2012年全国各省北京、上海、天津、江苏、浙江、安徽、湖北南、广东等高考理科数学试题及答案-新课标

2012年全国各省北京、上海、天津、江苏、浙江、安徽、湖北南、广东等高考理科数学试及答案-新课标 绝密*启用前 2012年普通高等学校招生全国统一考试(新课标) 理科数学 注息事项: 1.本试卷分第?卷(选择题)和第?卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.问答第?卷时。选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效. 3.回答第?卷时。将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效? 4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。 第一卷 一( 选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 A,{1,2,3,4,5},{(,),,}BxyxAyAxyA,,,,,(1)已知集合;,则中所含元素 B 的个数为( ) ()A()B()C()D36,,, 【解析】选 D xy,,5,1,2,3,4xy,,4,1,2,3xy,,3,1,2xy,,2,1 ，，，共10个 (2)将名教师，名学生分成个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动， 242 每个小组由名教师和名学生组成，不同的安排共有( ) 12 ()A()B()C()D10？, 12种 种 种 种 【解析】选 A 12 甲地由1名教师和2名学生:种 CC,1224 2(3)下面是关于复数的四个命题:其中的真命题为( ) z,,，1i 2pz:2,1，i 的共轭复数为 的虚部为 pzi:2,,1pz:pz:1432 ()A()B()C()D pp,pp,pp,pp,1223,,,, C【解析】选 22(1),,i zi,,,,,1,，,，,,1(1)(1)iii 2pz:2,,，1i ，pzi:2,，的共轭复数为，的虚部为,1 pz:pz:1432 22xy3aEab:1(0)，,,,(4)设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点， PFFx,1222ab2 ,30 是底角为的等腰三角形，则的离心率为( ) ,EFPF21 12,,()A()B()C()D 23,, C【解析】选 33c,30 是底角为的等腰三角形 ,FPF,,,,,,,,PFFFacce2()22212124a a(5)已知为等比数列，，，则( ) aa，,2aa，,aa,,8,,n4756110 ()A()B()C()D75 ,,,,【解析】选 D ，或 aa，,2aaaaaa,,,,,,,84,2aa,,,2,44756474747 aaaaaa,,,,,,,,，,,4,28,1747110110 aaaaaa,,,,,,,,，,,2,48,1747101110 NN(2),(6)如果执行右边的程序框图，输入正整数和 AB,实数，输出，则( ) aaa,,...,12n ()AAB，为的和 aaa,,...,12n AB，()B为的算术平均数 aaa,,...,12n2 ()CA和B分别是中最大的数和最小的数 aaa,,...,12n ()DA和B分别是中最小的数和最大的数 aaa,,...,12n C【解析】选 (7)如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的 1 是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( ) ()A()B()C()D 6 9 ,, ,, 【解析】选 B 3 该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为 11 此几何体的体积为 V,，，，，,633932 2AB,CC(8)等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于 y,16xx AB,43C两点，;则的实轴长为( ) ()A()B()C()D, ,222 C【解析】选 2222lx:4,,设交的准线于 A(4,23),B(4,23),,Cxyaa:(0),,,y,16x 222得: aaa,,,,,,,,(4)(23)4224 ,,,,09)已知(，在上单调递减。则的取值范围是( ) fxx()sin(),，(,),,,24 15131()A()B()C()D(0,2] [,](0,][,]24242【解析】选 A ,,,59()D 不合题意 排除 ,,，,2()[,]x,,444 ,,,35()()BC 合题意 排除 ,,，,1()[,]x,,444 ,,,,,,,3另:， ()2,,,,，,，，,()[,][,]x,,,,,,,,2424422 ,,,,,315 得: ，,，,,,,,,,,,2424224 1yfx,()(10) 已知函数;则的图像大致为( ) fx(),ln(1)xx，, 【解析】选 B x,gxxxgx()ln(1)(),，,,,, 1，x ,,,,,,,,,,,,,,gxxgxxgxg()010,()00()(0)0 fx()0,ACD,,x,0,,,10x 得:或均有 排除 SABC,O,ABC(11)已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上，是边长为的正三角形， 1SCOSC,2为球的直径，且;则此棱锥的体积为( ) 2322()A()B()C()D 6632【解析】选 A 3622r,,ABCOABCdRr,,, 的外接圆的半径，点到面的距离 33 26SCOSABC2d, 为球的直径点到面的距离为 ,3 113262VSd,，,，，,2 此棱锥的体积为 ,ABC33436 13BCD,,VSR,，,2 另:排除 ,ABC36 1xyx,ln(2)QPQ(12)设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为( ) Pye,2 ()A()B()C()D 1ln2,1ln2，2(1ln2),2(1ln2)，【解析】选 A 1xyx,ln(2) 函数与函数互为反函数，图象关于对称 yx,ye,2 1xex,112xx 函数上的点到直线的距离为 yx,ye,Pxe(,)d,222 ,111ln2xx, 设函数 gxexgxegxd,,,,,,,,,,()()1()1ln2minmin222 PQ22(1ln2)d,, 由图象关于对称得:最小值为 yx,min 第?卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22- 第24题为选考题，考生根据要求做答。 二(填空题:本大题共4小题，每小题5分。 ,,,,,,: 45(13)已知向量夹角为，且;则 ab,aab,,,1,210b,_____ , 【解析】 b,_____32 ,,,,,,,2:2210(2)1044cos451032ababbbb,,,,,,，,,,, xy,0,, ,zxy,,2(14) 设满足约束条件:;则的取值范围为 xy,xy,,,1, ,xy，,3, zxy,,2[3,3],【解析】的取值范围为 OABC(0,0),(0,1),(1,2),(3,0)OABC 约束条件对应四边形边际及内的区域: zxy,,,,2[3,3]则 (15)某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3 正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从 2正态分布，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命 N(1000,50) 超过1000小时的概率为 3【解析】使用寿命超过1000小时的概率为 8 2 三个电子元件的使用寿命均服从正态分布 N(1000,50) 1得:三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为 p,2 32超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率 Pp,,,,1(1)14 3 那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 ppp,，,218 n60(16)数列满足，则的前项和为 aan，,,,(1)21{}a{}a，1nnnn 601830【解析】的前项和为 {}an 可证明: baaaaaaaab,，，，,，，，，,，1616nnnnnnnnnn，，，，，,,,1414243444342424 1514， baaaaS,，，，,,,，，，,10101516183011234152 三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分12分) abc,,ABC,,,ABC已知分别为三个内角的对边， aCaCbccos3sin0，,,, bc,a,2,ABC(1)求 (2)若，的面积为;求。 A3 【解析】(1)由正弦定理得: aCaCbcACACBCcos3sin0sincos3sinsinsinsin，,,,,,,， ,，,，，sincos3sinsinsin()sinACACaCC 1: ,,,,,,3sincos1sin(30)AAA2 :::,,,,,AA303060 1 (2) SbcAbc,,,,sin342 222abcbcAbc,，,,，,2cos4 bc,,2 解得:(l fx lby) 18.(本小题满分12分) 510某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售， 如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。 (1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润(单位:元)关于当天需求量 yn nN,(单位:枝，)的函数解析式。 (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝)，整理得下表: 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。 16(i)若花店一天购进枝玫瑰花，表示当天的利润(单位:元)，求的分布列， XX 数学期望及方差; (ii)若花店一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝, 请说明理由。 y,，,,16(105)80n,16【解析】(1)当时， ynnn,,,,,55(16)1080n,15 当时， 1080(15)nn,,, 得: ynN,,(),80(16)n,, 607080 (2)(i)可取，， X PXPXPX(60)0.1,(70)0.2,(80)0.7,,,,,, 的分布列为 X 607080 X 0.10.20.7 P EX,，，，，，,600.1700.2800.776 222DX,，，，，，,160.160.240.744 (ii)购进17枝时，当天的利润为 y,，,，，，，,，，，，,，，，，，,(14535)0.1(15525)0.2(16515)0.161750.5476.4 76.476, 得:应购进17枝 (19)(本小题满分12分) 1如图，直三棱柱中，， ABCABC,ACBCAA,,11112是棱的中点， DDC,BDAA11 (1)证明: DC,BC1 2)求二面角的大小。 (A,BD,C11 RtDAC,ADAC,【解析】(1)在中， :，,ADC45 得: :: 同理: ，,,，,ADCCDC4590111 得:面 DCDCDCBDDC,,,,,BCDDCBC,,1111 (2)面 DCBCCCBCBC,,,,,ACCABCAC,,1111 OOOHBD, 取的中点，过点作于点，连接 HCOCH,AB1111 ，面面面 ACBCCOAB,,,,,COABC,ABDABD1111111111111 得:点与点重合 HDOHBDCHBD,,,1 且是二面角的平面角 ，CDOA,BD,C111 2a:ACa,CO,CDaCOCDO,,,，,2230 设，则， 11112 :30 既二面角的大小为 A,BD,C11 (20)(本小题满分12分) 2AC,l设抛物线的焦点为，准线为，，已知以为圆心， FFCxpyp:2(0),, BD,l为半径的圆交于两点; FAF 0，BFD,90(1)若，的面积为;求的值及圆的方程; ,ABDpF42 ABF,,C(2)若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点， mnmn 求坐标原点到mn,距离的比值。 BDp,2【解析】(1)由对称性知:是等腰直角，斜边 ,BFD, dFAFBp,,,2 点到准线l的距离 A 1 SBDdp,,，，,,,42422,ABD2 22 圆的方程为 Fxy，,,(1)8 2xp0Axx(,)(0), (2)由对称性设，则 F(0,)002p2 22xxp2200AB,Bxppxp(,)3,,,,,,,, 点关于点对称得: F00222pp 3pp,pp33p22myxxy:30,，,,，, 得:，直线 Ap(3,)2223p 23ppxx332,P(,) 切点 xpyyyxp,,,,,,,,,236233pp pp333nyxxyp:()30,,,,,,, 直线 6336 33pp:3,坐标原点到距离的比值为。(lfx lby) mn,26 (21)(本小题满分12分) 1x,12,fx()已知函数满足满足; fxfefxx,,，()(1)(0)2 fx()(1)求的解析式及单调区间; 12(1)ab，2)若，求的最大值。 (fxxaxb(),，，2 1xx,,121,,,【解析】(1) fxfefxxfxfefx,,，,,,，()(1)(0)()(1)(0)2 f(0)1,x,1 令得: 1x,,121,,, fxfexxffefe,,，,,,,,()(1)(0)(1)1(1)2 1xx2, 得: fxexxgxfxex,,，,,,,，()()()12 x,xR, 在上单调递增 gxeygx()10(),，,,, ,,,,fxfxfxfx()0(0)0,()0(0)0,,,,,,,, 1x2fx() 得:的解析式为 fxexx,,，()2 (0,)，,(,0),, 且单调递增区间为，单调递减区间为 12xx, (2)得 fxxaxbhxeaxb,，，,,,，,,hxea()(1),,，()()(1)02 ,hxyhx()0(),,, ?当a，,10xR,时，在上单调递增 hx(),,,hx()0, 时，与矛盾 x,,, ,,hxxahxxa()0ln(1),()0ln(1),,,，,,,，a，,10 ?当时， xa,，ln(1) 得:当时， hxaaab()(1)(1)ln(1)0,，,，，,,min 22 (1)(1)(1)ln(1)(10)abaaaa，,，,，，，, 22,Fxxx()(12ln),, 令;则 Fxxxxx()ln(0),,, ,, FxxeFxxe()00,()0,,,,,,, e 当时， xe,Fx(),max2 e(1)ab， 当时，的最大值为 aebe,,,1,2请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分， 做答时请写清题号。 (22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 DE,ABAC,,ABC如图，分别为边的中点，直线DE交 FG,,ABCCFAB//的外接圆于两点，若，证明: CDBC,(1); ,,BCDGBD (2) CFAB//【解析】(1)，DFBCCFBDADCDBF//////,,, CFABAFBCBCCD//,,,, BCGFBGFCBD//,,, (2) BCGFGDEBGDDBCBDC//,，,，,，,，,,,BCDGBD (23)本小题满分10分)选修4—4;坐标系与参数方程 ,,x2cos, 已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴 (,为参数)xC,1,y3sin,, ,,2ABCD为极轴建立坐标系，曲线的坐标系方程是，正方形的顶点都在上， CC22 ,ABCD,,,依逆时针次序排列，点的极坐标为 且A(2,)3 ABCD,,,(1)求点的直角坐标; 2222PAPBPCPD，，，(2)设为上任意一点，求的取值范围。 PC1 ,,,,5411ABCD,,,【解析】(1)点的极坐标为 (2,),(2,),(2,),(2,)3636 ABCD,,, 点的直角坐标为 (1,3),(3,1),(1,3),(3,1),,,, x,2cos,,0;则 (2)设Pxy(,)()为参数,,00y,3sin,0, 222222tPAPBPCPDxy,，，，,，，4440 2 (lfxlby) ,，,5620sin[56,76], 45,(24)(本小题满分10分)选修:不等式选讲 fxxax()2,，，, 已知函数 fx()3,a,,3(1)当时，求不等式的解集; [1,2]fxx()4,,(2)若的解集包含，求的取值范围。 