单位菱形面积定义正弦

单位菱形面积定义正弦 重建三角，全局皆活 2010年5月29日 发表评论 阅读评论 本文标题引用了中国科学院院士张景中教授的文章《重建三角，全局皆活——初中数学课程结构性改革的一个建议》。今天无意间又找出这篇文章，读了个痛快～ 记得2007年5月份，我接到了一个任务，按张院士文章内容上一节课。要录像，要给张院士看。我欣然答应。 张院士的文章重建了三角函数的理论体系，三角函数的定义发生了根本的变化，“把边长为1，有一个角为A的菱形面积记作sinA”。由这个定义居然能推导出以下一些结论，有些内容连小学生都听得懂: 1、三角形面积 2、正弦的基本性质(1)sin0?=sin180?=0;(2)sin90?=1;(3)sinA=sin(180-A) 3、直角三角形中锐角的正弦 4、正弦定理 5、正弦和角公式 sin(α+β)=sinαsin(90?-β)+sinβsin(90?-α) 6、二倍角公式 sin2A=2sinAsin(90?-A) 7、特殊角的正弦值(1);(2);(3) 8、几何定理(1)直角三角形中，30?角的对边是斜边的一半;(2)勾股定理 9、正弦的增减性 10、三角形两边之和大于第三边 这么多的内容，一节课里选什么内容好呢,我选了“正弦定义”、“三角形面积公式”、“正弦的性质”、“特殊角的正弦值”、“直角三角形中锐角的正弦”五个知识点。当时上的班级是初一，结果因抽象程度太高，学生理解困难，练习题不会做。 我佩服张景中院士的智慧，谁能打破三角函数原有的体系,又有谁能建立新的体系?唯有景中～而且三角函数原有的性质、定理、公式一概不变，也就是“全局皆活”。但是，这样构建新体系好处在哪里,我不清楚。学生学习会遇到什么困难,我可以肯定学生遇到的困难比原来要多，低年级(如初一)的学生会有更多的困难。所以教材编写者不敢轻举妄动，还是袭用原来体系。 下面是我这节课的教案，发表于此，以飨读者。 一、认识正弦 同学们，我们都知道边长为1的正方形面积为1，如果把一个直角变为α，就成为一般的菱形，其面积就不是1了，究竟为多少呢,我们不知道，但肯定与α有关。我们不妨记作sinα。即一个角为α的菱形面积定义为sinα。 如果α=30?，面积=sin30?等。 当正方形ABCD的边长不是1时，设它的面积为S，变成一个角为α的菱形面积为s，我们可以证明s/S=sinα。 上图中假设AB=3，则可以将正方形划分成9个单位正方形，菱形也如此，每个单位菱形与单位正方形的比都是sinα，所以s/S=sinα。 将上述问题中的正方形改为矩形，设矩形的面积为S，变成一个角为α的平行四边形面积为s，我们同样可以证明s/S=sinα。 这就说明将一个矩形的一个直角边成α后，面积是原来的sinα倍。张奠宙教授形象地说: 一个长方形(含正方形)，不改变其边长，当直角变为α时，面积所打的折扣是sinα。他将sinα比作“折扣”，非常形象非常贴切。从上图我们还可以看出，设AB=a，AD=b，?A=α，则。 二、 与正弦有关的面积公式 1、 边长分别为a、b，一个内角为α的平行四边形ABCD的面积是absinα; 2、 两边分别为a、b，夹角为α的三角形面积是. 三、 正弦的性质 认识了正弦之后，我们不难得到正弦的性质。当α=0?或180?时菱形的面积为0，所以sin0?=sin180?=0，这里列举性质如下: 1、sin0?=sin180?=0 2、sin90?=1 3、sinα?=sin(180-α)? 4、 当α为锐角时，α越大sinα就越大;当α为钝角时，α越大sinα就越小。 练习一 1、 用计算器求值:sin30?，sin40?，sin45?，sin120?. 2、边长分别为2、4，一个内角为30度的平行四边形ABCD的面积是 。 3、两边分别为6、5，夹角为45度的三角形面积是 。 4、在括号内写出角的度数，使等式成立sin40?=sin( )，sin170?=sin( ). 四、正弦再认识 如图，在直角?ABC中，?C=90?，BC=a，AC=b，AB=c，那么有==，化简后得。 即 在直角三角形中，一个锐角的正弦等于这个角的对边与斜边之比。 练习二 1、如上图，?ABC中?C=90。，BC=6，sinA=0.6，求AB的长。 2、在第1题中如果AC=8，求sinB。 练习三 1、比较大小 (1)Sin30? sin80? (2)sin100? sin140? 2、二块全等的含有45?的三角板如图放置，则红色部分的两个三角形面积是否相等, 为什么, 相关文章: