多重Hermite函数展开的Riesz平均交换子有界性（可编辑）

多重Hermite函数展开的Riesz平均交换子有界性（可编辑） 多重Hermite函数展开的Riesz平均交换子有界性 .. 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明:所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 成果.除了文中特别加以标注引用的内容外,本论文不包含任何其他个人或集体已 经发或撰写的成果作品.对本文的研究做出重要贡献的个人和集体,均已在文中 以明确方式标明.本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担. ?名嘈碍寸杨眺刎年/月垆日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定,同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版,允许论文被查阅和借阅. 本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索, 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文. 本学位论文属于 、保密口,在??年解密后适用本授权书. 、不保密彤 请在以上相应方框内打“/” 导师签名: 篙:墼辎黧嬲辜跳兽 乌去李日期:纠/,年厂月严日硕士学位论文 摘 要 本文研究多重函数展开下的平均的交换子有界性问题,证明 了平均与函数及函数生产的交换子驴有界. 本文首先研究平均研与函数生成的交换子职的妒有界 性.为了处理奇异性,本文将交换子分为奇异部分嫒与非奇异部分磁.对奇 异部分戤,将其分解为氓詹曲是.当足够大时,甄,是关于入一致的零 阶伪微分算子的交换子,而零阶伪微分算子的交换子的有界性已经知道.为 了处 理职七?,本文将空间分解为,可:。一 ,:??一.利用核估计计算上的氓蛐;再利用限制 定理估计上的氓蛐.本文又将非奇异部分吠,分为高频与低频两部分,并 利用平均已有的核估计来计算高频部分;用限制定理来估计低频部分.最 后由不等式得到当、陬/扎礼,时,. 职川? 其次本文利用相同的方法,研究了平均与函数生成的交 换子职的口有界性,并得到当陬,,?时,川. 职, 关键词:展开;平均;; 一壹与硕士学位论文 职. 职喀扩舯 ,竹曙一 ;挣 ,氓. 职 赕.赋 氓蛐耀.氓. 孙 蛾七.七?, ,:一秒? ,:??七入?. 岛 赋詹 氓蛐.冗爻,. . 职 妒舯 陬佗 ,/一/一/.职 职 职 /, ?. : ; ;; 硕士学位论文 目 录 学位论文原创性声明和学位论文版权使用授权书.. 摘要..??.. 第章绪论.. .研究背景及意义.. . 平均的交换子研究最新进展.. .本文内容摘要?. 第章 函数与平均生成的交换子的妒有界性. 引言?. . 败与函数生成的交换子有界性?.. . 赋与函数生成的交换子有界性?.. 第章 函数与平均生成的交换子的驴有界性. .引言? . 口与函数生成的交换子有界性. .蛾与函数生成的交换子有界性. 结论.. 参考文献致谢.. ?、硕十学位论文 第章绪论 . 研究背景及意义 分析在现代数学尤其在分析学中地位非常重要,不但因为他作为一种 工具在其他学科中有广泛的应用,还因为它催生了一批数学理论,比如积 分理论与集合论等等.早在年,在呈交给巴黎科学院的《热的传播》 一文中,给出著名的热传导方程,并在求解该方程时发现解函数可以由三角 函数构 成的级数形式表示,从而提出任一函数都可以展开成三角函数的无穷级数形 式.但 随着研究的深入,发现并不是每一个函数的级数都收敛或者收敛到原函 数.为了解决这一问题,与等人做了大量的工作,并分另建与完善 了单元级数求和理论.人们又试图将一元分析推广到多元 分析,但在推广级数求和理论的时候,首先需要解决的问题是级数求和方 式的问题,其中比较常见的主要有矩形求和与球形求和.但是矩形求和的收 敛性很 坏.年,证明了存在二元连续周期函数,可,它的级数矩 形部分和.%,,,,处处发散?,?.然而球形求和则好的多,且球 形求和在唯一性方面更适合做为一元变换的理论的推广,平均就是 球形求和的一种形式.令,?,通过变换定义的平均为: . 霹,?一旧/入;,??. 对该算子,已有很多研究结果.当;几一时,霹由极 大函数控制,由共鸣定理与极大函数的有界性,可 以得到霹的上尸收敛性,又由遍历定理可以得到碍的点态收敛性.当 证明:平均在妒上有界的必要条 ?一时,年, 件是/一/一?.由于在证明过程中使 用的估计比较精细,因而有了上述条件也是充分条件的猜想.年, 证明当佗时,该猜想成立.年,【】解决了悬疑很久的圆盘定理, 即的情形,由该定理得到平均在上有界的充分必要条件是 . 年,【】得到了平均在口舻?上一个比较好的结果: 定理 当?,/或?/, ,佗吧一时,有: 霹, 川. 关于平均的护收敛性还有很多其它的一些结果,具体见文献【】. 一一多重函数展开的平均交换子有界性 同时,大家也关注算子霹的点态收敛问题. 定义砰的极大算子为: 碍, 砰,. 由与在文献】中的讨论,解决碍的处处收敛问题,只需要讨论极 大平均的汐收敛性. 年,【】等人利用空间分解技术研究了该问题. 定理礼?,当?一/,?不函苫时,对?/, 有: ?. ,,. , 年,【利用锥的双线性限制估计,得到了下面的定理: 一;时,有: 定理当死?,/,,咕一互 碍川?川. 还有其它一些结果,具体见文献. 大家都知道,正余弦函数是算子的特征函数,自然让人联想到其他算 子的特征函数展开下的平均定义及其收敛性问题. 年,研究了调和振子咒一的特征函数 函数展开下的平均的范数收敛性问题. 设“为/维函数,则: 咒~,, 且佗罂。是咒的所有特征值.定义在咒的层不变子空间的投影映 射为: ??~/. 。 . 七 多重函数展开的平均定义为: 职他?一竿宰他. 定理 ?,三一一,??柰%,则 有: 职?. 定理死?,,则有: 职珐?. 一一硕十学位论文 年,【】研究了多重函数展开的平均的点态收 敛性. 令 ,一入一入/, ,?冗:一入/ , 其中与分别为一个较大的数与一个较小的数. 凰:丘。,一/一/川一/入口/一/, /,/. .,” 飓:在无穷远处可微,当一几十时,,?。,且 口/一/. /,一/入/?七/口 .,“ 令 ,一,‰, ,芝二其中,,?,,。,?,。一,,,,?,. 凰:,在无穷远处可微,当一/时,,?,且 /入,一//?小/,.. .,“ 定理若,?,一/且满足条件凰,凰,凰中任意一 个条件,则有: 芰,, ? ,, 、 其中 ,表示,的点. 关于函数展开的平均以及另外一些算子的特征函数展开的 平均还有许多结果,具体见文献【?】. 随着调和分析在群与流形上的发展,大家也开始研究群与流形上的 平均的收敛性. 年,】研究了无边界紧流形上椭圆型微分算子的平均的范 数收敛性. 设,是维数扎?测度为的紧连通流形,为上的椭圆型微 分算子,不失一般性,我们假设~是的特征值,且????,勺是 ~相应的正交基,易为~相应的特征空间,勺为映射到马上的投影算子,即: 勺/, 一一多重函数展开的平均交换子有界性 其中咖是测度的体积元.定义,夕上的平均算子为: 鼷?一妻吲似 ‘ 定理 若为二阶椭圆型微分算子,且;一?而,?, ,;一一,则: ,?,. , 酸,一,,, 定理 是任意阶的椭圆型微分算子,?,,一/, 则: 翼,一,,. 、 年,研究了带边界紧黎曼流形的平均妒有界性. 设?口是测度为黎曼测度夕的算子,则一?的谱是离 散的.定义它的平均算子为: 翼他?一妻矧似乩 ‘ 其中~为一?的谱,勺.厂为相应的投影算子. 定理若竹一/,??,则有: 爵 工,? ,驴口, 其中是与入无关的常数. 年, 在等人的基础上,研究了带边界光滑紧流形上 算子?口的平均的范数收敛性与点态收敛性. 定理 ,是维数死?的带边界光滑紧流形,翼为 算子?的平均,若一/,??,,?妒,则 有: . ?, 舅一,, . ?’ 入一. 癸,??,, 关于流形上的平均还有其它一些结果,具体见文献. 对交换子的研究也由来已久,早在年就得到了经典奇异积 分算子的交换子有界性.随着交换子在等其他数学分支的广泛应用,对它 的研究也成为了调和分析的一个重要组成部分.年,与 【】等人做出了交换子方面具有里程碑式意义的成果.他们利用日空间【删 一一硕士学位论文 与空间九的对偶性,研究了奇异积分算子与生 成的交换子有界性,更重要的是他们得到用交换子来刻画空间的重要结论. 奇异积分算子定义为: .矿/?, .,” 其中鬻为的积分核,是零阶齐次的??几一函数,且有止。一。如 .特别地,当裔,,?,礼时,正即为?上的变换弓. 定义与局部可积函数生产的交换子为:一.特别 地,记变换马的交换子为砭. 定义局部可积函数的极大函数为: ,留/.,。埘?.. 其中,表示在球体上的平均,即厶由厶,一厶. 定义空间为: ,:,?三,,??. 并记的极大函数的?范数为的范数,即 .厂 ?. 定理 当时,有: . 死川? 如果存在某个,,使得所有的;都在俨有界,记 为 其相应的算子范数,则有: ‰ ?? 即是函数. 关于奇异积分算子的交换子还有其它一些结果,具体见文献【】. 年,利用广义函数研究了分数次积分算 子的交换子有界性,并得到了空间的一个新的刻画. 分数次积分算子厶定义为: 训加上。苦耘妇,?。仡. 并记孑为厶与局部可积函数生产的交换子. 一一多重函数展开的平均交换子有界性 定理 ?,詈,则有:。 孑口 ,昙;一罢. 如果几一是偶数,且碍,是到口的有界算子,指标,与定理上半段相同, 。 则有:?. 年,与】利用仿积工具研究了伪微分算子的交换子. 定理 ?毋占,?,,?,?驴,,则 有: , . 死川? 其中镪表示象征属于.咒的伪微分算子. 定理 ?,,?,?,则:‰;? 。川朋:. 定理 ?筇;,,,?,且,则有: /口 。?,再丽. 定理 ?研.,?,,?,,则有: 死, ,川. . 关于伪微分算子的交换子还有其它一些结果,具体见【】. . 平均的交换子研究最新进展 人们同样关注平均的交换子有界性.年,与【剐定义 算子的平均与局部可积函数生成的交换子为: 嫒一?,. 并研究了他的妒有界性. 定理 入一/且 ?,当?时,莉 /一/訾;当时,入/,则有: 霹川? 川. 年,刚利用限制性定理研究了函数与平均生成的 交换子问题,得到: 一一硕士学位论文 定理 令?,一/佗一/, ,一一/,若?,且/一/一/, 则有:赋厶, 口川. 年,龚淑丽【利用空间分解技术研究了函数与平均算 子生成的交换子收敛性问题. 定理令‖,一‖/一/,,?汐,若 一/一,入一一‖/,一,/,/,?一 //,则有: .. ??. 芰, 定理若,詈,葡‰,?,?鼎,则有:暇 卢,渤? 且对?,有: 赋 卢,? ;岛? . 本文内容摘要 首先,我们在对展开的平均的核估计基础上,利 用通常的交换子估计技术研究了咒的平均与函数生成的交 换子状的有界性.为了处理奇异性,将媛分为奇异部分赋与非奇异部分 磁并分别对这两部分进行处理.为了处理奇异部分,将殁分解为: 式?:娥蛐氓‖ 职为零阶伪微分算子,它与函数生成的交换子有界性已由与 等人证明.为了处理职七抽七?,我们将空间分解为.【,: ?一与,:??一?.利用核估计计算上的 氓;再利用限制定理估计上的氓七,.对非奇异部分兄炙我们将其分为高 频与低频两部分并分别估计.最后应用不等式得到:当‰ /,,肋一/一/时,蛾在口上有界. 接着在第三章中,我们利用第二章的方法,研究了函数与平 均生成的交换子欧,并得到当/礼,口?时, 职在驴上有界. 一一多重函数展开的平均交换子有界性 第章 函数与平均生成的交换 子的汐有界性 . 引言 一元阶多项式定义为: 脚旷嘉‖. 定义正则化的一元阶函数为: 七七七、/行一?一?霉. 利用张量扩张定义黔上的多重函数札为: 盼奶, 札 其中,,?,‰,,,?,. 定义,在上的系数厶为: 。, 弘 ., 展开定义为: ,一?丘~. 注意该展开只是形式展开,并不要求该展开收敛到原函数.但是利用函 数在华上的完备性可以证明,函数是的一组规范完备正交 基,应用定理知该展开在?上收敛到原函数. 为了研究该级数展开的收敛性,我们定义平均职为: 职,?一/入宰厶?一七礼/宰, 为多重函数展开的阶平均算子,其中亡宰尸,;亡宰 ,?,,?/.. 注意到当时,平均有表达式: 霹一/‖九亡卅出, 一一硕士学位论文 冥中咒是调和振子. 为简单起见,我们记,分别为: 力,佗/一/一/,?, :,罟/一/?/,?. 引理..四当?,/一/?/或,佗?时,有限制定理:?’, . ,冗一 考虑职的平均: 赋口呻/认‘亡亡一咄。?, 其中是一个属于四船的偶函数,且存在某个足够小的,使得?声亡? ;亡,;,. 令 磁,职一氓 ‘。一声亡一一一一‘ 口一口 . ‘亡亡一一 一口 ? 一咒‘ 入一咒, ‘优. 其中九一弦一一,秽 ? 显然有亡一。,一,,所以亡?,且必 ??一.当秽?时,由分部积分公式及?函数性质可得: 四‘几扣./‖。掣出, 从而当?,秽?时,毋?%川一.又由于毋连续且在秽 点有界,所以秽?%.由定理及限制定理引理..得: 碍,;?%也?一川 ?%勘?一尼‰,咒一七州; ?%?时触;/? ?%入州’?刍 所以有: . 垅,?. 一一多重函数展开的平均交换子有界性 设,,可为的积分核,则,,有估计: 引理.. 对?,当时,有 入,,?~. 当?时,有 ,,可??~. 由引理..,当,时,显然有: ,,可??一?.?. 对局部可积函数,定义线性算子的与生成的交换子为: 一一?,. 则职的交换子为: 职芰一职,砰“?,. 贬的交换子为: 鼍职一赕. 兄黏相应的交换子为: 磁’,?磁‖一殿’/,,趴一,. 显然我们有: . 最赋磁,. 由文献】中的论述,我们可以选取函数?卯黔,使得当/或 时,雪,且?“?. 令 联七%一/‖九亡一叫咱鲰四, 娥七,戥一氓七似, 则显然有: . 赋,赋?氓蛐, 一?硕十学位论文 ? 其中当?时,雪“,如一??一如. 我们的结论主要归结为下面的定理与引理. 引理.. 当,‰,?时,有:磁,川? 川. 其中是与,,,无关的常数. 