a fxxx()3323,,,，,,a,,3【解析】(1)当时， x,223,,xx,3,,, 或或 ,,,,,,323,，,,xx323,，,,xxxx,，,,323,,, ,,x1x,4 或 [1,2],,,fxx()4 (2)原命题在上恒成立 [1,2],，，,,,xaxx24在上恒成立 [1,2],,,,,,22xax在上恒成立 ,,,,30a 浙江省2012高考数学理科答案 本答案由恩贝塔教育数学教师王坤博、从强完成，仅供参考，时间有限，错误之处敬请海涵。询: NBetaEdu@hotmail.com 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D A A C D A B A B 11.1 112. 120 313. 2 14.10 ,1615. 916. 4 317( 2 5S,18.(1) (2) tan5C,2 19. ,6 5 4 3 4304010P 84848484 20.(1)证明略 33,,cos(2) 33 22xy3，,121.(I) (2) yx,,，,17432 ba,223aba,,36aba,,22.(I)(i)简单，略;(ii)分三种情况讨论:，， ,1,3(II)，线性规划 ,, 浙江省2012年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(理科) 姓名 准考证号 本试卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。满分150分，考试时间120分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 选择题部分(共50分) 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试卷纸上。 参考公式: AB,如果事件互斥，那么 柱体的体积公式 PABPAPB()()()，,，VSh, ShAB,如果事件互相独立，那么 其中表示柱体的底面积，表示柱体的高 PABPAPB()()(),,, 椎体的体积公式 1如果事件在一次实验中发生的概率是，那么 ApnVSh,3 Skh次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示椎体的底面积，表示柱体的高 A kknk, 球的表面积公式 PkCppkn()(1)(0,1,2,),,,…,nn 2SR,4,台体的体积公式 1 球的体积公式 VhSSSS,，，()11223 43h其中分别表示台体的上、下底面积，表示台 SS,,,VR123 体的高 其中表示球的半径 R 一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 2Axx,,,{|14}1.设集合，集合，则 Bxxx,,,,{|230}ACB,,()R (1,4)(1,2)(3,4),(3,4)(1,3)A. B. C. D. 3，i2.已知是虚数单位，则 i,1,i 12,i2,i2，i12，iA. B. C. D. a,Ra,13.设，则“”是“直线与直线平行”的 laxy:210，,,lxay:(1)40，，，,12 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 yx,，cos214.把函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是 A. B. C. D. ab、设5.是两个非零向量。 ||||||abab，,,ab,A.若，则 ab,||||||abab，,,B.若，则 ||||||abab，,,,ba,,C.若，则存在实数，使得 ,ba,,||||||abab，,,D.若存在实数，使得，则 1,2,3,,9L6.若从这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有 A.60种 B.63种 C.65种 D.66种 dd(0),7.设是公差为的无穷等差数列的前项和，则下列命题错误的是 S{}annn(( d,0A.若，则数列有最大项 {}Sn d,0B.若数列有最大项，则 {}Sn *n,NC. 若数列是递增数列，则对任意，均有 S,0{}Snn *n,ND.若对任意，均有，则数列是递增数列 S,0{}Snn 22xyCab:1(,0),,,8.如图，分别是双曲线的左、 FF,1222ab C右焦点，是虚轴的端点，直线与的两条渐近线分 BFB1 PQ,PQ别交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点 x C，若，则的离心率是 M||||MFFF,212 236 B. A.23 C. D. 32 a,0b,09.若， abab2223，,，ab2223，,，abab,ab,A.若，则 B. 若，则 abab2223,,,ab2223,,,abab,ab,C. 若，则 D. 若，则 ABCD10.已知矩形，，，将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，AB,1,ABDBDBC,2 在翻折过程中， ACA.存在某个位置，使得直线与直线垂直 BD CDB.存在某个位置，使得直线与直线垂直 AB BCC.存在某个位置，使得直线与直线垂直 AD ACCDBCD.对任意位置，三对直线“与”，“与”，“与”均不垂直 BDABAD 2012年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(理科) 非选择题部分(共100分) 注意事项: 1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试卷上。 2.在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。 二、填空题:本大题共7小题，每小题4分，共28分。 11.已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示，则该三棱 3cm 锥的体积等于 12.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 。 qq(0),13.设公比为的等比数列的前项和为， {}anSnn 若，，则 。 Sa,，32Sa,，32q,2244 514.若将函数表示为 fxx(), 25 ， fxaaxaxax()(1)(1)(1),，，，，，，，L0125 L其中，，，，为实数，则 。 aaaaa,01253 ,ABCBCAM,3BC,1015.在中，是的中点，，，则 M uuuruuur 。 ABAC,, CCl16.定义:曲线上的点到直线的距离的最小值成为曲线 2llyx:, 到直线的距离。已知曲线到直线 Cyxa:,，1 22lyx:,距离等于曲线到直线的距离， Cxy:(4)2，，,2 则实数 a, 2a,Rx,017.设，若时均有，则 [(1)1](1)0axxax,,,,,a, 三、解答题:本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 2,ABCABC,,abc,,18.(本题满分14分)在中，内角的对边分别为，已知，cosA,3 。 sin5cosBC, tanC(?)求 的值; ,ABC(?)若，求的面积。 a,2 19.(本题满分14分)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定:取出一个白球得2分，取出 一个黑球得1分。先从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X 为取出此3球所得分数之和。 (?)求的分布列; X EX() (?)求的数学期望。 X PABCD,20.(本题满分15分)如图，在四棱锥中，底面是边长 o，,BAD120ABCD为的棱形，，且平面，， PA,2623PA, MN,PBPD,分别为的中点 MNPABCD(?)证明:平面; AQPC,AMNQ,,Q (?)过点作，垂足为点，求二面角 A 的平面角的余弦值 22xyCab:1(0)，,,,21.(本题满分15分)如图，椭圆的 22ab 1P(2,1)离心率为，其左焦点到点的距离为，不过 10((2 OlCAB,原点的直线与相交于两点，且线段被直线 AB(( OP平分。 C(?)求椭圆的方程; l (?)求面积取最大值时直线的方程。 ,ABP 3a,0b,R22.(本题满分14分)已知，，函数 fxaxbxab()42,,,， 01,,x(?)证明:当时， fx()|2|aba,， (?)函数的最大值为; fxaba()|2|0，,，, (?); ab，,,,1()1fxx,[0,1] (?)若对恒成立，求的取值范围。 2012上海高考数学试题(理科)答案与解析 一(填空题 3-i1(计算: (为虚数单位). i=1+i 【答案】 1-2i 3-i(3-i)(1-i)2-4i【解析】. ===1-2i1+i(1+i)(1-i)2 【点评】本题着重考查复数的除法运算～首先～将分子、分母同乘以分母的共轭复数～将分母实数化即可. A,{x|2x，1,0}B,{x||x,1|,2}A:B,2(若集合，，则 . 1,,,,3【答案】 ,,2,, 1210x，,xx,,,,12,,13,得到【解析】根据集合A ～解得～由～所以 x,,2 1,,A:B,,,3. ,,2,, 【点评】本题考查集合的概念和性质的运用～同时考查了一元一次不等式和绝对值不等式的解法.解决此类问题～首先分清集合的元素的构成～然后～借助于数轴或韦恩图解决. 2　　　cosx3(函数的值域是 . f(x),sinx　　,1 53，，,,,【答案】 ,,22，， 1,1,sin2x,1【解析】根据题目～因为～所以f(x),,sinxcosx,2,,sin2x,22 53,,f(x),,. 22 【点评】本题主要考查行列式的基本运算、三角函数的范围、二倍角公式～属于容易题～难度较小.考纲中明确要求掌握二阶行列式的运算性质. n,(,2,1)ll4(若是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小为 (结果用反三角函数值表示). arctan2【答案】 tan,,2,,,arctan2【解析】设直线的倾斜角为～则. , 【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意～属于低档题～难度较小. 265(在的二项展开式中，常数项等于 . (x,)x ,160【答案】 2333【解析】根据所给二项式的构成～构成的常数项只有一项～就是 . Tx,,,,C()16046x【点评】本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚～特别注意常数项的构成.属于中档题. 16(有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为，V，V，？，V，？12n2 lim(V，V，？，V),则 . 12n,,n 8【答案】 7 1【解析】由正方体的棱长组成以为首项～为公比的等比数列～可知它们的体积则组成了一个12 181lim(V，V，？，V),,以1为首项～为公比的等比数列～因此～ . 12nn,,1781,8 【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合. |x,a|f(x)[1,，,)7(已知函数(为常数).若在区间上是增函数，则的取值范围f(x),eaa是 . 【答案】 ，,,,,1 xa,,exa,,,xa,f(x)x,a【解析】根据函数fxe(),,看出当时函数增函数～而已知函数在,,，xaexa,,,, 区间上为增函数～所以的取值范围为: . ，a，,,1,，,,,,1 【点评】本题主要考查指数函数单调性～复合函数的单调性的判断～分类讨论在求解数学问题中的运用.本题容易产生增根～要注意取舍～切勿随意处理～导致不必要的错误.本题属于中低档题目～难度适中. 2,8(若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 . ,3【答案】 3 12【解析】根据该圆锥的底面圆的半径为～母线长为l～根据条件得到～解得母线长,l,2,r2 113222,r,,l,2,,r,1S21V,h,，,,,,l,2～所以该圆锥的体积为:. 圆锥333【点评】本题主要考查空间几何体的体积公式和侧面展开图.审清题意～所求的为体积～不是其他的量～分清图形在展开前后的变化,其次～对空间几何体的体积公式要记准记牢～属于中低档题. 2f(1),1g(x),f(x)，2g(,1),9(已知是奇函数，且，若，则 . y,f(x)，x 【答案】 ,1 2为奇函数～所以 【解析】因为函数y,f(x)，xg(1),f(1)，2,又f(1),1,所以，g(1),3,f(,1),,3,g(,1),f(,1)，2,,3，2,,1ff(1)(1).,,, . y,f(x)【点评】本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意:函数为奇函数～所 f(,x),,f(x)以有这个条件的运用～平时要加强这方面的训练～本题属于中档题～难度适中. ,M(2,0)10(如图，在极坐标系中，过点l的直线与极轴的夹角， ,,6 ,,f(,)f(,),l若将的极坐标方程写成的形式，则 . 1【答案】 ,sin(,,)6 1M(2,0)【解析】根据该直线过点～可以直接写出代数形式的方程为:～将此化成y,(x,2)2 1,f(),极坐标系下的参数方程即可 ～化简得. ,sin(,,)6 【点评】本题主要考查极坐标系～本部分为选学内容～几乎年年都有所涉及～题目类型以小题为主～复习时～注意掌握基本规律和基础知识即可.对于不常见的曲线的参数方程不作要求.本题属于中档题～难度适中. 11(三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 (结果用最简分数表示). 2【答案】 3 【解析】一共有27种取法～其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有18种～所以根据古 2. 典概型得到此种情况下的概率为3 【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件总数.本题属于 中档题. ,ABCDNBC12(在平行四边形中，，边、的长分别为2、1，若、分别是边、ABADM，A,3 |BM||CN|CD,上的点，且满足，则的取值范围是 . AM,AN |BC||CD| 【答案】 ,,2,5 【解析】以向量所在直线为轴～以向量所在直线为轴建立平面直角坐标系～如图所ABADyx 51AB,2,AD,1示～因为～所以 设ABCD(0,0),(2,0),(,1)(,1).22 1515515151,,,,,,，,,则NxxBMCNCNxBMxMxx(,1)(), , - , - , (2,()sin).22224284423 ,,21x53,23xAN,(x,1),AM,(,,)根据题意～有. 848 ,,,,21x53,23x15,,25.,,,AMANAM,AN,x(,)，所以,x,～所以 ,,84822,, 6 4 2NDC M105510AB 2 4 6 【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时～要切实 注意条件的运用.本题属于中档题～难度适中. 1y,f(x)A(0,0)C(1,0)ABC13(已知函数的图象是折线段，其中、、， B(,5)2 y,xf(x)0,x,1函数()的图象与轴围成的图形的面积为 . x 5【答案】 4 1,10,0xx,,,,2【解析】根据题意得到～fx(),从而得到,1,,，,1010,1xx,,,2 1,210,0xx,,,,2yxfx,,()所以围成的面积为,12,,，,,1010,1xxx,,2 11552210(1010)～所以围成的图形的面积为 . S,xdx，,x，xdx,1,,0442 【点评】本题主要考查函数的图象与性质～函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想～本题综合性较强～需要较强的分析问题和解决问题的能力～在以后的练习中加强这方面的训练～本题属于中高档试题～难度较大. BCABCDBC,2AD,2c14(如图，与是四面体中互相垂直的棱，，若， AD AB，BD,AC，CD,2aABCD且，其中、为常数，则四面体的体积的最 ac 大值是 . 222【答案】 ca,c,13 AB，BD与线段AC，CDAB，BD,AC，CD,2a【解析】据题～也就是说～线段的长度 BC,平面ABDBC是定值～因为棱与棱互相垂直～当时～此时有最大值～此时最大值为:AD 222. ca,c,13 【点评】本题主要考查空间四面体的体积公式、空间中点线面的关系.本题主要考虑根据已知条件构造体积表达式～这是解决问题的关键～本题综合性强～运算量较大.属于中高档试题. 二、选择题(20分) 2x，bx，c,015(若是关于的实系数方程的一个复数根，则( ) x1，2i b,2,c,3b,,2,c,3b,,2,c,,1b,2,c,,1A( B( C( D( 【答案】 B 【解析】根据实系数方程的根的特点也是该方程的另一个根～所以 12,i b,,2～即～～故答案选择B. (1,2i)(1，2i),3,c1，2i，1,2i,2,,b 【点评】本题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算～属于中档题～注重对基本知识和基本技巧的考查～复习时要特别注意. 222sinA，sinB,sinC,ABC,ABC16(在中，若，则的形状是( ) A(锐角三角形 B(直角三角形 C(钝角三角形 D(不能确定 【答案】C abc222abc，,【解析】由正弦定理～得代入得到～ ,sinA,,sinB,,sinC,2R2R2R 222abc，,cos0C,,由余弦定理的推理得～所以C为钝角～所以该三角形为钝角三角形.故选2ab 择A. 【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理～如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理～如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题. 4517(设，，随机变量取值的概率均10,x,x,x,x,10x,10x、x、x、x、x,12345511234 x，xx，xx，xx，xx，x23344551120.20.2为，随机变量取值的概率也均为，若记、、、、,222222 分别为的方差，则( ) D,、D,,、,1212 A( B( D,,D,D,,D,1212 C( D(与的大小关系与的取值有关 x、x、x、xD,,D,D,D,12341212 【答案】 A 1【解析】 由随机变量的取值情况～它们的平均数分别为:～,,,xxxxxx,，，，，(),112345125 xxxxxxxx，，，，xx，1,,2334455112xx,，，，，,, 21,,522222,, 0.2且随机变量的概率都为～所以有,. 故选择A. ,,,D,D,1212 【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式.记牢公式是解决此类问题的前提和基础～本题属于中档题. 1n,sin18(设，，在中，正数的个数是( ) ,S,a，a，？，aS,S,？,San12n12100n25n A(25 B(50 C(75 D(100 【答案】C 【解析】依据正弦函数的周期性～可以找其中等于零或者小于零的项. 【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题主要找到规律～从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0～这就是规律～考查综合分析问题和解决问题的能力. 三、解答题(本大题共有5题，满分74分) 19(如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形， PA?底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2， AD=2，PA=2.求: 2 (1)三角形PCD的面积;(6分) (2)异面直线BC与AE所成的角的大小.(6分) [解](1)因为PA?底面ABCD，所以PA?CD，又AD?CD，所以CD?平面PAD， 从而CD?PD. ……3分 22 因为PD=，CD=2， 2，(22),23 z 1，2，23,23 所以三角形PCD的面积为. ……6分 2P (2)[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系， 则B(2, 0, 0)，C(2, 2,0)，E(1, , 1)， 22 E ，. ……8分 AE,(1,2,1)BC,(0,22,0)D A y AE 设与的夹角为,，则 BC B 2AE,BC4, ，,=. cos,,,,C 42，222AEBC||||x , 由此可知，异面直线BC与AE所成的角的大小是 ……12分 4 [解法二]取PB中点F，连接EF、AF，则 P EF?BC，从而?AEF(或其补角)是异面直线 BC与AE所成的角 ……8分 F E 在中，由EF=、AF=、AE=2 ,AEF22D A 知,AEF是等腰直角三角形， , 所以?AEF=. B 4C ,因此异面直线BC与AE所成的角的大小是 ……12分 4 【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系～考查空间想象能力和推理论证能力(综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解～同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修2》立体几何章节复习题～复习时应注重课本～容易出现找错角的情况～要考虑全面～考查空间想象能力～属于中档题( f(x),lg(x，1)20(已知函数. 0,f(1,2x),f(x),1 (1)若，求的取值范围;(6分) x g(x)g(x),f(x)0,x,1 (2)若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数 y,g(x)(x,[1,2])的反函数.(8分) 2,2x,0,,1,x,1[解](1)由，得. ,x，1,0, 2,2x2,2x 由得. ……3分 0,lg(2,2x),lg(x，1),lg,11,,10x，1x，1 21x，1,0x，1,2,2x,10x，10 因为，所以，. ,,x,33 ,,,1x1,21 由得. ……6分 ,,x,,3321,,,x33, (2)当x,[1,2]时，2-x,[0,1]，因此 y,g(x),g(x,2),g(2,x),f(2,x),lg(3,x). ……10分 y,[0,lg2]由单调性可得. yxx,3,10x,[0,lg2]因为，所以所求反函数是，. ……14分 y,3,10 【点评】本题主要考查函数的概念、性质、分段函数等基础知识(考查数形结合思想～熟练掌握 指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质～属于中档题( 21(海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴 正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，则救援船恰在失事船的正南方向12海 里A处，如图. 现假设:?失事船的移动路径可视为抛物线 y P 212;?定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;?救 y,x49 援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为. t t,0.5 (1)当时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时 x O 两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向;(6分) (2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船,(8分) 2712A t,0.5[解](1)时，P的横坐标x=，代入抛物线方程 y,x7t,P249 中，得P的纵坐标y=3. ……2分 P 949 由|AP|=，得救援船速度的大小为海里/时. ……4分 94927727, 由tan?OAP=，得?OAP=arctan，故救援船速度的方向 3，123030 7 为北偏东arctan弧度. ……6分 302 (2)设救援船的时速为海里，经过小时追上失事船，此时位置为. t(7t,12t)v 222221vt,(7t)，(12t，12)v,144(t，)，337 由，整理得.……10分 2t 21t，,2 因为，当且仅当=1时等号成立， t2t 22v,144，2，337,25v,25 所以，即. 因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分 22xOy22(在平面直角坐标系中，已知双曲线. C:2x,y,11 (1)过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成 CC11 的三角形的面积;(4分) 22 (2)设斜率为1的直线l交于P、Q两点，若l与圆相切，求证: x，y,1C1 OP?OQ;(6分) 22 (3)设椭圆. 若M、N分别是、上的动点，且OM?ON， C:4x，y,1CC212 求证:O到直线MN的距离是定值.(6分) 222xA(,,0)[解](1)双曲线，左顶点，渐近线方程:. C:,y,1y,,2x1122 2y,2(x，) 过点A与渐近线平行的直线方程为，即. y,2xy,2x，12 2,,x,,y,,2x,4 解方程组，得. ……2分 ,,1y,,y,2x，1,2, 21S,|OA||y|, 所以所求三角形的面积1为. ……4分 28 y,x，b (2)设直线PQ的方程是.因直线与已知圆相切， |b|2b,2,1 故，即. ……6分 2 ,，yxb,22x,2bx,b,1,0 由，得. ,222,,1xy, ，,2xxb,12 设P(x, y)、Q(x, y)，则. 1122,2xx,,b,1,12 又2，所以 2 OP,OQ,xx，yy,2xx，b(x，x)，b12121212222， ,2(,b,1)，b,2b，b,b,2,0 故OP?OQ. ……10分 (3)当直线ON垂直于x轴时， 32 |ON|=1，|OM|=，则O到直线MN的距离为. 23 当直线ON不垂直于x轴时， 21y,kx|k|, 设直线ON的方程为(显然)，则直线OM的方程为. y,,x2k 21,,x,ykx,22,21，k4，k|ON|, 由，得，所以. 22,,222k4，ky,4，,1xy,2,4，k,221，k|OM|,同理. ……13分 22k,1 22222 设O到直线MN的距离为d，因为， (|OM|，|ON|)d,|OM||ON| 233k，3111 所以，即d=. ,，,,322223d|OM||ON|k，1 综上，O到直线MN的距离是定值. ……16分 【点评】本题主要考查双曲线的概念、方程、几何性质及其直线与双曲线的关系、椭圆的标准方程和圆的有关性质.特别要注意直线与双曲线的关系问题～在双曲线当中～最特殊的为等轴双 y,,x曲线～它的离心率为～它的渐近线为～并且相互垂直～这些性质的运用可以大大节省2 解题时间～本题属于中档题 ( n,223(对于数集，其中，，定义向量集 X,{,1,x,x,？,x}0,x,x,？,x12n12n . 若对于任意，存在，使得，则称X Y,{a|a,(s,t),s,X,t,X}a,a,0a,Ya,Y1212 X,{,1,1,2}具有性质P. 例如具有性质P. {,1,1,2,x} (1)若x,2，且，求x的值;(4分) (2)若X具有性质P，求证:1,X，且当x,1时，x=1;(6分) n1 (3)若X具有性质P，且x=1，x=q(q为常数)，求有穷数列的通 x,x,？,x1212n项公式.(8分) (,1,b)[解](1)选取，Y中与垂直的元素必有形式. ……2分 a,(x,2)a11 所以x=2b，从而x=4. ……4分 (2)证明:取.设满足. a,(x,x),Ya,(s,t),Ya,a,0111212 s，t,0 由得，所以、异号. ts(s，t)x,01 因为-1是X中唯一的负数，所以、中之一为-1，另一为1， ts 故1,X. ……7分 1,k,n假设，其中，则. x,10,x,1,xk1n 选取a,(x,x),Y，并设满足，即， a,(s,t),Ysx，tx,0a,a,011n2121n 则、异号，从而、之中恰有一个为-1. ttss 若=-1，则2，矛盾; s 若=-1，则，矛盾. tx,sx,s,xn1n 所以x=1. ……10分 1i,1 (3)[解法一]猜测，i=1, 2, „, n. ……12分 x,qi 记，k=2, 3, „, n. A,{,1,1,x,？,x}k2k 先证明:若具有性质P，则也具有性质P. AAk，1k 任取，、,.当、中出现-1时，显然有满足; a,(s,t)tAtssaa,a,01k212 s,,1t,,1 当且时，、?1. ts 因为具有性质P，所以有，、,，使得， AAsta,(s,t)a,a,0k，1k，12111211 从而和中有一个是-1，不妨设=-1. sst111 假设,且,，则.由，得，与 AAt,x(s,t),(,1,x),0s,tx,xttk，1k1k，1k，1k，1k，111 ,矛盾.所以,.从而也具有性质P. ……15分 AAAstkkk1 i,1现用数学归纳法证明:，i=1, 2, „, n. x,qi 当n=2时，结论显然成立; i,1 假设n=k时，有性质P，则，i=1, 2, „, k; x,qA,{,1,1,x,？,x}k2ki 当n=k+1时，若有性质P，则 A,{,1,1,x,？,x,x}A,{,1,1,x,？,x}k，12kk，1k2k k,1 也有性质P，所以. A,{,1,1,q,？,q,x}k，1k，1 a,(x,q) 取，并设满足，即.由此可得s与t中a,(s,t)xs，qt,0a,a,01k，12k，112 有且只有一个为-1. t,,1 若，则1，不可能; k,1kk,1ks,,1 所以，，又，所以. x,qt,q,q,qx,qx,q，1k，1k，1k i,1i,1 综上所述，，i=1, 2, „, n. ……18分 x,qx,qii st12,, [解法二]设，，则等价于. a,(s,t)a,(s,t)a,a,0ts1112221212 s 记，则数集X具有性质P当且仅当数集B关于 B,{|s,X,t,X,|s|,|t|}t 原点对称. ……14分 注意到-1是X中的唯一负数，共有n-1个数， B:(,,,0),{,x,,x,？,,x}23n B:(0,，,)所以也只有n-1个数. xxxxnnnn,,？,,由于，已有n-1个数，对以下三角数阵 xxxx,1,221nn xxxxnnnn,,？,, xxxx,1,221nn xxx111n,n,n,,,？, xxx231n,n, „„ x2 x1 xxxxxxnn,12nn,12,,？,,,？, 注意到，所以，从而数列的通项公式为 xxxxxx111n,1n,21 xk,1k,12x,x(),q ，k=1, 2, „, n. ……18分 k1x1 【点评】本题主要考查数集、集合的基本性质、元素与集合的关系等基础知识～本题属于信息给 予题～通过定义“具有性质”这一概念～考查考生分析探究及推理论证的能力(综合考查集合XP 的基本运算～集合问题一直是近几年的命题重点内容～应引起足够的重视( 2012年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷) 理科数学 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，第I卷第1至2页，第II卷第3至第4页。满分150分，考试时间120分钟。 考生注意: 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第II卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答题无效。 3.考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。 参考公式: 1锥体体积公式V=Sh，其中S为底面积，h为高。 3 第I卷 一(选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1(若集合A=,-1，1,，B=,0，2,，则集合,z,z=x+y,x?A,y?B,中的元素的个数为 A(5 B.4 C.3 D.2 2.下列函数中，与函数y=定义域相同的函数为 11nxsinxxy= B.y= C.y=xe D. A(xsinxx ,xx21,1，,3.若函数f(x)= ，则f(f(10)= ,lg,1xx,, A.lg101 B.b C.1 D.0 1,,4.若tan+ =4,则sin2= ,tan 1111A( B. C. D. 4253 5.下列命题中，假命题为 A.存在四边相等的四边形不是正方形 B(z,zc,zz为实数的充分必要条件是zz互为工复数 ?121+21,2 C.若x,y?CR，且x+y,2，则x,y至少有一个大于1 1.D(对于任意n?N,C?+C„+C?。都是偶数 ?233445510106(观察下列各式:a+b=1.a+b=3，a+b=4 ，a+b=7,a+b=11,„，则a+b= A.28 B.76 C.123 D.199 7.在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则 A.2 B.4 C.5 D.10 8.某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元 韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元 为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为 A.50,0 B.30.0 C.20,30 D.0,50 9.样本(x,x„，x)的平均数为x，样本(y，y，„，y)的平均数为。若样本(x,x„，12n12n12 1x，y，y，„，y)的平均数，其中0,α,，则n，m的大小关系为 n12n2 A.n,m B.n,m C.n=m D.不能确定 10.如图，已知正四棱锥S-ABCD所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分。记SE=x(0,x,1)，截面下面部分的体积为V(x)，则函数y=V(x)的图像大致为 2012年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷) 理科数学 第?卷 注: 第?卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。若在试题卷上作答，答案无效。 二。填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。 11.计算定积分___________。 12.设数列{a},{b}都是等差数列，若a+b=7，a+b=21，则a+b=___________。 nn113355 13椭圆(a,b,0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F，F。若|AF|，121|FF|，|FB|成等比数列，则此椭圆的离心率为_______________. 121 14下图为某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是______________. 三、选做题:请在下列两题中任选一题作答。若两题都做，则按第一题评阅计分。本 题共5分。 2215.(1)(坐标系与参数方程选做题)曲线C的直角坐标方程为x，y-2x=0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立积坐标系，则曲线C的极坐标方程为___________。 15.(2)(不等式选做题)在实数范围内，不等式|2x-1|+|2x+1|?6的解集为___________。 四(解答题:本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分12分) 已知数列{a}的前n项和,且S的最大值为8. nn (1)确定常数k，求a; n (2)求数列的前n项和T。 n 17.(本小题满分12分) 在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c。已知， 。 (1)求证: (2)若，求?ABC的面积。 a=2 18.(本题满分12分) 如图，从A(1,0,0)，A(2,0,0)，B(0，2，0)，B(0,2,0)，C(0,0,1)，C(0,0,2)这6个点121212中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随 机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V=0)。 (1)求V=0的概率; (2)求V的分布列及数学期望。 19.(本题满分12分) 在三棱柱ABC-ABC中，已知AB=AC=AA=，BC=4，在A在底面ABC的投影是线段BC的中点511111O。 (1)证明在侧棱AA上存在一点E，使得OE?平面BBCC，并求出AE的长; 111(2)求平面A1B1C与平面BBCC夹角的余弦值。 11 20. (本题满分13分) 已知三点O(0,0)，A(-2,1)，B(2,1)，曲线C上任意一点M(x，y)满足 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, . MAMBOMOAOB，,,，，()2 (1) 求曲线C的方程; (2)动点Q(x，y)(-2,x,2)在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为l向:是否存在定点P000 (0，t)(t,0)，使得l与PA，PB都不相交，交点分别为D,E，且?QAB与?PDE的面积之比是常 数,若存在，求t的值。若不存在，说明理由。 21. (本小题满分14分) 若函数h(x)满足 (1)h(0)=1，h(1)=0; a,0,1(2)对任意，有h(h(a))=a; ,, (3)在(0,1)上单调递减。 则称h(x)为补函数。已知函数 (1)判函数h(x)是否为补函数，并证明你的结论; m,0,1(2)若存在，使得h(m)=m，若m是函数h(x)的中介元，记时h(x),, 1,的中介元为x，且，若对任意的，都有S< ,求的取值范围; nN,nn，2 x,0,1,(3)当=0，时，函数y= h(x)的图像总在直线y=1-x的上方，求P的取值范围。 ，， 2012年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 理科数学 本试卷分第I卷和第II卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟，考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。 注意事项: 1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上。 2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。 3.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。 4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 参考公式: 1锥体的体积公式:V=Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。 3 如果事件A，B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B);如果事件A,B独立，那么P(AB)=P(A)?P(B)。 第I卷(共60分) 3. 选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1 若复数x满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位)，则z为 A 3+5i B 3-5i C -3+5i D -3-5i 11，7i(11，7i)(2，i)22,7，(14，11)i解析:.答案选A。 z,,,,3，5i2,i55 z,a，bi(a,b,R)(a，bi)(2,i),2a，b，(2b,a)i,11，7i另解:设，则 2a，b,11,2b,a,7a,3,b,5，解得，于是z,3，5i。 根据复数相等可知 ::2 已知全集={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3,}，B={2,4} ，则(CuA)B为 A {1,2,4} B {2,3,4} C {0,2,4} D {0,2,3,4} 。答案选C。 解析:CA,{0,4},(CA):B,{0,2,4}UU 3x 3 设a,0 a?1 ，则“函数f(x)= a在R上是减函数 ”，是“函数g(x)=(2-a) 在R上是增函x数”的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 3x0,a,1解析:p:“函数f(x)= a在R上是减函数 ”等价于;q:“函数g(x)=(2-a) 在R上是增x 0,a,2,2,a,0函数”等价于，即且a?1，故p是q成立的充分不必要条件. 答案选A。 (4)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，„„，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为 (A)7 (B) 9 (C) 10 (D)15 l,30解析:采用系统抽样方法从960人中抽取32人，将整体分成32组，每组30人，即，第k (k,1)30，9451,(k,1)30，9,750k,z16,k,25组的号码为，令，而，解得，则满足16,k,25的整数k有10个，故答案应选C。 4x,y,,1 O x，2y,2 3x,y,0解析:作出可行域，直线，将直线平移至点处有最大值， (2,0) 2x，y,4 31点处有最小值，即.答案应选A。 (,3),,z,622 (6)执行下面的程序图，如果输入a=4，那么输出的n的值为 (A)2(B)3(C)4(D)5 0解析:; n,0,p,0，4,1,q,2，1,3 1; n,1,p,1，4,5,q,6，1,7 2n,3,p,q，。 n,2,p,5，4,21,q,14，1,15 答案应选B。 37,,，，,,(7)若,，， sin2=，则sin= ,,,428，， 7343(A)(B)(C)(D) 4545 ,,,，，,，解析:由可得， 2,,[,,],,,422，， 12cos21sin2， ,,,,,,,8 1,cos2,3sin,,，答案应选D。 ,24 37,,，，,,，sin2=另解:由及可得 ,,,428，， 3716，679，67，773sin，cos,1，sin2,1，,,,，， ,,,8161644 37,,，，sin,,cos,,,sin,,cos,,，而当时，结合选项即可得.答案应选D。 ,,,4442，， 2(8)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x)，当-3?x,-1时，f(x)=-(x+2)，当-1?x,3时，f(x)=x。则f(1)+f(2)+f(3)+„+f(2012)= (A)335(B)338(C)1678(D)2012 f(,3),,1,f(,2),0,f(,1),,1,f(0),0,f(1),1,f(2),2解析:，而函数的周期为6， f(1)，f(2)，？，f(2012),335(,1，0,1，0，1，2)，f(1)，f(2),335，3,338. 答案应选B (9)函数的图像大致为 cos6cos6xx解析:函数(),，为奇函数， f(,x),,,f(x)fxx,x,xx2,22,2 f(x),，,f(x),,,x,0x,0当x,0，且时;当x,0，且时; x,xx,x2,2,，,2,2,,,f(x),0f(x),0当，，;当，，. x,，,x,,, 答案应选D。 (10)已知椭圆C:的离心率为，双曲线x?-y?,1的渐近线与椭圆有四 个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆c的方程为 y,,x解析:双曲线x?-y?,1的渐近线方程为，代入可得 22ab342222222b,5be,x,,S,4x,16a,2b，则，又由可得，则， ab,4(a，b)222a，b 22xy22，,1于是。椭圆方程为，答案应选D。 b,5,a,20205 (11)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这 些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为 (A)232 (B)252 (C)472 (D)484 16，15，143321解析:,答案应选C。 C,4C,CC,,16,72,560,88,4721644126 12，11，1012，1103312另解:. CC,3C，CC,,12，4，,220，264,12,472412441262 2(12)设函数(x)=，g(x)=ax+bx若y=f(x)的图像与y=g(x)图像有且仅有两f 个不同的公共点A(x,y),B(x,y),则下列判断正确的是 1122 A.当a<0时，x+x<0,y+y>0 1212 B. 当a<0时, x+x>0, y+y<0 1212 C.当a>0时，x+x<0, y+y<0 1212 D. 当a>0时，x+x>0, y+y>0 1212 1232322,解析:令，则，设， ,ax，bx1,ax，bx(x,0)F(x),ax，bxF(x),3ax，2bxx 2b2,x,,令，则，要使y=f(x)的图像与y=g(x)图像有且仅有两个不同的公F(x),3ax，2bx,03a ,2b2b2b32324b,27aa,,2,b,3共点只需，整理得，于是可取来F(),a(,)，b(,),13a3a3a 1322x，3x,1a,2,b,3时，，解得，此时，此时研究，当1,x,,x,y,,1,y,212122 132,2x，3x,1a,,2,b,3;当时，，解得1,，此时x,x,,x，x,0,y，y,01212122 ，此时.答案应选B。 y,1,y,,2x，x,0,y，y,0121212 1f(x),g(x)另解:令可得。 ,ax，b2x y y1,,,,y,ax，by,ax，b,,,设 y,,y,ax，b 2(a,0)(a,0) xxx xxxx1212不妨设，结合图形可知， x,x12 x,xa,0当时如右图，此时， 12 11y,,,,,y即，此时，，即;同理可由图形经,x,x,0x，x,0y，y,021121212xx21 a,0过推理可得当时.答案应选B。 x，x,0,y，y,01212 第?卷(共90分) 二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分。 (13)若不等式的解集为，则实数k=__________。 ,2,kx,4,22,kx,61,x,3k,2解析:由可得，即，而，所以. ,k,4,2x,1,x,3kx,4,2k,2另解:由题意可知是的两根，则，解得. ,3k,4,2, (14)如图，正方体ABCD-ABCD的棱长为1，E,F分别为线段AA,BC上的点，则三棱锥D-EDF1111111的体积为____________。 111111解析:. V,V,，，，，,D,EDFF,DDE11326 (15)设a,0.若曲线与直线x,a，y=0所围成封闭图形的面积为a，则a=______。 33a229a22S,xdx,x,a,a解析:，解得. a,0,0334 (16)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为______________。 解析:根据题意可知圆滚动了2单位个弧长，点P旋转 2了弧度，此时点P的坐标为 ,21C ,x,2,cos(2,),2,sin2,PD 2,. y,1，sin(2,),1,cos2,P2 OP,(2,sin2,1,cos2) ,,，x2cos,另解1:根据题意可知滚动制圆心为(2,1)时的圆的参数方程为，且,,，y1sin,, ,3,x,2，cos(,2),2,sin2,3,2，则点P的坐标为，即，PCD,2,,,2,,3,2,y,1，sin(,2),1,cos22, OP,(2,sin2,1,cos2). 三、解答题:本大题共6小题，共74分。 (17)(本小题满分12分) 已知向量m=(sinx，1)，函数f(x)=m?n的最大值为6. (?)求A; 1,(?)将函数y=f(x)的图象像左平移个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，212 纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象。求g(x)在上的值域。 ,A3A,,解析:(?)， fxmnAxxxAxxAx(),,,3cossin，cos2,sin2，cos2,sin2，,,2226,,A,6则; ,,,(?)函数y=f(x)的图象像左平移个单位得到函数的图象， y,6sin[2(x，)，]12126 1,再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数. g(x),6sin(4x，)23 571,,,,,g(x),[,3,6]当时，，. x,[0,]4x，,[,],sin(4x，),[,,1]2433632 [,3,6]故函数g(x)在上的值域为. ,,,,g(x),0可得，令， 另解:由g(x),6sin(4x，)g(x),24cos(4x，)33 5,,,,则，而，则， x,4x，,k，(k,Z)x,[0,],243224 57,,,,,， 于是g(0),6sin,33,g(),6sin,6,g(),6sin,,33242246 ,3,g(x),6[,3,6]故，即函数g(x)在上的值域为. (18)(本小题满分12分) 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB?CD，?DAB=60?，FC?平面ABCD，AE?BD，CB=CD=CF。 z (?)求证:BD?平面AED; (?)求二面角F-BD-C的余弦值。 y x 解析:(?)在等腰梯形ABCD中，AB?CD，?DAB=60?，CB=CD, 22202由余弦定理可知, BD,CD，CB,2CD,CB,cos(180,，DAB),3CD即,在中，?DAB=60?，，则为直角三角形，BD,3CD,3AD,ABDBD,3AD,ABD AD:AE,A且AD,DB。又AE?BD，AD,平面AED，AE,平面AED，且，故BD?平面AED; AC,CBCB,1(?)由(?)可知，设，则,建立如图所示的空间直角坐标系，CA,BD,3 31F(0,01),B(0,1,0),D(,,,0)BDCn,(0,0,1)，向量为平面的一个法向量. 22 ,33,m,BD,0,,x,y,0m,(x,y,z)设向量为平面BDF的法向量，则,即， ,,22,m,FB,0,,y,z,0, y,1m,(3,1,1)取，则，则为平面BDF的一个法向量. x,3,z,1 m,n15cos,m,n,,,,，而二面角F-BD-C的平面角为锐角，则 55mn 5二面角F-BD-C的余弦值为。 5 (19)(本小题满分12分) 现有甲、乙两个靶。某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分;向乙靶射击两次，每次命中的概率为,每命中一次得2分，没有命中得0分。该射手每次射击的结果相互独立。假设该射手完成以上三次射击。 (?)求该射手恰好命中一次得的概率; (?)求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX 31112721解析:(?)(); P,,，,C,,,24343336 X,0,1,2,3,4,5(?) 1113111121221(0)().(1)(),(2), PX,,,,PX,,,,PX,,C,,2433643124339 3121121321122(3),(4)(),(5)() PX,,C,,PX,,,,PX,,,,24333439433X 0 1 2 3 4 5 P 111111 93933612 415111111EX=0×+1×+2×+3×+4×+5×=. ,3939336121212 (20)(本小题满分12分) 在等差数列{a}中，a+a+a=84，a=73. n3459 (?)求数列{a}的通项公式; nm2m(?)对任意m?N,，将数列{a}中落入区间(9，9)内的项的个数记为bm，求数列{b}的nm前m项和S。 m 解析:(?)由a+a+a=84，a=73可得而a=73，则，5d,a,a,45,d,93a,84,a,28,345599444 ，于是，即. a,1，(n,1)，9,9n,8a,9n,8a,a,3d,28,27,1nn14 m2mm2m9,9n,8,99，8,9n,9，8(?)对任意m?N,，，则， 882m,1m,1m,12m,199n,N*即，而，由题意可知b,9,9， ，,n,，m99 132m,101m,1于是S,b，b，？，b,9，9，？，9,(9，9，？，9) m12m 2m，1m2m，1m2m，1m2m，1m9919999191091919,,,,,,，，,,,,,,,， 21980880808,19, 2m，1m919，S,,即. m808 (21)(本小题满分13分) 2在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C:x=2py(p,0)的焦点，M是抛物线C上位于第一象限 3内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为。 4(?)求抛物线C的方程; (?)是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M,若存在，求出点M的坐标;若不 存在，说明理由; 1(?)若点M的横坐标为，直线l:y=kx+与抛物线C有两个不同的交点A，B，l与圆Q有24 1两个不同的交点D，E，求当?k?2时，的最小值。 2 2xp20Q(a,b)解析:(?)F抛物线C:x=2py(p,0)的焦点F，设M，，由(0,)(x,)(x,0)0022p ppp33pp,1题意可知，则点Q到抛物线C的准线的距离为，解得，b，,，,p,b,442424 2于是抛物线C的方程为. x,2y (?)假设存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M， 2x110(0,),(0,0),(,)MQ,OQ,QFFOMx而，，， Q(a,)0224 32xx11322200()()x,a，,,a，a,,x，， 00241688 2x10,1311422242,y,xk,x,x,x,,x由可得，，则， x,2y000038842x30,x088 142x，x,2,0即，解得，点M的坐标为. x,1(1,)0002 21Q(,,)(?)若点M的横坐标为，则点M，。 (2,1)284 2,xy,21,2由可得，设， x,2kx,,0A(x,y),B(x,y)1,1122ykx,，2,4, 22222AB,(1，k)[(x，x),4xx] ,(1，k)(4k，2)1212 ,2k,82k2121322:()()Qx，，y,,，,圆，D,, 22826416321，k81，k 223k3，2k2DE,4[,],， 223232(1，k)8(1，k) 23，2k522222于是AB，DE,(1，k)(4k，2)，，令 1，k,t,[,5]248(1，k) 2322111，kt，22222(1)(42)(42)42， AB，DE,，kk，，,tt,，,t,t，，2884tt8(1)，k 1112,()42设，g(t),8t,2,， gt,t,t，，2848tt 15,当时，， t,[,5]g(t),8t,2,,0248t 51255111()424即当t,,k,时gt,，,，，，,. min5164410428，4 1122()4故当时，. k,AB，DE,min210 22(本小题满分13分) lnx，k已知函数f(x) = (k为常数，e=2.71828„„是自然对数的底数)，曲线y= f(x)在点(1，f(1))xe 处的切线与x轴平行。 (?)求k的值; (?)求f(x)的单调区间; ,22fx'()fx'()(?)设g(x)=(x+x) ,其中为f(x)的导函数，证明:对任意x,0，。 g(x),1，e 1,k,lnxlnx，k1,kx,,f(x),f(1),0k,1解析:由f(x) = 可得，而，即，解得; ,0xxeee 1,1,lnxx,,f(x),f(x),0x,1(?)，令可得， xe 11,,0,x,1x,1当时，;当时，。 f(x),,1,lnx,0f(x),,1,lnx,0xx f(x)(0,1)(1,，,)于是在区间内为增函数;在内为减函数。 11lnx,,221x(xx)lnx,,，2xg(x)(xx)简证(?)， ,，,xxee 22x,2x,1当时， ，. 1,x,0,lnx,0,x，x,0,e,0g(x),0,1，e 1,1,lnx221,x,(x，x)lnx2,2x0,x,1g(x),(x，x),,1，e当时，要证。 xxee 222x,只需证，然后构造函数即可证明。 1()ln(1),,，,，xxxxee 2012年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 数学 (全卷满分160分，考试时间120分钟) 1棱锥的体积，其中为底面积，为高( ShVSh,3 一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分(请把答案填写在答题卡相应位置上( (((((((( AB:,A,{124}，，B,{246}，，1((2012年江苏省5分)已知集合，，则 ? ( 【答案】。 1,2,4,6,, 【考点】集合的概念和运算。 【分析】由集合的并集意义得。 AB:,1,2,4,6,, ::3342((2012年江苏省5分)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校 高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 ? 名学生( 【答案】15。 【考点】分层抽样。 【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样。将总体划分为若干个同质层，再在各层内随机抽样或机械抽样，分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起，分组减小了各抽样层变异性的影响，抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性。因此，由 3知应从高二年级抽取15名学生。 50=15，334，， 117i,ab，,R3((2012年江苏省5分)设，(i为虚数单位)，则的值为 ? ( ab，ab，,i12i, 【答案】8。 【考点】复数的运算和复数的概念。 117i12i,，，，，，117i1115i14,，，117i,ab，,，i===53i【分析】由得，所以ab，,i12i12i12i14,,，，，，，，12i, ab=5=3，， 。 ab，=8 4((2012年江苏省5分)下图是一个算法流程图，则输出的k的值是 ? ( 【答案】5。 【考点】程序框图。 【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下表: 2 k 是否继续循环 k5k4,， 0 0 循环前 1 0 第一圈 是 2 第二圈 是 ,2 3 第三圈 是 ,2 4 0 第四圈 是 5 4 第五圈 是 第六圈 否 输出5 ?最终输出结果k=5。 f(x),1,2logx5((2012年江苏省5分)函数的定义域为 ? ( 6 ，【答案】。 0 6，，， 【考点】函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式。 【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得 x>0,x>0,x>0,,,,,,0y>00，, x 作出()所在平面区域(如图)。求出的切 xy，ye=线的斜率，设过切点的切线为， yexmm=0，,Pxy，e，，，，00 yexm，m00 则，要使它最小，须m=0。 ==e，xxx000 yxAB, ?的最小值在处，为。此时，点在上之间。 Pxy，Pxy，ye=e，，，，0000x yxyx=45=205,,,,y 当()对应点C时， ， ,,,yx=7=7xy，,,yxyx=534=2012,,x,, y ?的最大值在C处，为7。 x yb ?的取值范围为，即的取值范围是。 e， 7e， 7,,,,xa 二、解答题:本大题共6小题，共计90分(请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证((((((( 明过程或 演算步骤( ,,,,,,,,,,,,,,,, 15((2012年江苏省14分)在,ABC中，已知( ABACBABC ,3(1)求证:tan3tanBA,; 5(2)若求A的值( cosC,，5 ,,,,,,,,,,,,,,,,【答案】解:(1)?，?ABACABABCB cos=3cos，即ABACBABC ,3 ACABCB cos=3cos。 ACBCsincos=3sincosBAAB 由正弦定理，得，?。 =sinsinBA sinsinBA 又?，?。?即0B>，=3 coscosBA 。 tan3tanBA, 2,,5525 (2)? ，?。?。 tan2C,,，,cos0Ctan=1A4 【考点】平面微量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，解三角形。 ,,,,,,,,,,,,,,,, 【解析】(1)先将表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系式证ABACBABC ,3 明。 5tan，,，，,AB (2)由可求，由三角形三角关系，得到，从而根据tanCcosC,，，，，，5 两角和的正切公式和(1)的结论即可求得A的值。 ABCABC,ABAC,BCCC，DE，16((2012年江苏省14分)如图，在直三棱柱中，，分别是棱11111111 BCADDEF,，上的点(点 不同于点C)，且为的中点( D11 BCCB求证:(1)平面平面; ADE,11 AF// (2)直线平面( ADE1 ABCABC,CC,ABC【答案】证明:(1)?是直三棱柱，?平面。 1111 CCAD, 又?ABC平面，?。 AD,1 ADDECCDE,,，，BCCBCCDEE，:, 又?平面，?平面AD,1111 BCCB。,lb ylfx, 11 BCCB 又?平面，?平面平面。 AD,ADEADE,11 ABAC,BCAFBC, (2)?，为的中点，?。 F111111111 CC,CCAF,ABCAF,ABC?平面，且平面，?。 又1111111111 CCBC， ,BCCBCCBCC:,AF,ABC 又?平面，，?平面。 1111111111111 BCCBAF 由(1)知，平面，??。 AD,AD111 ADEAF, ,AF//?平面平面，?直线平面 又AD,ADEADE11【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系。 BCCBBCCB【解析】(1)要证平面平面，只要证平面上的平面即可。它ADE,ADEAD,1111 ABCABC,可由已知是直三棱柱和证得。 ADDE,111 AF//AF (2)要证直线平面，只要证?平面上的即可。 ADEADEAD11 17((2012年江苏省14分)如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，xoyyx 122单位长度为1千米(某炮位于坐标原点(已知炮弹发射后的轨迹在方程表ykxkxk,,，,(1)(0)20示的曲线上，其中与发射方向有关(炮的射程是指炮弹落地点的横坐标( k (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标不超过a 多少时， 炮弹可以击中它,请说明理由( 112222y,0【答案】解:(1)在中，令，得。 kxkx,，(1)=0ykxkxk,,，,(1)(0)2020 由实际意义和题设条件知x>k>00，。 202020kk=1 ?，当且仅当时取等号。 x===10,2112，k，kk ?炮的最大射程是10千米。 122 (2)?，?炮弹可以击中目标等价于存在，使成立， a>0k,0kaka,，(1)=3.220 222akaka,，，2064=0 即关于的方程有正根。 k 222 由得。 a,6,,,，,=204640aaa，，，， 2222020464aaaa，,,，，，，， 此时，(不考虑另一根)。 k>=022a ?当不超过6千米时，炮弹可以击中目标。 a 【考点】函数、方程和基本不等式的应用。 122【解析】(1)求炮的最大射程即求与轴的横坐标，求出后应用基本xykxkxk,,，,(1)(0)20 不等式求解。 (2)求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解。 y,f(x)18((2012年江苏省16分)若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数x,xx00y,f(x)的极值点。 32已知ab，是实数，1和是函数的两个极值点( ,1fxxaxbx(),，， (1)求和的值; ba ,gxfx()()2,，gx()gx()(2)设函数的导函数，求的极值点; c,,[22]，yhx,()hxffxc()(()),,(3)设，其中，求函数的零点个数( 322【答案】解:(1)由，得。 fxxaxbx(),，，f'xxaxb()32,，， 32 ?1和是函数的两个极值点， ,1fxxaxbx(),，， f'ab(1)32=0,,,，f'ab(1)32=0,，， ? ，，解得ab==30，,。 3 (2)? 由(1)得， ， fxxx()3,, 23,xxx==1=2，,gxfxxxxx()()2=32=12,，,，,， ?，解得。 ，，，，123 ,,gx<()0gx>()0 ?当x<,2时，;当,21()0gx() ?当,211时，，? x=1不是的极值点。 gx() ?的极值点是,2。 fxt()=hxftc()(),,(3)令，则。 fxd()= 先讨论关于 的方程 根的情况: d,,2, 2x,, fx()=2,fx()当时，由(2 )可知，的两个不同的根为I 和一2 ，注意到d=2 fx()=2是奇函数，?的两个不同的根为一和2。 fdfdd>(1)=(2)=20,,,,fdfdd<(1)=(2)=20,,,,,当时，?， ， d<2 fxd()=?一2 , ,1，1 ，2 都不是的根。 由(1)知。 f'xxx()=311，,，，，， fx()fx>f()(2)=2f'x>()0? 当时， ，于是是单调增函数，从而。 x,，,2，，， fxd()=此时在无实根。 2，，,，， fx()f'x>()0 当时(，于是是单调增函数。 ?x,1 2，，， fd>(2)0,fd<(1)0,yfxd=(),又?，，的图象不间断， fxd()=? 在(1 , 2 )内有唯一实根。 fxd()=同理，在(一2 ，一I )内有唯一实根。 fx()f'x<()0? 当时，，于是是单调减两数。 x,,1 1，，， fd>(1)0,,fd<(1)0,yfxd=(),又?， ，的图象不间断， fxd()=?在(一1，1 )内有唯一实根。 xx，fxd()=因此，当时，有两个不同的根满足;当 d=2xx=1 =2，d<21212 时 xxx，，fxd()=有三个不同的根，满足。 xy>，，，，，00，，，，112212 2,x221mm，，22，,y1,221 ?。 ,，,,,mymyy221=0=，，,21112m，2,myx=1，11, 222211mmm，，，，，mm，，2222222AFxymyym=10==1，，,，，,,?。? ，，，，，，1111122mm，，22 22211mmm，,，，，BF= 同理，。? 22m，2 2221mm，216mm，2m (i)由??得，。解得=2。 AFBF,,=1222m，2m，22 m=2 ?注意到m>0，?。 12AF ?直线的斜率为。 =1m2 BFPB2AFBF (ii)证明:??，?，即,12PFAF11 BFPBPFBFAF，，PB2121。 ，,，,,11PFAFPFAF1111 AF1 ?。 PFBF=11AFBF，12 AF1 由点在椭圆上知，，?。 PFBF=22,BBFBF，,22，，1212AFBF，12 BF2 同理。。 PFAF=22,，，21AFBF，12 AFBFAFBF2 122? PFPFBFAF+=222222,，,,,，，，，1221AFBFAFBFAFBF，，，121212 22221m，，，m，1 由??得，，， AFBF =AFBF，=122m，2m，2 23 ?。 PFPF+=22=2,1222 PFPF， ?是定值。 12 【考点】椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式。 ,,3(1)，e【解析】(1)根据椭圆的性质和已知和都在椭圆上列式求解。 e，,,,,2,, 6 (2)根据已知条件，用待定系数法求解。 AFBF,,122 a，bnn{}a{}ba,20((2012年江苏省16分)已知各项均为正数的两个数列和满足:，nnn，122a，bnn n,N*， 2,,b,,b,,nn1b,，n,N*(1)设，，求证:数列是等差数列; ,,,,，1naan,,,,n,, bn{}aab2b,,n,N*(2)设，，且是等比数列，求和的值( n11，1nan babb，nnnn，11b,，【答案】解:(1)?，?。 =a,，1nn，1222anab，,,nnbn1，,,an,, 2,,bbnn，1 ? 。? 1,，,,aann，,,1 22222,,,,,,,,,,bbbbnnnn，1,, 。 11*nN,,，,,,，，,,,,,,,,,,aaaa,,nnnn，1,,,,,,,,,, 2,,,,b,,n ?数列是以1 为公差的等差数列。 ,,,,an,,,,,, 2ab，，，2nn22a>b>00，(2)?，?。 ,，，ab0q=1q>0 设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明 qnn a2n2q>1,n>log 若则，?当时，，与(,)a,2q，1112naq1矛盾。 a1n201,a>=1n>aaq<,1logq，1112naq1矛盾。 q=1 ?综上所述，。?，?。 121 若，则，于是。 a,21231a1 22a，baaa,,2ab，nn1111na, 又由即，得。 b=a,nn，1122222a,11ab，a，b1nnn bbb，，b0=？？，，xyzxyz++242 C fxfaa7.定义在(-?，0)?(0，+?)上的函数，如果对于任意给定的等比数列，，，,,,,,,nn fx仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”。现有定义在(-?，0)?(0，+?)上的如下，， 2xfxx=fx=2fxx=ln函数:?;?;?;?。 fxx=，，，，，，，， fx则其中是“保等比数列函数”的的序号为 ，， A.?? B.?? C.?? D.?? 22fa,,，，aan+122nn+1+1===afxx=q令等比数列的公比为，?，是等比数列;?q，，,,,,n2faaa，，nnn,, xfx=2， ，， an+1fa，，2+1-aannn+1不一定是 常数，不一定是等比数列;?，==2fxx=，，anfa2，，n afa，，an+1n+1n+1 ===qfaa，，annn nnnafan=2,=ln2=ln2=ln2fxx=ln是等比数列;?，举个特例，令是等差数列不是，，，，nn 等比数列，从而选C 8.如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆。在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 21121A. B. C. D. 1--,,,,2 12设大圆的半径为2，则小圆半径为1，扇形面积为，而阴影部分的面积为,,，S=2=扇4 ,,111,,,,,,，在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分-2-2-+2-=-2，，，，,,,,,,,,,24242,,,,,, ,-22的概率，故选A P==1- ,, 2fxxx=cos9.函数在区间[0,4]上的零点个数为 ，， A.4 B.5 C.6 D.7 ,2x=0f0=0当时，，当，而使余弦为零的角的弧度数为，令0<4,0<16xx,,kkZ+,,,，，2 , k+16,,2 ,,,,,357911,kkkkk=0,=1,=2,=3,=4k=5则时对应角分别为均满足条件，当时，>16,,,,222222 不满足条件，综上零点个数为6个，故选C 10.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式 163dV,。人们还用过一些类似的近似公式。根据=3.14159…..判断，下列近似公式中最精确,9 的一个是 16300213333dV,dV,dV,A. B. 5 C. D. dV,2157119 3V36VV43333R=d=2=由球的体积公式得，由此得，经验证最精确的为D ,VR=4,,,43 二、填空题:本大题共6小题，考试共需作答5小题，每小题5分，共25分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。 (一)必考题(11-14题) abcabcab+-++= 11.设?ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c.若，则角，，，，C=______________。 222abc+-122222abcababcab+-=+-=-,abcabcab+-++=由 得，所以，cos==-C，，，，，，22abC=120: 12.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=___________. ns=1,=1ns=2,=4n=3s=9;，当时，输出 13.回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数。如22，,11,3443,94249等。显然2位回文数有9个:11,22,33„，99.3位回文数有90个:101,111,121，„，191,202，„，999。则 (?)4位回文数有______个; (?)2n，1(n?N+)位回文数有______个。 4位回文数有1001,1111,1221,1331，„，1991,2002,2112,2222,2332，„， 2992，,9009,9119，„，9999共90个 n910 9101010，，，，？2n，1(n?N+)位回文数有，共有n个10，所以为个 22xy-=1>>0ab14.如图，双曲线的两顶点为，虚轴两AA,，，1222ab 端点为，两焦点为。若以为直径的圆内切于菱形BB,FF,AA121212 ，切点分别为A，B，C，D。则 FBFB1122 (1)双曲线的离心率e=______; ABCD(2)菱形的面积与矩形的面积的比值FBFBSS112212 S1=__________。 S2 22222222222224224(1)由已知 bcbcbcabccacacacaca=a+=+-=2--3+=0,,,，，，，，， 3+55+1422ee-3+1=0ee==,，解得 22 bcOA(2)由已知得，又直线的方程为，而直线的方程为联立解BFyxc=--yx=Sbc=2，，221cb得 2,bcx=22,22bcbc,bc+S=4，所以，,222222bcbc++bc,y=22,bc+, 22222222bccae+2-2-1，，，，，，Sbc25+21 =====222222222bcbcSbc222-2-1cacee，，，，242222bcbc++ (二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分。) 15.(选修4-1:几何证明选讲) 如图，点D在?O的弦AB上移动，AB=4，连接OD，过点D作OD的垂线交?O于点C，则CD的最大值为_____________。 22ODDCDCrOD,？=-OCr=设圆的半径为，由已知，又，显然 r 12222ODODODAB,最小时，CD有最大值，而取最小值时，，此时，所以ODrABr=-=-44CD有最大值2 16.(选修4-4:坐标系与参数方程) ,O在直角坐标系xoy中，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线与=x,4 xt=+1,,(t为参数)相较于A，B来两点，则线段AB的中点的直角坐标为_________。 曲线,2yt=-1，，,, xt=+1,,2,yx=-2yxx=0,射线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为联立方=,，，，，,24yt=-1，，,, 程解得 xx=1=4,,55,,,，所以线段AB的中点的直角坐标为 ,,,,,22yy=1=4,,,, 三、解答题:本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分12分) ,, 已知向量，设函数axxxbxxx=cos-sin,sin,=-cos-sin,23cos,,,,,,，，，， ,,1,,,,,fxabxR=+ ,,,,,1的图像关于直线x=π对称，其中为常数，且 ，，，，,,2,, fx(1)求函数的最小正周期; ，， ,3,,,，，fx,0(2)若y=f(x)的图像经过点，求函数在区间0,上的取值范围。 ，，,,,,45,,，， ,, fxabxxxxxx=+=sin-cossin+cos+23sincos+,,,,,,,, ，，，，，， ,,,22=sin-cos+23sincos+=3sin2-cos2x+=2sin2-+xxxxxx ,,,,,,,,,,,,6,, ,, fxabxR=+ ,,(1)函数的图像关于直线x=π对称，所以，，，， ,,k1 ，,？,2-=+,=+,kkZkz,,,,6223 26155,,,,,,,,,=又,,1,=，所以fxx=2sin-+的周期为 ,，，,,,,553626,,,, 3 ,5,,,,,,,0(2)若y=f(x)的图像经过点2sin-+=0=-2，？，则有，所以,,,,,,4346,,,, 5,,,fxx=2sin--2 ，，,,36,, 3555,,,,,3,，，，，,,，，fxxxx,,？,0,,--,,2sin--1,20,，函数在区间上的取值，，,,,,,,,,,,55366636，，，，，，,, ，，范围为 -1-2,2-2，， 18.(本小题满分12分) a已知等差数列前三项的和为-3，前三项的积为8. ,,n a(1)求等差数列的通项公式; ,,n a(2)若成等比数列，求数列的前n项的和。 aaa,,,,n231 19.(本小题满分12分) 如图1，?ACB=45?，BC=3，过动点A作AD?BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将?ABD折起，使?BDC=90?(如图2所示)， (1)当BD的长为多少时，三棱锥A-BCD的体积最大; (2)当三棱锥A-BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN?BM，并求EN与平面BMN所成角的大小 20((本小题满分12分) 根据以往的经验，某工程施工期间的将数量X(单位:mm)对工期的影响如下表: 降水量X X<300 300?X<700 700?X<900 X?900 工期延误天数Y 0 2 6 10 历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求: (I)工期延误天数Y的均值与方差; (?)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率。 21.(本小题满分13分) 22ll设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，AADxy+=1xx DMmDAmm=>0,1且,l点在直线上，且满足.当点在圆上运动时，记点的轨迹为MAM，， C曲线. CC(1)求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求焦点坐标; PQ,kC(2)过原点且斜率为的直线交曲线于两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为 PQPH,QNCk>0点N，直线交曲线于另一点H，是否存在，使得对任意的，都有,若存m 在，求的值;若不存在，请说明理由。 m 22.(本小题满分14分) rfxrxxrx=-+1->0fx0<<1r(1)已知函数，其中为有理数，且.求的最小值; r，，，，，，，，(2)试用(1)的结果证明如下命题: bb12设为正有理数，若，则; aaabab,+bb+=1aabb,,0,0,,121122121212 (3)请将(2)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题。注:当为正, ,,-1xx'=,有理数时，有求导公式 ，， 2012年贵州省普通高等学校招生适应性考试 理科数学 本试卷分第I卷(选择题)和第?卷(非选择题)两部分。第I卷l至2页。第?卷3至4页。 第I卷 (本试卷共l2小题，每小题5分，共60分) 注意事项: 1、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上。 2、答题前，请认真阅读答题卡上的“注意事项”。 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 一、选择题 (x,,2)0yx,,ln(1)(1) 设全集U=R，若A={x|}，B={x|}，则= AB:()ðU (A)(-2，1) (B)(-2，1] (c)[1，2) (D)(1，2) 42,i(2)复数在复平面内所对应的点的坐标为 z,12，i (A)(0，2) (B)(0，-2) (C)(4，-5) D(4，5) ,2,(3) 已知sin()=，则()的值等于 ，,cos,,344 5522,(A) (B) (c) (D) ,3333 2(4) 设{}为递增等比数列，和是方程4x—8x+3=0的两根，则= aaaan201020112012 9 (A) 9 (B) 10 (C) (D) 25 2 x,,(5) 将函数的图象按向量a=(，2)平移后所得图象的函数为 y,，2sin(),436 xx,, (A) (B) y,，,2sin()2y,，，2sin()23434 xx,, (c) (D) y,,,2sin()2y,，，2sin()2312312 o(6) 若非零向量a、b、c满足a+b+c=0，|c|=|a|，且c与b的夹角为l50，则向量a3 与c的夹角为 oooooo (A)150 (B)90或l20 (C)90或150 (D)60 (7) 下面四个命题: ?“直线a?直线b”的充分条件是“直线a平行于直线b所在的平面”; ?“直线l平面”的充要条件是“直线l平面内无数条直线”; ,,,, ?“直线a、b不相交”的必要不充分条件是“直线a、b为异面直线”; ,, ?“平面?平面”的必要不充分条件是“平面内存在不共线三点到平面的距,, 离相等”( 其中正确命题的序号是 (A)?? (B) ?? (C) ?? (D) ? (8)连续抛掷两枚骰子得到的点数分别是m、n，则向量a=(m，n)与向量b=(1，1)共线的概率是 5111 (A) (B) (C) (D) 21236 360xy,,,, ,zkxy(k),，,0(9) 若变量x，y满足约束条件，且的最大值为14，则xy,，,20, ,xy，,3, k= 53 (A)1 (B)2 (C)23 (D) 9 22xy,,,,100(a,b)(10) 已知双曲线的焦点为F、F，M为双曲线上一点，若1222ab ,,,,,,,,,,1FMFM ,0，且tan，则双曲线的离心率为 ，,MFF12122 315 (A) (B) (C) (D) 5226 (11) 某校为全面实施素质教育，大力发展学生社团，2012级高一新生中的五名同学准备参加“文学社”、“戏剧社”、“动漫社”、“爱心社”四个社团，若每个社团至少有一 ”，则名同学参加，每名同学必须参加且只能参加一个社团，若同学甲不参加“动漫社不同的参加方法的种数为 (A) 72 (B) 108 (C) 180 (D) 216 yf(x),f(x)f(x),1(12) 若是定义在R上的函数，且满足:?是偶函数;?是奇函 f(x)lgx,f(x),2012数，且当00; /x?(-3，+?)时，f(x)<0 所以x=3时，函数f(x)取得极大值. 72(x,6)36(3,x)///(,)(对f(x)=求导得:f(x)= 34(x，3)(x，3) //令f(x)=0，得x=6. 列表分析: (-?，-3) (6，+?) x (-3,3) 3 (3,6) 6 /- + 0 - - - f(x) //- - - - 0 + f(x) 11f(x) ? ? 4 ? ? 3X=-3是曲线的铅直渐近线，y=1是曲线的水平渐近线 11计算点的函数值:f(0)=1,f(-1)=-8,f(-9)=-8,f(-15)=- 4草图: 2520(解(,)设d是点M到直线L:x=的距离， 4 MP4,点M的轨迹集合为:P={M?} d5 2222(4)x,，y4xy，,1即，化简的: ,252595,x4 22xy，,1所以轨迹为C的方程为: 259 /(,)设直线m平行直线L，则直线m的方程为:4x-5y+k=0 4,5，,0xyk,,222225x，8kx，k,225,0由 消去y，得 ,xy，,1,259, 22 令?=0 得 64k,100(k,225),0 解得 ，或 k,25k,,2512 / 由图知，当k=25时，直线m与椭圆的交点到直线L的距离最小，此时直线m 的方 程为4x-5y+25=0 40,2515 所以d,,41 22414，5 15 最小距离为. 4141 ,2sin21(解:(,)设,则 a,14 ,,,,,22 244sin22cos2(1cos4sin2sin a,,,,,,,,,23344422 ,若，则由递推关系知 2sina,kk，12 ,,22cos2sina,,, k，1k，1k，222 a所以，的通项公式 ,,n ,, a,2sin(n,N)nn，12 ,n，2,(,)由(,)知，，于是 b,2sin(n,N)nn，12 ,,因为0时，sinx1(C)3 (D)9 是 ? x3(4)函数在区间(0,1)内的零点个数是 f(x),2，x,2 x,|x|,1(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 125(5)在的二项展开式中，的系数为 (2x,)xxx = 2x+1 (A)10 (B)-10 (C)40 (D)-40 输出x a,b,c,ABC(6)在中，内角A，B，C所对的边分别是， 结 束 已知8b=5c，C=2B，则cosC= 77(A) (B) ,2525 247 (C) (D) ,2525 ,ABCAQ,(1,,)AC(7)已知为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足，， AP,,AB 3BQ?CP,,R,,,，若 ，则= 2 1,21(A) (B) 22 ,3,221,10 (C) (D) 22 22(m，1)x，(n，1)y,2,0m,n,R(8)设，若直线与圆相切，则(x,1)，(y,1),1m+n的取值范围是 (A) (B) [1,3,1，3](,,,1,3],[1，3,，,) (C) (D) [2,22,2，22](,,,2,22],[2，22,，,) 第?卷 361二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分. (9)某地区有小学150所，中学75所，大学25所. 33现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校 22对学生进行视力调查，应从小学中抽取_________所 侧视图正视图学校，中学中抽取________所学校. 10)一个几何体的三视图如图所示(单位:m)， (33则该几何体的体积为_________m. 俯视图 B,{x,R|(x,m)(x,2),0},A,{x,R|x，2,3},(11)已知集合集合 A:B,(,1,n),且则m =__________，n = __________. 2,x,2pt,(12)已知抛物线的参数方程为(t为参数),其中p>0，焦点为F，准线 ,y,2pt, ll为. 过抛物线上一点M作的垂线，垂足为E. 若|EF|=|MF|，点M的横坐标是3， 则p = _________. DC(13)如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作 A圆的切线与AC的延长线相交于点D. 过点C作BD的 平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3， FB3FB=1，EF=，则线段CD的长为____________. E2 2x,1 y,kx,2(14)已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点，则实数k的y,x,1 取值范围是_________. 三(解答题:本大题共6小题,共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (15)(本小题满分13分) ,,2已知函数 f(x),sin(2x，)，sin(2x,)，2cosx,1,x,R.33 f(x)(?)求函数的最小正周期; ,,f(x)(?)求函数在区间上的最大值和最小值. [,,]44 (16)(本小题满分13分) 现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. (?)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率; (?)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率; ,,X,Y用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变 E,,量的分布列与数学期望. P (17)(本小题满分13分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA?平面ABCD，AC?AD， AB?BC，?BAC=45?，PA=AD=2，AC=1. B(?)证明PC?AD; A?)求二面角A-PC-D的正弦值; (C (?)设E为棱PA上的点，满足异面 ?，求AE的长. 直线BE与CD所成的角为30D (18)(本小题满分13分) 已知是等差数列，其前n项和为S，是等比数列，且， {a}{b}a,b,2,a，b,27nnn1144 . S,b,1044 (?)求数列与的通项公式; {a}{b}nn **n,Nn,N(?)记，，证明(). T,ab，ab，？，abT，12,,2a，10bnn1n,121nnnn (19)(本小题满分14分) 22xy，,,,1(0)ab设椭圆的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，22ab O为坐标原点. 1(?)若直线AP与BP的斜率之积为，求椭圆的离心率; ,2 k,3.(?)若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足 (20)(本小题满分14分) f(x),x,ln(x，a)已知函数a,0.的最小值为0，其中 (?)求的值; a 2kxx,[0,，,),f(x)(?)若对任意的有?成立，求实数k的最小值; n2*n,N(?)证明,ln(2n，1),2(). ,2i,1,1i 2012年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷) 数学试题(理工农医类) 第I卷(选择题 共50分) 一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 zi,1,i1. 若复数满足，则等于( ) zz ,1,i1,i,1，i1，iA( B( C( D( 2. 等差数列中，，则数列的公差为( ) a，a,10,a,7{a}{a}154nn A(1 B(2 C(3 D(4 3. 下列命题中，真命题是( ) xx20A( B( ，x,R,e,0,x,R,2,x0 aa,1,b,1a，b,0的充要条件是 D(是ab,1的充分条件 C(,,1b 4. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是( ) A(球 B(三棱锥 C(正方体 D(圆柱 5. 下列不等式一定成立的是( ) 112A( B( lg(x，),lgx(x,0)sinx，,2(x,k,,k,Z)4sinx 12C( D( x，1,2|x|(x,R),1(x,R)2x，1 OABC6. 如图所示，在边长为1的正方形中任取一点，则点恰好取自阴影部分的概率为PP ( ) 11A( B( 45 11C( D( 67 1,x为有理数,D(x),7. 设函数，则下列结论错误的是( ) ,0,x为无理数, D(x){0,1}D(x)A(的值域为 B(是偶函数 D(x)D(x)C(不是周期函数 D(不是单调函数 22xy2,,18. 双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线y,12x24b 的距离等于( ) A( B( 542 C(3 D(5 x，y,3,0, ,x(x,y)9. 若直线上存在点满足约束条件，则实数的最大值为( ) x,2y,3,0y,2m, ,x,m, 1A( B(1 2 3 D(2 C(2 x，x112f(x)[a,b]10. 函数在上有定义，若对任意，有，f(),[f(x)，f(x)]x,x,[a,b]121222 f(x)f(x)[a,b]则称在上具有性质。设在[1,3]上具有性质，现给出如下命题: PP f(x)[1,3]?在上的图像时连续不断的; 2?在上具有性质; [1,3]f(x)P f(x)f(x),1x,[1,3]x,2?若在处取得最大值1，则，; ?对任意，有x,x,x,x,[1,3]1234x，x，x，x11234。 f(),[f(x)，f(x)，f(x)，f(x)]123424 其中真命题的序号是( ) A(?? B(?? C(?? D(?? 第?卷(非选择题 共100分) 二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。 34x11. 的展开式中的系数等于8，则实数_________。 (a，x)a, 12. 阅读右图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的值等于_____________________。 s ,ABC13. 已知的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_________。 2 n,14. 数列的通项公式，前项和为，则 ___________。 ,cos，1S,{a}Snann2012nn2 2,a,ab,a,bf(x),(2x,1),(x,1)a,ba,b,15. 对于实数，定义运算“”:，设，且,,2b,ab,a,b, f(x),m(m,R)关于的方程为恰有三个互不相等的实数根，则的取值范xxxx,x,xx123123 围是_______________。 三、解答题:本大题共6小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分13分) 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计书数据如下: 将频率视为概率，解答下列问题: (I)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率; (II)若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为，生产一辆乙品牌X1 轿车的利润为，分别求，的分布列; XXX221 (III)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车， 若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车,说明理由。 17. (本小题满分13分) 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。 202000sin13，cos17,sin13cos17(1); 202000sin15，cos15,sin15cos15(2); 202000sin18，cos12,sin18cos12(3); 202000(4); sin(,13)，cos48,sin(,18)cos48 202000(5)。 sin(,25)，cos55,sin(,25)cos55 (I)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数; (II)根据(?)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。 18. (本小题满分13分) CD如图，在长方体中，，为中点。 EABCD,ABCDAA,AD,111111 (?)求证:; BE,AD11 DP//(?)在棱上是否存在一点，使得平面,若存在，求的长;若不存APPBAEAA11 在，说明理由。 030(?)若二面角的大小为，求的长。 ABA,BA,A11 19. (本小题满分13分) 221xyE:，,1(a,b,0)如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率e,。过FF2122ab2 A,B的直线交椭圆于两点，且的周长为8。 ,ABFF21 (?)求椭圆的方程。 E l:y,kx，mQ与椭圆有且只有一个公共点，且与直线x,4相较于点。(?)设动直线EP PQ试探究:在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点,若存在，MM 求出点的坐标;若不存在，说明理由。 M 20. (本小题满分14分) x2已知函数 f(x),e，ax,ex,a,R y,f(x)(1,f(1))f(x)(?)若曲线在点处的切线平行于轴，求函数的单调区间; x y,f(x)(?)试确定的取值范围，使得曲线上存在唯一的点，曲线在该点处的切线与Pa 曲线只有一个公共点。 P 21. 本题设有(1)、(2)、(3)三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分。如果 多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的 方框图黑，并将所选题号填入括号中。 (1)(本小题满分7分)选修4-2:矩阵与变换 0a,,22设曲线在矩阵 对应的变换作用下得到的曲线为2x，2xy，y,1A,(a,1),,,,b1,,22。 x，y,1 a,b(?)求实数的值。 2A(?)求的逆矩阵。 (2)(本小题满分7分)选修4-4:坐标系与参数方程 O在平面直角坐标系中，以坐标原点为几点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知x 23,(2,0),(,)lM,NC直线上两点的极坐标分别为，圆的参数方程32 ,x,2，2cos,(,为参数)。 ,y,,3，2sin,, OP(?)设为线段MN的中点，求直线的平面直角坐标方程; P lC(?)判断直线与圆的位置关系。 (3)(本小题满分7分)选修4-5:不等式选讲 f(x),m,|x,2|,m,Rf(x，2),0[,1,1]已知函数，且的解集为。 (?)求的值; m 111a,b,c,Ra，2b，3c,9(?)若，且，求证: ，，,ma2b3c 数学(理)(北京卷) 本试卷共5页，150分.考试时间长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分(选择题 共40分) 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的 一项. 21(若复数为纯虚数，则实数的值为( ) z,(x,1),(x,1)ix (A) (B)0 (C)1 (D)或1 ,1,1 AB,Bxxa,,,02(设，，若，则实数的取值范围是( ) aAxx,,,213,,,, (),,，-1(1],,,，(2),,,，(2],,,，(A) (B) (C) (D) x,e,x,0，1f(x),3(已知函数则( ) f[f()],,elnx,x,0，, 11(A) (B) (C) (D) e,,eee 1x(x,1),04(“不等式”是“不等式”成立的 ( ) ,1x (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 ,,,,:,,llm，，//m,,5(已知直线l，m与平面,,,，，满足，，则有( ) ,,,m//,,,,(A)且 (B)且 lm, m//,,,//,,,(C)且 (D)且 lm, 6(等差数列中，，则=( ) {}aaSa,,90,8n1054 (A)16 (B)12 (C)8 (D)6 17(如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积是，则该几何体的俯2视图可以是( ) [1,5],8(已知函数的定义域为，部分对应值如下表，fx()fx() ,yfx,()的导函数的图象如图，下列关于函数的命题: fx() yfx,() ?函数是周期函数; ?函数在上是减函数; fx()[0,2] xt,,[1,]?如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4; tfx() 12,,ayfxa,,()?当时，函数有4个零点. 其中真命题的个数是( ) (A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个 第二部分 (非选择题 共110分) 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. tan2,,,sincos,,,9(若则 . 10.某商场调查旅游鞋的销售情况，随机抽取了部分顾客的购鞋尺寸，整理得如下频率分布直方图， 39.5,43.51:2:3其中直方图从左至右的前3个小矩形的面积之比为，则购鞋尺寸在内的顾客，,所占百分比为______. b3111.执行如图所示的程序框图，若输出的的值为，则图中判断框内?处应填 ,,,,,,,,,,uv//ka,(1,2)12. 已知向量，，设，若，则实数的值是 b,(0,1)uakbvab,，,,,2 2a226313.设，则二项式展开式中不含项的系数和是 axdx,,，(13)4()x，x((,0x 14(以下正确命题的为 22xx,,,20xx,,,20x,Rx,R?命题“存在，”的否定是:“不存在，”; 1111x3?函数f(x),x,()的零点在区间内; (,)232 πl:?在极坐标系中，极点到直线的距离是( ,,，,2sin()24 ,xx?函数的图象的切线的斜率的最大值是,2; fxee(),, ,,,线性回归直线ybxa,，恒过样本中心，且至少过一个样本点. ?xy,，， 三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15((本小题共13分) 32,,，,,,,,,0fxxxx()sincos3cos 已知函数()，直线，是x,xx,x122 ,图象的任意两条对称轴，且的最小值为( |x,x|y,f(x)124(I)求的表达式; fx() ,(?)将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的fx()8 ,，，ygx,()gxk()0，,0,2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程，在区间上x,,2，， k有且只有一个实数解，求实数的取值范围. 16((本小题共13分) 已知等差数列的前项和为，且 {a}Sa,,5,S,,62.nnn64 (1)求通项公式; {a}n {a}(2)求数列的前项和 T.nnn 17(本小题共14分 7乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用局胜制(即先胜局者获胜，比44 赛结束)，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同. (?)求甲以比获胜的概率; 41 5(?)求乙获胜且比赛局数多于局的概率; (?)求比赛局数的分布列. 18((本小题共13分) 如图，底面为平行四边形的四棱柱ABCD—A′B′C′D′，DD′?底面ABCD，?DAB=60?， AB=2AD，DD′=3AD，E、F分别是AB、D′E的中点 ( (?)求证:DF?CE; (?)求二面角A—EF—C的余弦值( 19((本小题共14分) 132a,b,Rfxxaxbx,，，，，已知函数. ，，3 xy，,,2140C:yfx,P,12，，，，(?)若曲线经过点，曲线C在点处的切线与直线垂直，Pa,b求的值; 7，，2mgxmfxx,,,1，，，，(?)在(?)的条件下，试求函数(为实常数，m,,1)的，，,,3，， 极大值与极小值之差; fx12,(?)若，，在区间，，内存在两个不同的极值点，求证:. 02,，,ab 20((本小题共13分) 322l:y,x，1已知直线，:,直线被圆截得的弦长与椭圆圆Ox，y,l2 22xy3e,C:，,1(a,b,0)的短轴长相等,椭圆的离心率 222ab (?) 求椭圆C的方程; 1,0l(?) 过点(，)的动直线交椭圆于、两点，试问:在坐标平面上是否存在一CMAB3 l个定点，使得无论如何转动，以为直径的圆恒过定点,若存在，求出点的坐标;若TABTT不存在，请说明理由( 参考答案 一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分) 2,x,1,02x,,11.A【解析】因为复数为纯虚数，所以，解得，选A. z,(x,1),(x,1)i,x,(,1),0, AB,A,{x,3,2x,1,3},{x,1,x,2}B,{xx,a}2.A【解析】集合，而，因为，所 a,,1以，选A. 1111 ,13.A 【解析】?f()==—1< 0; ?f(—1)=.lnf[f()],,eeeee 1x,1x,0x,04.C 【解析】不等式的解为或;不等式的解当时，成立，当,1x(x,1),0x 1x,0x,1x,1x,0时，得，所以不等式的解为或，所以不等式”是“不等,1x(x,1),0x 1式”成立的充要条件，选C. ,1x mm,,,,,,,,，lml,,,,5.B 【解析】，又( 10，9d6.D 【解析】设等差数列的首项为，公差为，，即aS,10a，d,10a，45d,90101112 ，又，解 得，所以，选D. a,a，4d,82a，9d,18a,0，,d,2a,a，3d,6511141 7.C 【解析】若俯视图为A,则几何体为边长为1的正方体，所以体积为1，不满足条件;若为B, 112()1则该几何体为底面直径为1，高为1的圆柱，此时体积为，不满足条件;若为D, ,，,,24 111几何体为底面半径为1，高为1的圆柱的部分，此时体积为，，1,，不满足条件，若,,444 11，1，1,为C，该几何体为底面是直角三角形且两直角边为1，高为1的三棱柱，所以体积为，22满足条件，所以选C. ,1,x,02,x,4f'(x),08.D 【解析】由导数图象可知，当或时，，函数单调递增，当0,x,24,x,5f'(x),0x,0x,4f(0),2或，，函数单调递减，当和，函数取得极大值，f(4),2x,2，当时，函数取得极小值,所以函数不是周期函数，?不正确;?正f(2)f(x) x,0x,4f(0),2f(4),2x,[,1,t]确;因为在当和，函数取得极大值，，要使当函数f(x) 2,t,5f(x),a的最大值是4，当，所以的最大值为5，所以?不正确;由知，因为极小值tf(2) y,f(x),a未知，所以无法判断函数有几个零点，所以?不正确，所以真命题的个数为1个，选D. 二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分) ,,,sincostan2229. 【解析】. ,,,2225415sin,cos,tan,1，，， (0.0375，0.0875)，2,0.125，2,0.2510. 55% 【解析】后两个小组的频率为，所以前3个 1-0.25,0.751:2:3小组的频率为，又前3个小组的面积比为，所以第三小组的频率为 30.0875，2,0.17539.5,43.5，第四小组的频率为，所以购鞋尺寸在，0.75,0.375，,1，2，3 0,375，0.175,0.55,55%的频率为. b,3,a,2b,7,a,311. 4 【解析】第一次运算为，第二次运算为，第三次运算为 b,31a,4b,15,a,4b,31,a,5，第四次运算为，第五次运算不满足条件，输出，所以，填4.. ,,1uv//v,2(1,2),(0,1),(2,3)u,(1,2)，k(0,1),(1,2，k)12. 【解析】，，因为，所以,2 12(2，k),1，3,0，解得. k,,2 2223226a,,6，4,,2(1,3x)dx,(x,x),,6，所以，二项式为，13. 161 【解析】(x,)0,0x 2k26,kkk12,3kk12,3k,3k,3，令，即，所以展开式的通项为T,C(x)(,),Cx(,2)k，166x 333333x,1，所以的系数为，令，得所有项的系数和为，所以不1T,Cx(,2),2C,,160x466 31,(,160),161含项的系数和为. x 2xx,,,20x,R14.??? 【解析】?命题的否定为“任意的，”，所以不正确;?因为 11111111111132x333f(x),x,()f(),(),(),0f(),(),(),0，又，，所以函数的零点在2332222 11区间，所以正确;?把极坐标方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式求出极点到直(,)32 22x，y,2,sin,，,cos,,2线的距离，，即普通方程为，则极点到直线的距离为22 21,xxxfxeeed,,2，正确;?函数的导数为，当且仅当'(),,,,,(，),,2xe2 1xx,,,ybxa,，e,，即时取等号，所以正确;?线性回归直线恒过样本中心，e,1,x,0xy,，，xe 但不一定过样本点，所以不正确，综上正确的为???. 三、解答题(共6小题，共80分) 15.解:(?) 11+cos2313,,x,，,,，,，， fxxxxx()sin23sin2cos2sin(2),,,,222223 ,,2,,,,,2由题意知，最小正周期，，所以， T,，,2,,,T4222,, ,? fxx()sin(4),，3 ,,(?)将的图象向右平移个个单位后，得到的图象，再将所得图象所有yx,,sin(4)fx()86 ,点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象. yx,,sin(2)6 , 所以　gxx()sin(2).,,6 ,,,5令，?,? 2xt,,0,,x,,,t,2666 ,,，，，，gxk()0，,ygx,()，在区间上有且只有一个实数解，即函数与在区间上0,0,yk,,,,,,22，，，， 11,,k1有且只有一个交点，由正弦函数的图像可知或 ,,,,k22 11k,,1 ?或. ,,,k22 d16.解:(1)设等差数列的公差为，则由条件得 {a}n ，5,,5ad,1， ,4a，6d,,621, ,,20a,1解得， ,d,3, 所以通项公式，则 {a}a,,20，3(n,1)a,3n,23nnn 233n,23,0n,(2)令，则， 3 n,7n,8n,7所以，当时，，当时，.所以，当时， a,0a,0nn (1)3363nn,,2 ？(？)[20],,n，nT,b，b，，b,,a，a，，a,,,n，n12n12n222 T,b，b，？，b,,(a，a，？，a)，a，？，an12n1278n 3632n,8当时， ,,2(a，a，？，a)，a，a，？，a，a，？，a,n,n，1541271278n22 363,2,n，n,n,7,,22T,所以 ,n3632,nnn,，154,,8,22, 117.(?)解:由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是( 2 记“甲以比获胜”为事件， A41 11113343,则( ,,PA()C()()42228 5局”为事件. (?)解:记“乙获胜且比赛局数多于B 11153353, 因为，乙以比获胜的概率为， 42,,PC()()1522232 11153363,3 乙以比获胜的概率为， 4,,PC()()2622232 5所以 ( PBPP(),，,1216 4,5,6,7(?)解:设比赛的局数为，则的可能取值为( XX 1144， PX(4)2C(),,,428 11113343, ， ,,,PX(5)2C()()42224 11153352, ， ,,,,PX(6)2C()()522216 11153363, ( ,,,,PX(7)2C()()622216 比赛局数的分布列为: 567 X4 1155 P 416168 18. ,(?)为等边三角形， ADAEDAEDAE,，,？,60? ,设，则， AD,1DECECDDEC,,,？，,1,3,2,90CEDE,即( ',？,CEDDABCDCE,ABCD底面， 平面， ( DD,？ CEDE,,',CEDDE,平面,,'( CEDDCEDF,,,,,,'DFDDE,平面,,,'DEDDD:,, 1,，,DAE60(?)取AE中点H，则，又， ADAEAB,,2所以?DAE为等边三角形( DHCD,则，( DHAB, DHDCDD、、'分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设， AD,1xyz、、 3131313则( DEADFC(0,0,0),(,,0),(,,0),'(0,0,3),(,,),(0,2,0),2222442,,,,,,,,,,,,31333( EFAECE,,,,,,(,,),(0,1,0),(,,0)44222 ,, nxyz,(,,)设平面的法向量为， AEF1,313,,，,xyz0,则， ,442 ,y,0, ,, n,(23,0,1)取( 1 ,,,CEFnxyz,(,,)平面的法向量为， 2 ,313,,，,xyz0,,442则， ,33,xy,,0,,22 ,,, n,(33,3,2)取( 2 n,n1220130cos,,,nn,,,,( 12131340,n,n12 130AEFC,,,所以二面角的余弦值为( 13 2,fxxaxb,，，2,，，19.解:(?)， 1xy，,,2140？？,直线的斜率为，曲线在点处的切线的斜率为, CP22 ,？,，，,fab1122，，„„? C:yfx,P,12？，，，，曲线经过点， 1？,，，,fab12„„? ，，3 2,a,,,,,3由??得: ,7,b,.,3, 2127m,13232？(?)由(?)知:fxxxx,,，，，，，gxxx,,2，，，，3333 44,,2,,？,,,gxmxx1gxx,,,00x,，，, 由，，，或. ，，,,33,, 2,xgxgxm,,1当，即或时，，，，，，，变化如下表 m,,1m,,10 444,,,,0,,，,,,,0x，， 0,,,,333,,,, ,gx，， + 0 - 0 + gx，， 极大值 极小值 由表可知: 43232,,，，22,,,,,,011mmgxgxgg,,,0，，，，，， ，，，，,,极大极小,,81813，，,, 2,xgxgx，，，，当即时，，，变化如下表 ,,,11mm,,,10 44,,4,,0,,，,,,,0x，， 0 ,,,,3,,33,, ,gx，， - 0 + 0 - gx，， 极小值 极大值 由表可知: 43232,,22gxgxgg,,,0，，，，，，,,,,,,,mm101 ，，，，,,极大极小38181,, 322gxgx,,，，，，m,,1m,1综上可知:当或m,,1时，; ，，极大极小81 322gxgx,,，，，，,,m1当,,,11m时， ，，极大极小81 ,fx()0,fx12,，，，，(?)因为在区间内存在两个极值点 ，所以， 2(1,2)即在内有两个不等的实根( xaxb，，,20 ,fab(1)120,(1),，，,, ,,fab(2)440,(2),，，,,? ,12,(3),,,a,2,,,,,4()0.(4)ab, ab，,0由 (1)+(3)得:， 2,,,,21a由(4)得:，由(3)得:， abaa，,， 1122？aaa，,，,,()2ab，,2，?( 24 故 02,，,ab b,120.解: (?)则由题设可知， 3e,又 a,22 2x2，,y1所以椭圆C的方程是. 2 1(?)解法一:假设存在点T(u, v). 若直线l的斜率存在，设其方程为， ykx,,3 22(189)12160kxkx，,,,将它代入椭圆方程，并整理，得( 12k,xx，,,122,,189k，AxyBxy(,),(,)设点A、B的坐标分别为，则 1122,,16,xx,.122,189k，, ,,,,,,11因为及 ykxykx,,,,,,TAxuyvTBxuyv,,,,,,(,),(,)1122112233 ,,,,,,所以 TATBxuxuyvyv ,,,，,,()()()()1212 121v222 ,，,，，，，，，，(1)()()kxxukkvxxuv1212339 22222(666)4(3325)uvkkuuvv，,,，，，, ,262k， 当且仅当恒成立时，以AB为直径的圆恒过定点T， TA,TB,0 22,618180,uv，,,,所以解得uv,,0,1. u,0,,,2233250.uvv，，,,, 此时以AB为直径的圆恒过定点T(0，1). 22xy，,1当直线l的斜率不存在，l与y轴重合，以AB为直径的圆为也过点T(0，1). 综上可知，在坐标平面上存在一个定点T(0，1)，满足条件. 22xy，,1.解法二:若直线l与y轴重合，则以AB为直径的圆是 11622若直线l垂直于y轴，则以AB为直径的圆是 xy，，,().39 22,xy，,1,x,0,,由解得. ,,11622y,1xy，，,().,,39, 由此可知所求点T如果存在，只能是(0，1). 事实上点T(0，1)就是所求的点. 证明如下: 22xy，,1当直线l的斜率不存在，即直线l与y轴重合时，以AB为直径的圆为，过点T(0， 1); 1 当直线l的斜率存在，设直线方程为，代入椭圆方程，并整理，得ykx,,3 22(189)12160.kxkx，,,, 8分 12k,xx，,,122,,189k，AxyBxy(,),(,)设点A、B的坐标为，则 1122,,16,xx,.122,189k，, ,,,,,,因为， TAxyTBxy,,,,(,1),(,1)1122 ,,,,,,4162 TATAxxyyyykxxkxx ,，,，，,，,，，()1(1)()121212121239 222,,,，，1616163216kkk ,,0.2189k， ,,,,,,TATB,所以，即以AB为直径的圆恒过定点T(0，1). 综上可知，在坐标平面上存在一个定点T(0，1)满足条件.