吊点激励作用下平面摆与锥摆运动摆角频率研究

吊点激励作用下平面摆与锥摆运动摆角频率研究 吊点激励作用下平面摆与锥摆运动摆角频 率研究 184 四川建筑科学研究 SichuanBuildingScience 第37卷第4期 2011年8月 吊点激励作用下平面摆与锥摆运动摆角频率研究 苏红霞,吴植武 (1.华南国际工业原料城(深圳)有限公司,广东深圳518111; 2.平安信托投资有限责任公司,广东深圳518034) 摘要:分析调谐转动惯量阻尼器(TunedRotaryInertiaDamper,TRID)?剖控制悬吊结构摆振时发现:对吊点激励作用下的平 面摆摆振,当TRID控制器的频率与吊点激励调频一致时,能得到预期的控制效果,这与TMD(TunedMassDamper)的减振原 理吻合;然而,对吊点激励作用下的锥摆摆振,当TRID控制器的频率与吊点激励调频一致时,实际控制效果与预期大相径庭. 针对这个问题,该文由摆振运动模型人手,从理论上分析了锥摆摆振的运动特点,找到了引起锥摆摆振运动的根本原因;并将 锥摆摆振与平面摆摆振的区别做了详细分析,在此基础上,预测了平面摆与锥摆摆角频率的关系;最后,利用数值验证了 上述两种摆摆角频率关系的存在性. 关键词:平面摆;锥摆;摆角频率;吊点激励 中图分类号:TU311.3文献标识码:A文章编号:1008—1933(2011)04—184一O7 Researchonfrequencyrelationofthependulumangularbetweenthe planarpendulumandtheconependulumunderthepointsource excitations SUHongxia.WUZhiwu (1.ChinaSouthIntemationalIndustrialMaterialsCity(Shenzhen)Co.,Ltd.,Shenzhen518111,China; 2.ChinaPinganTrust&Investment,Shenzhen518034,China) Abstract:Whenthefrequencyofthetunedrotaryinertiadamper(TPdD)isconsistentwiththepointsourceexcitations,thecontrol effectforthevibrationoftheplanarpendulumisperfectandthisisaccordancewiththevibrationcontrolprincipleofthetunedmaS8 damper.ButforthevibrationoftheconependulumunderthepointSOUrCeexcitation,eventhefrequencyoftheTRIDconsistentwiththe pointsourceexcitations,theexpectedcontroleffectcannotbeobtmned.Thisstudyanalyzesthecharacteristicsoftheconependulum vibrationtheoreticallybasedonthevibrationmodelandfindoutthesubstantialcauseoftheconependulumvibration.Thedistinction betweenthevibrationoftheplanarpendulumandtheconependulumiselaboratedinthefollowing.Basedonallofaboveresearches thisstudyproposesthefrequencyrelationofthependulumangularbetweentheplanarpendulumandtheconependulum.Inthelast, theeffectivenessoftherelationisprovedthroughthenumericalanalysis. Keywords:planarpendulumvibration;conependulumvibration;frequencyofpend~umangular;pointsourceexcitations 0引言 大家对单摆都不陌生:一根摆绳的一端栓住一 固定轴,另一端系上一质量块,这样便构成了一个最 简单的单摆.GREGORYL.BAKER和JAMESA. BLACKBURN在文献[3]中以整本专着的形式详细 介绍了非线性简单摆,傅科(勒特)摆(Foueault pendulum),扭转摆(Torsionpendulum),混沌摆 (Chaoticpendulum)等;针对机械工程中的具体问 题,董晓明等?建立了塔式起重机吊钩摆振模型. 牧稿日期:2010-02-03 作者简介:苏红霞(1983一),女,黑龙江齐齐哈尔人,工学硕士,主要 从事结构振动控制研究. E—mail:suhongl040@sina.COrn 目前,摆的研究主要集中于倒立摆的稳定性引,而 对摆在吊点激励作用下摆振的被动控制研究较少. 在某些复杂环境下,被动控制对吊点激励下的摆振 有着无可替代的优势,如海上作业的起重铺管船的 吊钩在浪涌间接激励下引起的摆振控制,为此,张春 巍,吴植武等建立了吊点任意激励下悬吊结构 TRID控制的摆振模型.本文作者针对前期工作中 遇到的问题,对平面摆,锥摆摆振的摆角频率做了深 入分析,为今后摆振的被动控制做了必要的准备 工作. 1吊点无激励作用下的悬吊结构的 平面摆运动与锥摆运动 为便于描述吊点的空间位置,将非惯性系一Y 2011No.4苏红霞,等:吊点激励作用下平面摆与锥摆运动摆角频率研究l85 一 坐标原点0与悬吊结构吊点s.重合,将空间惯 性系—l,一z坐标原点固定在吊点初始静止位置. 非惯性系一Y—与惯性系一】,一Z相应的坐标轴 相互平行且正方向一致,非惯性系只能在空间惯性 系中作平动运动,如图l所示,建立悬吊结构m的 球面坐标系,图中0为悬吊结构空间锥摆运动摆角, 为水平投影面内悬吊结构相对非惯性系轴的转 角L2,悬吊结构的空间轨迹如图2所示. 图1悬吊结构坐标系统 Hg.1Coordinationsystemofsuspensorystructure /I11 图2悬吊结构空间轨迹 Fig.2Spacetrackofsuspensorystructure 悬吊结构在吊点任意运动激励下的摆振模型为 以下两式: ml=一mglsinO—mla曲cosOcosq~一m1%ocosOsimp+ mla?sinO+mlsinOcosO(1) ,扎(/sinO)=m(/sinO)axosin~o—m(/sinO)们coscp一 2m(1sinO)z郎cosO(2) 1.1吊点无激励作用的悬吊结构平面摆运动与锥 摆运动的理论分析 不考虑吊点激励作用,式(1),(2)简化为以下 两式: =一 粤8in0+sinOcosO =一 ?cos 由式(4)人手,司求出结构摆角的最低点,推导 过程如下: dt=一sinO?cos(5)'r.…\, 警一cos咖警一2dsin nIl :(6)—sin—20(6) 代人初始条件.,Oo,可得待定系数: c1=osinoo(7) 将式(7)代人式(6)得: : ~osin20o(8) —?_-互一 将式(8)代入式(3)得: / ~-sinO+cos(9a) 将d=d0d,代入式(9a)得: 塑 dt 幽~dt2:(一+cos刚 (9b) (dO2/-~cosO一 +c2(10) 代人初始条件Oo,Oo得: : 2 , gc.s一 sin2oo+C2C2:一事c.s00+ +sinOo(11) 将式(11)代入式(10)得: =一一sin+ (12) 令:=/-ffcosO一一2^c0gs+Sln' sinOo+(13) 令:=一c.s+sin+(14) 在式(13)中,令0)=0,即可求出结构摆角0 最低点的理论解.由式(12)可知,结构摆角最低点 的位置只与00,oo,.相关.式(14)为式(13)的常 数项,不难看出,式(14)是吊点无激励的悬吊结构 的初始能量之和,其中第一项为重力势能,后两项为 动能.式(13)中,若令=0,则式(13)变为: (3)=竽cos一cos+ (4)cos一=竽cos一 m肌舢 暑,? 186四川建筑科学研究第37卷 此式表示悬吊结构无非保守力作功平面摆振运 动能量守恒.由此可见,.从根本上决定了结构是 作平面摆运动还是作锥摆运动,因此,悬吊结构最低 点的位置由结构初始能量和运动方式决定. 1.2吊点无激励作用的悬吊结构平面摆与锥摆运 动特性的数值分析 工况1:平面摆:口如=0v0=口曲=0 g=,=9.8 0o=0.1 .=0 锥摆:口如:口v0=口棚=0 g=Z:9.8 00=0.1 .=0.1 工况1参数设置下悬吊结构分别作平面摆摆振 运动和锥摆摆振运动.式(13)实际上定义了一个 能量函数,很明显该函数是偶函数,图3是两种运动 状态下该能量函数与摆角0的关系曲线,该图3中: 工况l平面摆运动能量函数存在对称的两个零点, 分别是平面摆运动左右两边的最高点;锥摆运动能 量函数存在两对不同的零点,0=0是该能量函数 的奇异点,由于能量函数值不能为负数,因此锥摆运 动的摆角不能为0,根据摆角在运动过程中的连续 性,摆角只能在图5中坐标横轴正半轴(或负半轴) 两个零点之间变化. 图3结构摆角能量函数曲线 Fig.3Relationshipbetween0andf(0) 根据式(3)定义摆角惯性力为: =一 (一手s1'n0+n0c.s)(15) 工况1的摆角惯性力如图4所示.当悬吊结构 作平面摆摆振运动时,=0,因此,悬吊结构不受 离心力影响;悬吊结构作锥摆摆振运动时,当摆角接 近图3所示的零点时,摆角惯性力急剧增大,由于受 到急剧增加的惯性力的作用,图3中能量函数的值 迅速减至零,悬吊结构重力势能和摆角速度0同时 下降为最小.根据能量守恒原理,此时悬吊结构的 所有能量必然集中到所代表的动能,阴此,瞬间 迅速增大,同时,悬吊结构的离心力也增加到最大, 然而此时悬吊结构吊索提供的向心力反而最小(此 时摆角最小),因而摆角0必将迅速增大以缓解向 心力的不足,伴随着的增大代表的动能释放出 来,转化为重力势能和0代表的动能.图4中当悬 吊结构离最低点较远时,工况1两种摆振运动相应 的摆角惯性力比较接近,这说明此阶段的离心力较 小,悬吊结构;.,;.方向的耦合程度很小,两种动能 的相互传递不激烈. 图4结构摆角惯性力曲线 Fig.4Relationshipbetween0and 1.3吊点无激励作用的平面摆运动与锥摆运动的 摆角频率关系 图5为工况1平面摆运动和锥摆运动摆角时程 曲线. 0?l5 0?1 日 曼0.05 罨 鐾. 姆 . 0.05 . 0.I —— 平面摆 …一 锥摆 },;/厂,//,/\,/,' /,/\\\ \/\/\051Ol5 时间/s 图5结构摆角时程曲线 Fig.5Timehistoryofpendularangles0 由图5可以看出,悬吊结构每个周期由最高点 向下摆动初期平面摆运动和锥摆运动的摆角时程曲 线相接近,这说明此阶段;方向上两者的运动比较 接近,同时也说明:作锥摆运动的悬吊结构离最低点 较远时,苫.,苫.方向的耦合程度较小,与1.2节的分 析结果一致. 另外,由图6中的锥摆运动时程曲线看出,悬吊 结构水平面内转角每个周期内都包含四段"平缓 期"和两段"突变期",此"平缓期"和"突变期"即为 上文中的摆角0与转角的"低耦合期"与"高耦合 期",此四段"平缓期"和两段"突变期"可作如下描 述:悬吊结构作锥摆运动由最高点向下运动,当结构 苏红霞,等:吊点激励作用下平面摆与锥摆运动摆角频率研究187 接近最低点时,离心力突然增大,致使摆角速度瞬间 变向,结构摆离最低点向最高点运动;摆至最高点后 重复前一步骤直至再次回到最高点,这一过程中,结 构两次摆至最高点,因此对摆角来说此过程包含两 个周期. —— 平面摆 …一 锥摆,一一一一 ,, ,, lI 一 ?I lf II 一 ?l I, , 一 一一一一 , 一一一 ,,, ,It lII —III II- III —Ift ,,, ,, 一 ,. 时同/s 图6结构转角时程曲线 Fig.6Timehistoryofangles 图7为锥摆摆振运动摆角0一转角曲线,由 图7也可验证上述解释的合理性.由此可以预测: 吊点无激励的悬吊结构作平面摆摆振运动的摆角周 期接近锥摆运动摆角周期的两倍. 图7锥摆运动摆角0一转角曲线 Fig.7Relationshipbetween0andofpendularangles 图8为工况1结构摆角幅频曲线,该图很好地 验证了上述对两工况摆角周期变化的解释和预测. 1?6 14 l?2 l 兽 .'8 罂0 .6 O?4 0.2 0 平面摆 摆' } l 双倍结构圆有频 结构固有频率频率,Hz 图8摆角幅频曲线——-I-况l Fig.8Caselfrequencyspectrum 2吊点激励作用下的平面摆运动与 锥摆运动 考虑吊点运动对结构摆振运动的影响,式(1), (2)化简为: 一 手sin一芋c.s细s一芋c.sn+ s1'n0+sinOcosO(16) =sin一c.s一?c咖(17):s1n一j蔷..一00L 2.1吊点激励作用下悬吊结构作平面摆运动的 条件 工况1是式(16),(17)的特殊情况,但仍可借 助工况1的结果对其进行分析.式(8)说明:悬吊 结构吊点无激励作用且.为零时,任意时刻的都 为零,这样,悬吊结构就作平面摆振运动;换言之:若 满足.=0且=0,则悬吊结构作平面摆运动. 令式(17)为: =sin一c唧一?c伽=o五s1n一矗co一Po.u 只要满足:axosin一毒c.s=o 即:axosinq~一ayoeos=0(18) 且.=0,那么=0,因此,这两个条件是悬 吊结构作平面摆运动的充分条件;反之,如果悬吊结 构始终作平面摆运动,那么,必然使得=0,此条 件等价于:.=0且=0,由此也推知式(18)成 立,因此axosinq~一ayocosq~=0,且o=0是悬吊结 构作平面摆运动的充分必要条件.在式(18)中,若 11 = ?1T+1T,?Z,贝0o砷:0;若?—}盯+耵,后? Z,则tanq~=;因此,满足式(18)可归结为:吊点 ax9 水平面内的激励与倾角为‰的直线相平行. 综上所述,悬吊结构作平面摆运动的充分必要 条件为:悬吊结构水平面内转角初速度为零,且吊点 水平面内的激励与倾角为‰的直线相平行. 2.2吊点激励作用下的平面摆运动与锥摆运动的 摆角频率关系 假设悬吊结构作锥摆摆振运动某时刻的运动状 态为00,.,Oo,.,其加速度由式(16),(17)决 定.由式(16)和式(17)可知,悬吊结构在摆角由 一0的过程中,不管激励对悬吊结构来说是能量的 输人还是输出,在悬吊结构上升阶段科氏力对结构 转角为阻力,下降阶段科氏力对结构转角为动 力.科氏力实际上起到转移能量的作用——将储 188四川建筑科学研究第37卷 存的动能在其余能量形式之间相互传递,当0-+0 时,此过程达到极限,当然0不能等于零,如果0等 于零,那么代表的动能将突然完全转移到代表 的动能上来,这种情况在现实世界中是不存在的. 至于此过程中0所能达到的最小值,取决于达到最 小值前一时刻的能量和水平转角速度(假设两时刻 之差为无穷小,忽略期间吊点能量的输入或输出), 以此类推,结合式(13)定义的能量函数定性分析易 知,该最小值与悬吊结构初始运动状态和激励时程 有关. 由工况1吊点无激励作用的悬吊结构作平面摆 运动与锥摆运动摆角频率的关系可预测:只要悬吊结构吊点激励幅值口柏,口们,口?比重力加速度g更小 (或接近),那么,悬吊结构摆至最低点时,式(16)中 的离心力远大于其余各项,悬吊结构作锥摆运动,摆 角振动的频率接近相同条件下平面摆运动的两倍. 另外,根据动力学理论及非线性理论,结构受迫振动 的频率不仅与结构固有频率有关,还与激励频率有 关;结构为非线性时,结构振动的频率还与振幅有 关,相同条件下激励幅值增大,结构受迫振动的频率 反而有所减小. 