引理.. 当,, 时,有: 赋川? 川. 其中是与,,,无关的常数. 定理.? 当扎,‰或?卫堡,?‖时,有: 职川? , . 其中是与,无关的常数.如果引理..与引理..成立,则由 不等式与式.可得: 当‰,?时,氓.厂?赋,磁’,? . 当,时,由对偶性讨论知.也成立,因而定理..成立.下面 两节分别证明引理..与引理...函数生成的交换子有界性 竞. 引理..的证明首先我们先叙述几个引理 引理..酬?,对?,有: 字 ,一厶如?挚高上,一如出;, 其中表示局部可积函数在球体上的平均,也即厶,. 引理..【删?,为中的一有界方体,则有: 一?竹 . 由归纳法可得: ?? 且.多重函数展开的平均交换子有界性 下面我们利用算子核的对称性与高频域的少信息性及限制定理证明磁,与 函数生成的交换子有界性 疑。,后入,,可一 如瓜札踯一九匆 . 、。 .『;训?河入,,可山可,匆 . 现设为如上中心在原点,半径为/甄的球体. 凡瓜,,一 入,,秒一 入,,一/?以 一‘『引以 . . 将分为高频与低频两部分分别估计. 矗。;; ?』、/甄;‘『?以 ::. 五瓜一均以镢忍秒,可妇; 叫驯“ ?善 /一??川州川‰; 瓜暴?瓜 ? 一啪; ,? / 、/甄?勿、/甄 ’ ? 川??愿一? 乞?哳;匕?惭刈; ? . ,?多瓜一??何詈歹/顾詈 怯,口. 砼丘厩一均丘瓜入,?,秒由如; ? 日肘瓜;/一州 .,毫,/ ? .川. 一?硕士学位论文 由上面的证明及.可得: . . 丘。如; . 如; ?』茹历 ;』。?以 巧;. ;五颅以防瓜砌,训?一可; ?名。如;丘瓜州可训匆 ,,?‖一匆多, ?/ ?厄 可一幻一,?咖专 ??? / ‖/甄矗以 ? 厂??、/甄一?‖/甄‖ ? 川. ;丘蛳以丽砌川可秒; ? ?入嚣/ 一一 .,、/ , ?嚣/一耖一幻’,?匆矿 ?,?嚣‖/甄一?矽、/司‖ ? ,口. 由上证明及.得: ? 且川. . 又由.及.得: ,. . 圻引俩,,‖一 入,,一 ~/甄入,,一』可以 . . 一一多重函数展开的平均交换子有界性 丘。一 甄,, ?拓瓜九一‰吸,,如,. 缸镢?一 啄,,如 ?丘瓜一吣州以瓜,可咖; ? 脯丘颅圹‖九吖矽 ???‖瓜一?入参/?瓜.?‖顾卜吣 。 ? ,?入嚣‖/甄一?、/甄州一? 厂七 怯. 由不等式与式.可得: ? ;『 入可,咖如; 以?瓜一 /互 丘?瓜一蚓亩如。丘?瓜丘镢入们,可咖 入鸶;一?’ 入一’川 入’ . ’.’口. .川, 其中孑;一互. 由上证明及.可得: . 川. 丘‰?瓜入,,秒一.“ . ?./咖镢凡?瓜,,可,一岫,由如叫:『, 』蜓愿‰?瓜入,,可可一出“ :. 一?硕士学位论文 ? 砭 入号’磁,.?瓜一 叭、’一口九最.?瓜一 口 歌卜如口邯沁’ .顾?一?,害吉一刍 入孙;一一芫 引 入、翔一口九晕;一;’ , 、一;’? ,. 当一时,/?/.义由十口巾,答易得剑:存征, ,?. ..?一警一;.因此;? ‘ 啦?丘蛳以蛳支烈?可坳 ?丘瓜嘶坳以蛳坳一可 一//聃‖ 川 ?厂忆. 由上证明及.得:. :;? . . 由.与.得: . ? ?.由.与.有:. 磁.川 川. 引理..得证. . 氓与函数生成的交换子有界性 引理..的证明 当时,如一?墨雪?枉 七?曙舭. ,,因而有: 因为鲕?【一/,/刈,当时,有:? . 职咒一?/旱牢委卯./. 一?多重函数展开的平均交换子有界性 显然,对任意的?,?,都有: 翻 ,. ’???肛/一?, 因而是关于一致的零阶伪微分算子,由.