刚体的角动量,角速度,力矩和角加速度的关系

刚体的角动量,角速度,力矩和角加速度的关系 刚体的角动量,角速度,力矩和角加速度的关 系 ?f一l6 2000年安阳师范学院 刚体的角动量,角速度,力矩和角加速度的关系 陈跃敏 (浪阳广播电视大学,河南糠阳457000) O孙 [摘耍)讨论了普通物理范围内刚体转动部分,定理的成立条件及使用范围. [美蕾词)L垡!塑2蛰壹垄垫莲;转动惯量(中圈分事蕊 l订?一氧丽' 一 般情况下,刚体对某一轴(包括瞬时轴和固 定轴)的转动.可用角速度矢量及角加速度矢 量B描写.刚体运动时还有角动量L和力矩m. L和的关系及和的关系如何?如问题属 于理论力学的范围,但在普通物理学中也往往会 涉及到这个问题.因此.在普物范围内搞清它们 之间的关系及成立条件和使用范围很有必要. 1角动量和角速度的关系 首先看一个具体实例.一个均匀杆绕其一端 O作水平转动,如图1所示.若取O为参考点.则 Lo三T?m? 图l 矾是质量元.是它对.点的矢径,vi是它的线 速度.显然,此时各质量元的T,Xm的方向正 好都是z方向.即指向z轴的正方向. 同一旋转杆.如取z轴上方一点P点作为参 考点计算杆的角动量L..则各质量元的T.×rni. 各不相同.合成后,L.的方向大致如图2所示. 而且随着杆的转动,LD也转动.可见,参考点的 选择不同.剐体运动的角动量也就不同. 同样,若取转轴通过杆的质量中心.并取质心 为参考点.角动量与角速度的方向也不一定一致. 下面直接引用理论力学的结果讨论它们之间 [收稿日期]1999—11—15 刚傅, 的关系. 过参考点建立和刚体一起运动的坐标系,则 刚体对活动坐标系x,Y,z轴的转动惯量及惯量 积不随刚体的运动而改变其量值.角动量矢量的 分量式为 ]xyco—lucoz k]xx?I一 L=一Iyx?x—1?y—Iz I=一I"?x一]gy?—I?, 如果刚体绕z轴转动,则==0,=. 于是角动量矢量的分量式可写为 I=一I? I=一I I=I 由上面的分量式可以看出.刚体绕某一轴转 动时.角动量沿该轴的分量与角速度成正比(I,= I).但沿其它轴的分量却不一定为零.只有当 'u.'此时Lx=.,L., I,=I盈 所以,在普通物理中所说的角动量表示沿转 轴的分量,不能写成矢量式,只有当转轴为惯量主 轴时.才能写出如下的矢量''''''' I=I? 式中I表示对该轴的转动惯量.只有在这种 情况下,I才和同方向.一般情况下.L和不一 安阳师范学院2000疰 定同方向. 2力矩和角加速度的关系 将活动坐标系固定于刚体,则剐体对活动坐 标系x,Y,z轴的转动惯量I…II及惯量积 II……,不随刚体的运动而改变其量值. 用和和分别表示刚体的角速度和角加速度. 则角动量定理各分量式可写为 M=In艮一Ixy一In.+I(1'y—Iy邮; My:一I口+I"py二I&+一I M:=一一I艮+I&+L一I 如果刚体绕z轴转动.则叫::0,叫:=叫. 风==0.&=8.于是角动量定理的分量式可写 为 M=一I8+I? My=一IB+I M:I 从上面的分量式可以看出,刚体绕某一轴转 动时,外力矩沿该轴的分量与角加速度成正比 (Mz:I口),但沿其它轴的分量不一定为零,即使 口=0也是如此.只有当z轴为主轴时,I:I: 0,此时M=0,M:=.0,'Mz者窨字,.即 MIB 所以.在普通物理学刚体的转动定理中所说 的力矩只表示力矩沿转轴的分量.不能把定理写 成矢量式,只有当转轴为惯量主轴时,才能将转动 定理写为M:IS的形式.式中I表示对该轴的转 动惯量.同样,也只有在这种情况下,M才和8同 方向.一般情况下,M和口也不一定同方向. 3结束语 综上所述.当刚体以角速度转动时.角动 量矢量一般并不平等于角速度矢量,力矩矢量也 并不平行于角加速度矢量,仅当角速度矢量沿着 刚体的三个特殊主轴中的某一轴时.角动量矢量 才与角速度矢量平行,力矩矢量也才与角加速度 矢量平行.只有这时关系式I=I及M=Im成 立,其它情况下成立的关系式I=IM=I& 只是沿着转轴的投影式(即分量式). (参考文献) [1】肖士殉理也力学简明教程[Mj北京:^民哲育出版社.1979