, ,,x,6(mod7)x,6(mod7),, 得分 评卷人 四(求解同余式。 70244(1)(10分) 62717200(mod45).xxxx，，，, 244,x，2x，2x,0(mod5)244解:原同余式等价于: ,由可得x，2x，2x,0(mod5),704xxx6，8，2,0(mod9), 704704x,0,1,,1(mod5)x,0,,1(mod3).由,可得,即 6x，8x，2x,0(mod9)6x，8x，2x,0(mod3) 693704x,0(mod9)由f'(x),420x，32x，2,可得6x，8x，2x,0(mod9)解为. 1 根据中国剩余定理得原同余式的解为: . x,0,9,36(mod45) 2(2)(15分) x,73(mod118). 14,,解:因为,原同余式无解. ,,1,,59,, 23(3)(15分) xpxpp，,0(mod),其中为奇素数。 2解:令,则,首先考虑,它有唯一解. x,0(modp)f'(x),2x，pf(x),0(modp)f(x),x，px0 2于是,可设.再考虑,利用泰勒公式展开有: x,pt,t,Zf(pt),0(modp) 22,因此,的解可表示为: t,0,1,2,？p,1(modp)f(0)，pf'(0)t,0(modp)f(x),0(modp) 2223.于是可设.最后考虑,x,pk(modp),k,0,1,2,？p,1x,pk，pt,t,Zf(pk，pt),0(modp)1 2322223利用泰勒公式展开有:,即, f(pk)，pf'(pk)t,0(modp)pk，pk，p(2pk，p)t,0(modp) 2得到,所以.. k,0或者p,1t,0,1,2,？p,1(modp)k，k,0(modp) 综合以上,可得原同余方程的解为 2323,. t,0,1,2,？p,1x,tp(modp),和x,p(p,1)，tp(modp) 也可写作: 2323,. t,0,1,2,？p,1x,tp(modp),和x,tp,p(modp) 2得分 评卷人 的全部7次剩余。(15分) 五(求出模29 2,(29) 222(7,,(29))a,1(mod29)29解: 是模的全部7次剩余,当且仅当,因此可寻a 2,(29)2012115b29找一个阶为=116的元素,所有的模的全部7次剩余可表示为. b,b,b,？,b2(7,,(29)) 27b首先证明2是模29的原根,再证明2也是模29的原根,所以2的阶为116，为所求的. 得分 评卷人 3xx，，1Z[]x六(试列出有限域的对数表，并求出其中元素4322xxxx，，，，1 的阶及其乘法逆元。(15分) x，1(1)判断是本原元(x不是本原元)，从而列出对数表. 15311xx，，1(2)从对数表中可知=,因此其阶为,15，也是本原元. (1，x)(11,15) 32,114x，x，x(3)乘法逆元为，从对数表可得该元素为. (1，x),(1，x) 2