得: 川, 败? 其中为与无关的常数. 设入,,为积分算子职七的积分核,并且令 ,、,。‖,,可??入一?七, 。,七/入,,?入一?七. 显然有: 毫七。,七。,七, 引理.. 当时,有: 、,、,、, 暖七/?一七卅,、’,. 氓蛐,氓一氓七似 联,七,一联。七,照,一巧蹊厂 . 一,七,。,七。. 将舻分解为?岛,其中是半径为一?七的内部不交?的 有界重叠覆盖球族,且仍是从属于该覆盖的一个单位分解,即?, ?仍?,?,仍,从而?,,仍?易,厶,仍. ’现选取奶?,使得锄满足奶,?;奶, .令一的,奶,则显然有: 魏,乃呸力. 础,,?础,?硪,岵办.、 ’ ? ’。,奄,歹一?,一,七、歹. %磁? 乒硪桃‘;;一三 口 ?/‘/佃’’办 一/七嘶七叶/一//’ 办 一七?’. 一一硕士学位论文 ?一七陋一’ ,. .?.?%乓,七 利用不等式与引理..可得: 魏%乃%? 匙%办 ?/一/’?,南?.. ?七//一/一七/?一‘/’%艿一‘ ?一惫陋一孙;一去’幻庐?一知口一量‘;一去’一/七去一钏 点.力 ??:七 .厶. 其中‘一,;鬲一石. 因为办是,的一个单位分解,所以有: .,. ?、七九.,.抛 歹 又由于?口一口?一去一三一口一口功,‘一,因而容易得到:存 在充分小的‘,使得. 由上面证明及.可得: .、,“? . . 现在我们利用点醒的核估计来计算点嚷的护有界性. 引理..设,七,可,?为毋,知的积分核,当一可/ 时,有: 地,,秒??一?/七?一?/’一秒?. 将碾,分解为: 、?叫 ??赣办一?。,七?,乃. %八动三笔篙嚣‰。划躺.仁, 我们先估计等式.右边第一项的妒范数. 磁乃 上。小‰ 厶‰删刊叶垆舶珈 一?多重函数展开的 甲均交换子有界性 ? 上。一吲 虬,七删七入/?七/可咖如“ ., ?瓯 /七/一’夕七。/一? 一吒“胁‖ 厶 ., 办 ?瓯? ?号口一巧?/七入一/多/幻一锄如; .,” ?/?/一巧?/?/,七一/; , ?瓯? ?“ . 勘 ,. .?.?一 ?一?、, 再利用不等式估计式.右边第二项的上,范数. 口 以训聊虬“口如 ?/口 ??/入/一删 , 一口?一/口 ??入一?/七?一?// ’?/ ?『?入一?/七?一?/’七一/一?/ ??一’一七?棚//. 磁一‰乃 上。/.。“,可一可/一‰办可由如坳 ?,办 。 ?/ 蚝,七,庐 , 、 一?, ??暑一’一七?号一钏仍峙办 ? ?暑?/一知?号口一号’七一/卸 办 ?一七 忆. 其中一,;;去一,;鬲一;.由于?;/一/ ?/??,。.因此可选取适当的,使得:?. ??硕十学位论文 现令?,?:,则: ?一吒《办一?磷一 , ??,磁圳?磁一??七 川. 即: . 。?七 川. 、蛐 现令厶?,?,则由.及.可得: 五七 川.一. 赋蛐碟, 嚷 由.及.可得: . . 赋峪氓洲?暖蛐峪 .. 引理..证毕. 一?多重函数展开的平均交换子有界性 第章函数与平均生成的交 换子的汐有界性 . 引言 设?融,定义: ,, 一, 称,,为的连续模.对?,定义舭上的函数空间~为: ,?:叫,,?. 并记, :,,?铲. 引理..【 当?时 ,,?? ,,? 一?’ 卢盎吕 一厶口;. ?篱南‘面丘 引理..设宫是?上半径为的球,?人口,则有: ~. 一%?舻 证明:由引理..有: 蚓 圳妒 ?高小一蚓?. 我们的主要结果归结为下面的引理与定理. 引理.. 当,‰/,时,有: 殿.川? ,,. 引理.. 当,,口时,有: 赋川? ,. 定理.. 