为验证上述预测,做如下数值分析:设式(1)与 式(2)中吊点受到的激励为: 口们=Asink1tO0 口k2Asink10, 式中为吊点激励幅值;.为悬吊结构固有频 率;为激励频率与悬吊结构固有频率之比;k为Y 向加速度幅值与向加速度幅值之比,以下算例取 0=1,0o=0.1,见表1. 表1工况参数 Table1Caseparameter 定义式(16)中摆角惯性力和离心力分别为以 下两式: =一 (一手sin一芋c伽c唧一芋c伽sin+ 芋si 厂c=一.sin0cos0 (19) (20) 工况2悬吊结构作平面摆运动时离心力为零; 悬吊结构作锥摆运动时惯性力包含和两项. 图9为工况2的一曲线,图1O为工况2的厂c— 曲线.图9,10验证了上文对悬吊结构摆至最低点 时离心力远大于式(16)中其余各项的预测. 趟 蛏 醚 铆?;.-f 一 锥摆, ,' , , / / 图9摆角惯性力曲线——32况2 F.9Relationshipbetween0andofcase2 图1O摆角离心力曲线——工况2 Fig.10Relationshipbetween8andfcofcase2 图Il,I2验证了不管悬吊结构作平面摆运动还 是锥摆运动,激励幅值都对摆角振动频率有相同的 影响:相同条件下,随着激励幅值增大,结构受迫振 动的频率反而有所减小.因此,在摆振控制的 TRID控制系统时,可根据吊点激励幅值的大小,对 TRID控制系统的固有频率进行适当的调节. 观察图13—16可以发现:当激励频率离悬吊结 构固有频率较远时,如果悬吊结构作平面摆运动,那 么结构摆角谱能主要集中在结构固有频率处;如果 结构作锥摆运动,那么结构摆角谱能主要集中在激 励频率处. 对比工况2一工况8悬吊结构作平面摆摆振运 动与锥摆摆振运动的摆角幅频曲线不难发现,悬吊 结构受吊点激励作用的平面摆运动和锥摆运动的摆 角频率存在近似两倍的关系,且该两倍关系仅限于 2011No.4苏红霞,等:吊点激励作用下平面摆与锥摆运动摆角频率研究189 兽 , 趔 馨 /一工 :},,一,工况3 1 /工况4 j. 一一,1 0.10.120.140.160.180.2 频率/Hz 图11平面摆摆角幅频曲线 Fig.11Frequencyspectrumofplanarpendularangles 6 5 号4 , 翟, 2 l 0 工况2 / 工况3工况4 O0.1 图12锥摆摆角幅频曲线 O.2O.30.4 频率/Hz Fig.12Frequencyspectrumofsphericallypendular angles 号\ 趔 蛏 4 0 0 平面摆 J 激励频率 频率/ O.4 0_3 ? 翟 0.1 图13摆角幅频曲线——T况5 0 锥摆 I 玉J0010.2奉0.30.4 双倍激励频率 频率/I-/z 4 兽 , 魍 罂2 0 i 托 激励频率 频率/ O.1 O.08 ?0.06 j璺 粤O .o4 O.O2 图l4摆角幅频曲线——工况6 O l l皿: -L 双倍激励频率 频率/Hz Fig.14Case6frequencyspectrumofpendularangles 2 1.6 1.2 O.8 04 0 激励频率 频率/Hz 0.O8 0.06 鲁 .-04 馨 图15摆角幅频曲线——工况7 0.02 O l 8 lJ』』. 双倍激励频率 频率/Hz Fig.15Case7frequencyspectrumofpendularangles 2 O 0 西i摆 10.150.20.25 激励频率 频率/Hz 露 , {掣 馨 图l6摆角幅频曲线——T况8 双倍激励频率 频率/Hz Fig?13Case5frequencyspectrumofpendularanglesFig.16Case8frequencyspectrumofpe ndularangles 激励频率,换言之,吊点激励作用下的锥摆运动的各 阶频率中存在一个对结构固有频率不敏感的频率, 且该频率约为吊点激励频率的两倍,此外,该频率对 应的功率谱密度峰值为各峰值中的最大值,这对利 用TRID控制系统减小悬吊结构的锥摆摆振来说是 个好消息. 3结论 本文作者在任意吊点激励下的悬吊结构摆振运 动模型的基础上,深入研究了平面摆与锥摆摆振特 性,得出以下结论: 1)推导了吊点无激励作用的锥摆水平面内转 ?如?如加mO ?罂号, l90四川建筑科学研究第37卷 角及摆角0的速度,并将摆角速度的平方定 义为能量函数;由水平面内转角速度公式揭示了悬 吊结构作锥摆摆振运动的条件,并由能量函数得出 悬吊结构作锥摆运动摆角的最小值及其影响因素. 2)解释了数值分析中锥摆摆振运动的摆角时 程曲线不能越过横轴的现象;利用数值分析方法揭 示了锥摆摆振运动中存在的能量转换现象. 3)根据吊点激励下的摆振运动模型及结论1) 的分析,提出了悬吊结构作平面摆振的充分必要 条件. 4)用数值分析方法验证了定性分析所作的预 测:悬吊结构吊点激励作用下,锥摆摆振运动的摆角 频率接近平面摆摆振频率的两倍,且该频率仅限于 激励频率成分;悬吊结构吊点无激励作用时,锥摆摆 振的摆角频率接近平面摆固有频率的两倍. 参考文献: [1]ChunweiZhang,IJuyuLi,JinpingOu.PrinciplesandAOplications ofStructuralPendularControl,Earth&Space2008,LongBeach, California,USA,March3-5,2008. 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(上接第162页) 刚度都满足要求.特别指出的是,随机振动法给出 的层间位移值是针对整个时程反应值的均值,而不 是某个时刻的最大值. 5结论 通过以上分析,并参考文献[4],当结构需提高 结构频率时,可以采取以下措施: 1)降低结构重心.重心的降低能显着地提高 结构的自振频率.两个形状相近的结构,重心越低, 频率越大. 2)增加斜撑.增加斜撑是提高结构的整体刚 度的有效措施之一.斜撑支点的高度和斜撑与地面 所成的角度不同,对结构整体刚度影响也是不一样 的.支点高,对结构整体刚度的贡献大;但当斜撑自 身的长度增加时,斜撑的柔性可能会抵消部分有利 于提高结构频率的因素. 3)减小上部集中质量.结构上部,特别是顶部 的质量对结构的自振频率影响较大.对于高耸结 构,减小顶部质量能明显地提高结构的自振频率. 4)增大截面惯性矩.对于框架结构,可以从增 加梁,柱界面尺寸着手来提高结构的自振频率. 5)增加剪力墙的厚度或数量.对于框一剪结 构或剪力墙结构,可通过增加剪力墙的数量和厚度来提高结构的自振频率. 同时,应用反应谱法,时程分析法和随机振动 法,分析了雷达塔的地震反应.计算结果表明,雷达 塔能够满足中国地震对层间位移的要求. 参考文献: [1]RayClough,Jes印hPenzien.DynamicsofStructures(secondedi— tion)[M].ComputersandStructures,1995:201-202. [2]李杰,李国强.地震工程学[M].北京:地震出版社,1992: 84.90. [3]林家浩,张亚辉.随机振动的虚拟激励法[M].北京:科学出版 社.2004:42_45. [4]吴泽玉.基于结构安全性的自振频率控制方法的研究[D].郑 州:郑州大学,2004. [5]GB50011—2010建筑抗震设计规范[S].北京:中国建筑工业 出版社,2010. [6]张治勇,孙柏涛,宋天舒.新抗震规范地震动功率谱模型参数 的研究[J].世界地震工程,2000,16(3):33—38. [7]欧进萍,牛荻涛.地震地面运动随机过程模型的参数及其结构 效应[J].哈尔滨建筑工业大学,1990,23(2):24-33. [8]孙景江,汪近仁.与规范反应谱对应的金井清谱的谱参数[J]. 世界地震工程,1990,8(1):4248.