立方和公式及证明

立方和公式 本文主要介绍了立方和公式的字母达，语言表达，公式延伸，公式证明，几何验证等 目录 1 字母表达 2 文字表达 3 公式证明 4 公式延伸 5 几何验证 6 关于因数 展开 1 字母表达 1.1 立方和公式   a^3+b^3 = (a+b) (a^2-ab+b^2） 1.2 立方差公式   a^3-b^3=(a-b) (a^2+ab+b^2） 1.3 3项立方和公式   a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)   推导过程：   a^3+b^3+c^3-3abc   =(a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3+c^3）-（3abc+3a^2 b+3ab^2）   =[(a+b)^3+c^3]-3ab(a+b+c)   =(a+b+c)(a^2+b^2+2ab-ac-bc+c^2）-3ab(a+b+c)   =(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab-3ab-ac-bc)   =(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) 2 文字表达 2.1 立方和，差公式   两数和（差），乘它们的平方和与它们的积的差（和），等于这两个数的立方和（差） 2.2 3项立方和公式   三数之和，乘它们的平方和与它们两两的积的差，等于这三个数的立方和减三数之积的三倍 3 公式证明   ⒈迭代法：    我们知道：   0次方和的求和公式ΣN^0=N 即1^0+2^0+...+n^0=n   1次方和的求和公式ΣN^1=N(N+1）/2 即1^1+2^1+...+n^1=n(n+1）/2   2次方和的求和公式ΣN^2=N(N+1）（2N+1）/6 即1^2+2^2+…+n^2=n(n+1）（2n+1）/6——平方和公式，此公式可由同种方法得出，取公式（x+1）^3-x^3=3x^2+3x+1，迭代即得。   取公式：（X+1）^4-X^4=4×X^3+6×X^2+4×X+1   系数可由杨辉三角形来确定   那么就得出：   （N+1）^4-N^4=4N^3+6N^2+4N+1…………⑴   N^4-(N-1）^4=4(N-1）^3+6(N-1）^2+4(N-1）+1…………⑵   （N-1）^4-(N-2）^4=4(N-2）^3+6(N-2）^2+4(N-2）+1…………⑶   …………   2^4-1^4=4×1^3+6×1^2+4×1+1…………（n)   .   于是⑴+⑵+⑶+……+(n）有   左边=(N+1）^4-1   右边=4（1^3+2^3+3^3+……+N^3）+6（1^2+2^2+3^2+……+N^2）+4（1+2+3+……+N)+N   所以呢   把以上这已经证得的三个公式代入   4（1^3+2^3+3^3+……+N^3）+6（1^2+2^2+3^2+……+N^2）+4（1+2+3+……+N)+N=(N+1）^4-1   得4（1^3+2^3+3^3+……+N^3）+N(N+1）（2N+1）+2N(N+1）+N=N^4+4N^3+6N^2+4N   移项后得 1^3+2^3+3^3+……+N^3=1/4 (N^4+4N^3+6N^2+4N-N-2N^2-2N-2N^3-3N^2-N)   等号右侧合并同类项后得 1^3+2^3+3^3+……+N^3=1/4 (N^4+2N^3+N^2）   即   1^3+2^3+3^3+……+N^3= 1/4 [N(N+1）]^2   大功告成！   立方和公式推导完毕   1^3+2^3+3^3+……+N^3= 1/4 [N(N+1）]^2   2. 因式分解思想证明如下：a^3+b^3=a^3+a^2×b+b^3-a^2×b　   =a^2(a+b)-b(a^2-b^2）=a^2(a+b)-b(a+b)(a-b)   =(a+b)[a^2-b(a-b)]=(a+b)(a^2-ab+b^2） 4 公式延伸   正整数范围中 1^3 + 2^3 + …… n^3 = [n (n+1） / 2]^2=（1+2+……+n)^2 5 几何验证   透过绘立体的图像，也可验证立方和。根据右图，设两个立方，总和为：   x^3+y^3   把两个立方体对角贴在一起，根据虚线，可间接得到：   （x+y)^3   要得到x^3+ y^3，可使用（x + y)^3的空白位置。该空白位置可分割为3个部分：   ·x×y×（x+y)   ·x×（x+y）×y   ·（x+y）×x×y   把三个部分加在一起，便得：   =xy(x+y)+xy(x+y)+xy(x+y)   =3xy(x+y)   之后，把（x + y)^3减去它，便得：=(x+y)^3-3xy(x+y）公式发现两个数项皆有一个公因子，把它抽出，并得：   =(x+y)[(x+y)^2-3xy]   （x + y)^2可透过和平方公式，得到：   =(x + y)(x ^2+ 2xy + y^2-3xy)   =(x + y)(x ^2− xy + y^2）   这样便可证明：x^3+y^3=(x + y)(x^2 − xy + y^2）     6 关于因数   一般而言，任取一自然数N，他的因数有1，n1,n2,n3，……，nk,N，这些因数的因数个数分别为1，m1,m2,m3，……，mk,k+2，则   1^3+m1^3+m2^3+m3^3+……+mk^3+(k+2）^3   =（1+m1+m2+m3+……+mk+k+2）^2   我们发现，上述规律对素数p是永远成立的，因为素数p的因数只有1和p，因数的个数只有1和2，所以成立。   合数的验证方法可以从因数个数出发证明，有中学水平的人可以自己证明。   比如120，有因数   1，2，3，4，5，6，8，10，12，15，20，24，30，40，60，120；它们的因数个数为   1，2，2，3，2，4，4，4，6，4，6，8，8，8，12，16，   1^3+2^3+2^3+3^3+2^3+4^3+4^3+4^3+6^3+4^3+6^3+8^3+8^3+8^3+12^3+16^3=8100   （1+2+2+3+2+4+4+4+6+4+6+8+8+8+12+16）^2=8100