当几,,?时,有:川. 戤。川? 如果引理..与引理..成立,则由不等式与式.可得, 当‰,口时,有: 州川, 毁川赋川氓川? 也即定理..成立.下面两节证明引理..与引理...硕学位论文 . 笑,与函数生成的交换子有界性 引理..的证明 癸.忌,,耖一 .『,瓜入,,?一 . ‘/;掣?以?,,耖一 召. 现设为?上中心在原点,边长为/甄的球体. / 一,,可一 .,/ 。‘ , ,. ‘ 一 ,删可一可 ’瓜,删他?互 . . 将分为高频低频两个部分. ,止。出; . 如; ?.『圳讵 出;』?、/甄 “趟. 么,丘瓜厶一的以瓜,,,秒匆如; 叫暑 ?霎一/二删圹?“引删; .‖瓜丞‖瓜 ? 川? / 一啪‖如; 力以川‖镢 ?忖?矽瓜一? 五?‖,镢一;丘?‖,瓜一; ? , .厂?‖/甄一?夕、/甄孚、/甄 一一多重函数展开的平均交换子有界性 扣枷帕; 卅丘瓜厶一计嗄 ?/ 一;/ 一可? 蚓?以 .,顷 ?伍孚一顺, ?川. 由上面的证明及.可得: . ?. 。丘。霄石 ; 如;』?瓜 ?』瓜. . 一以州. 如可州牡; 以丘何互 ?五》。如;丘瓜州可一可 可,?耖一剪步 ?/ ? 一%叫?争 ,? / /甄丞‖、/甄 。 ? ,?矽、/甄一??‖/甄‘’, ?? ,?,. 砖五?瓜丘镢入以秒一可咖如; 一一? ?入嚣/ , ?嚣/一可一一,?咖 ? , ,?入嚣夕‖及一?/甄‘’‖ ?,. 由上证明及.得:. . 厶?,. 一?硕士学位论文 再根据.及.得:,,. . 召/ 入,,秒一 厦 一/ 一,,一/ 一,,可一 可/ ,、/ 魄. . 矗。?一幻 甄,, ?拓瓜一训饥顾置 ,. 届?颅阶一 甄,,如鹾? 丘愿一的??以瓜,秒咖如; ,入昂/ 一的??出;入/纠 、。啄 ,?’镢州劳/甄??厄出, ,?入嚣分、/甄一?/甄铲/甄 .厂口. 群? 丘?顺一以瓜,,‖,可咖如; 以?顺一的如。丘?镢 顷入可,可匆出 以;一? 。入一时’, ?。 。,,?.? 其中;一互,且第三个不等式用到了引理... 由上证明及.可得: 召 川. . 一? 多重函数展开的平均交换子有界性 岛丘』胚颅,,可秒一如 ?‰曼慨盏:淼兰怒高一四 』堆瓜‰?瓜,删可“咖如’ 暖? 入、;一锄磁,.?顾一 .?瓜一 口,口 以?’?卵口’ 引渺口触’ 邯领一训 ‘虿吉一三 ?一删是钏 , ;一口号;一;钏八川 ?钏 川 霄, .厂口. 当时,?.又由于,容易得到:存在 磁? 人,.厂. ,..?一号;一三;.因此 磁?丘瓜以?颅入忍洲可一珈 ?丘》瓜圹蛳坳以蛳沪秒 ??/// , , ? 川. 由上证明及.得: 岛暖鹾?. 川. 由.与.得: 召召?魄,. . 由.与.及不等式可得:磁,? 召 ,,. . 引理..的证毕. 一一. 娥与函数生成的交换子有界性 引理..的证明 由.知,职,是关于一致的零阶伪微分算子,又由.知: 当时, .赋,? 。刚. 其中为与入无关的常数. 氓七一氓七似 鬈,一联,七,照,一联,七, . 、蛐嚷. ,其中是半径为?七?的有界重叠覆盖 将分解为 球族,且仍是从属于该覆盖的一个单位分解,即仍?,?仍?, ?仍,从而,?,仍?乃,方,仍. 现选取吻?,使得奶满足: 譬. 奶,三:篓 令%一锄奶,则显然有: 碟,。办碟,幻办. , 、 ’ 硪三委滚导譬餐% ?,%魏厶一?,躁如力. %硪驰??圳碟眦三;一互?一/七厨 /‘邯’’力 ?一七一/一/一/’ 乃 ?一七一。一’ ,乃. 因为,?,叩?办,所以由广义不等式可得: ?,. ?%剐办‘”酬以’ 一?