高一数学集合
第二节 集合的基本关系
一、 引入课题
1、
元素与集合的关系——属于与不属于的关系,填以下空白:
(1)0 N;(2) Q;(3)-1.5 R 2
22 已知,,,问: M,,1,1N,,1,1,3,,Pxx,,,10,,,,
?(哪些集合表示方法是列举法(
?(哪些集合表示方法是描述法( ?(分别说出各集合中的元素(
?(将集合N中元素3与集M的关系用符号表示出来(
?(集M中元素与集N有何关系(集M中元素与集P有何关系(
3、 思考:类比实数的大小关系,如5<7,2?2,试想集合间是否有类似的“大小”关系呢, 二、 新课教学
思考:观察下面几个例子,你能发现两个集合间的关系吗,
(1)A={1,2,3}, B={1,2,3,4,5}
(2) A={所有矩形}, B={所有平行四边形}.
(3) A={西安第二中学高一(7)班女生}.
B={西安第二中学高一(7)班学生},
1、 子集
? 集合与集合之间的“包含”关系
例如:A={1,2,3},B={1,2,3,4},集合A是集合B的部分元素构成的集合,我们说集合B包含集合A,或者集合A包含于集合B;
如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合A是集
合B的子集(subset)。
记作: A,B(或B,A)
读作:A包含于(is contained in)B,或B包含(contains)A
当集合A不包含于集合B时,记作A B ,
? 子集
如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合A是集合B
,,的子集(subset)。(即若aA,则aB)。
几个重要的结论:(1)任何一个集合都是它本身的子集,因为对于任何一个集合A它的每一个元素
A,A都属于它本身,记作
(2)对于集合A,B,C,如果,,那么(用下面要讲的Venn图验证) B,CA,CA,B
【置疑】能否把子集说成是由原来集合中的部分元素组成的集合, 【解疑】不能把A是B的子集解释成A是由B中部分元素所组成的集合(
因为B的子集也包括它本身,而这个子集是由B的全体元素组成的(空集也是B的子集,而这个集合中并不含有B中的元素(由此也可看到,把A是B的子集解释成A是由B的部分元素组成的集合是不确切的(
? Venn图
为了直观的表示集合间的关系,我们常用封闭曲线的内部表示集合,称为Venn图。
例如:用Venn图表示两个集合间的“包含”关系
A,B(或B,A)B A 注意:表示集合可以用圆,椭圆,矩形等封闭曲线。
2、集合与集合之间的 “相等”关系
对于集合A和B,如果集合A中的任何一个元素都是B中的元素,即,且同时有集合B中A,B的任何一个元素都是A中的元素,即,则A和B中的元素是一样的,因此 A,BB,A
A,B,即 A,B,A(B) ,B,A, 注意:判定集合相等的方法:对于A,B有,即可。 A,BB,A
3、真子集的概念
若对于两个集合A和B,如果,并且AB,即存在元素,我们则称集,A,Bx,B且x,A
合A是集合B的真子集(proper subset)。
记作:A B(或B A)
读作:A真包含于B(或B真包含A)(用Venn图)
【思考】能否这样定义真子集:“如果A是B的子集,并且B中至少有一个元素不属于A,那么
集合A叫做集合B的真子集(”
注意:1、证明集合A是集合B的真子集时,先证明,再证明B中至少存在一个元素使得 aA,Ba,A
即可;
2、对于集合A,B,C,如果A B,B C,那么有A C。 4、关于空集的规定:
(1)空集是任何集合的子集,
(2)是任何非空集合的真子集,
(3)空集只有一个子集,即它本身,
(4)空集是任何非空集合的真子集,因此若,A,那么一定有A,,。 6、重要结论:集合A中元素的个数记为n,则它的
n 子集的个数为:2
n真子集的个数:2-1,
n非空子集个数:2-1;
n非空真子集个数:2-2(在后继学习中会对此结论加以证明) 三、 例题讲解
例1化简集合A={x|x-7?2},B={x|x,5},并表示A、B的关系;
例2写出集合{0,1,2}的所有的子集,并指出其中哪些是它的真子集。 四、 课堂练习:
(1) 写出数集N,Z,Q,R的包含关系,并用Venn图表示。 (2) 判断下列写法是否正确
? ?? ,,AAA,AA, ,
(3)判断下列说法是否正确,如果不正确,请加以改正:
?表示空集;?不是;? 的所有子集是; ,1,2,33,2,10,1010,1 ,,,,,,,,,,,,,,? 如果,那么B必是A的真子集;?与不能同时成立( ABB,,且AAB,BA, 五、 归纳小结,强化思想
重点:(1)两个集合之间的基本关系只有“包含”与“相等”两种,可类比两个实数间的大小关系,同时还要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法,
(2)子集与真子集的概念以及判别方法
(3)Venn图的画法以及能理解它得表示含义
难点:子集与真子集
六、 作业
(1)基础题
1、写出集合{a,b,c}的所有子集 ,并判定哪些是子集哪些是真子集。
2、用适当的符号填空
(1)a {a,b,c} (2)0 {x,x?=0} (3)φ {x?R,x?+1=0} (4){0,1} N (5){0} {x,x?=x} (6) {2,1} {x?,x?-3x+2=0}
23、已知集合,若集合A有且仅有2个子集,则的取值是 ; ,,A,x/ax,2x,a,0,a,Ra
224、集合,则有A与B的关系是 ; ,,,,A,x/a,1,a,N,B,y/y,b,4b,5,b,N
5、集合,那么 集合A的真子集的个数为 ; ,,A,x,Z/0,x,3
6、设集合,,试用Venn图表示A,{四边形},B,{平行四边形},C,{矩形}D,{正方形}它们之间的关系。
(2)提高题
(1)已知A=,x , -3