多重.函数展开的平均交换子有界性 蜀瑶%乃?蜀毪%易劬 ?一/’?,七.,., ?知一/‘加一/’一七口/一‘/’%办.‘ ?一七陋一口引;一去’%乃?一七?;一去’入一/七击一; ?一砣詹 ,办%, 其中俗/一一肋,‘一.因为是,的一个单位分解,所 一七? 以?硪% ..厂成立.又因为口一一去一 三一?一,‘.因而选取充分小的,使得. 由上面证明及.可得: . ,川. 硪川?“? 、 ?,一的,磁乃一?,磁?锡乃. %八功三笔:篙嚣兰黜删.四圳 ‰磁力 上。一幻,.厶七,可?/乃可句坳 ?薹小圹埘厶如川 ‖七入 歹七一/办妇屈 ??州扣州啪肛’’七/以? 上。一的,上。力可, ;易 ?%?叫?号??入鼍七一/多/? ” 面 ,怕 ?瓯?//一?‖’七/; ?一蛔 】办. 所以有: ,. ~,、,峪勘 ?一‰磁圳? 一?硕士学何论文 硪一均,乃 上。上。%,秒一妙/~,秒如珈 ?,乃岫。 。 。 ?/ ?虬,南,垆 / 、‘,一/一/ ??号一:’一七‘?詈一钏劬亘圳 ?保入号?/一局‘?号一詈’南一/詈 尼 ?一嵋七 ,.厶. 其中一,三孑南一,;去一;.因为当?。时, 吒/一/?亿/?一一.所以可选取适当的,使得:吒. 现令,,由上面证明可得: ??锄赡乃一?赋暑一,乃%??一,照乃』?赠?铴乃 , ?吖血 。川. 即: ‘ 。川. . ?蛐‘力?嘲七 现令亓,,由.及.可得: 氓詹, 一骨七 . ??:氓爱 ,,. ‘ 由.及.可得: . 赋峪氓. 八川. ?氓蛐峪 引理..证毕. 一?多重函数展开的平均交换子有界性 结论 拉普拉斯算子?的平均,也即通过变换定义的平均及其 交换子的相关研究已经比较成熟,而对在量子力学特别是薛定谔方程中起着 重要 作用的函数展开下的平均的交换子则研究较少.本文在 关于展开的平均的核估计与限制定理基础上,应用经典的交换子估 计方法,研究了多重函数展开下的平均与函数或 函数生成的交换子性质. 第二章,研究平均 与函数生成的交换子曼的汐有界 性.由于交换子。具有奇异性且相应的平均 没有通过变 换定义的平均相应的卷积性质,因而处理起来比较困难,这也是到目前为 止研究比较少的原因之一.为了处理奇异性,将交换子分为奇异部分碟。与非 奇 异部分殿。.我们知道信息主要集中在低频部分,因而高频部分的算子核有比 较 好的性质,从而将非奇异部分安。分为高频部分、/入与低频??/入 两部分.又因为平均的算子核具有对称性,所以再将高频与低频部分分为 何与?镢.利用限制定理来估计,??镢,?镢, 用平均已有的核估计来计算其他部分,从而得到本章的引理..,也即证 明了戢的有界性。对奇异部分殁,将其分解为职蛐是.当入足够大时, 。是关于入一致的零阶伪微分算子的交换子,而零阶伪微分算子的交换子的 有 界性已由与利用仿积工具证明.为了处理蛾七?,将??七入一专. 空间分解为,:? 又将时分解为。,,其中,是半径为入一?知的有界重叠覆盖 球族,且仍是从属于该覆盖的一个单位分解,即仍?,?仍?, 仍,从而,,仍乃,乃;选取奶??,使得奶 满足锄?劬;锄,《,并令?咖,从而可 以利用与幻两者支撑集之间的相互作用来控制奇异性.利用核估计计算 上的鼽;再利用限制定理估计上的蛾詹,,也得到交换子在该部分上的有 界性,且随着七增长,相应的算子范数也呈负指数级数形式,从而由 不等式知 有界,且算子范数的级数收敛.最后由不等式得到当 ,%. /,时,职,? 第三章,利用第二章的方法研究了平均 与函数生成的交 换子 的汐有界性,并得到当死,,?时,职川? 川. 一? 一言与,: