求导法则

求导法则 ?2 求导法则 P.103习 ,,,4(对下列各函数计算 f(x),f(x，1),f(x,1) 333f(x),xf(x，1),xf(x,1),x(1) (2) (3) 222,,,f(x),3xf(x，1),3(x，1)f(x,1),3(x,1)解 (1)，， 322,,f(t),(t,1)f(t),3(t,1)f(x),3(x,1)(2)令，则，于是。从而，x，1,t 2222,,f(x，1),3(x，1,1),3xf(x,1),3(x,1,1),3(x,2)， 32,f(x，1),xxf(x，1),3x也可以如下进行:在两端分别对求导数，得，再令 ，……. x，1,t 322,,f(t),(t，1)f(t),3(t，1)f(x),3(x，1)(3)令，则，于是。从而，x,1,t 2222,,f(x，1),3(x，1，1),3(x，2)f(x,1),3(x,1，1),3x， dd226(设f为可导函数，证明:若时有， f(x),f(x)x,1dxdx ,f(1),0f(1),1则必有或 dd222,,证明 因为，，所以当时有f(x),2xf(x)f(x),2f(x)f(x)x,1dxdx dd22,,,,f(x),2f(1)f(x),2f(1)f(1)2f(1),2f(1)f(1)，，由题设，有，dxdxx,1x,1 ,,f(1)(1,f(1)),0f(1),0f(1),1于是，从而或 另证:当时 x,1 2222df(x)f(1)f(x)f(1),,2f(x),lim,lim(x，1)2x,1x,1dxx,1x,1x,1 f(t)f(1),,,lim,lim(x，1),2f(1)t,1x,1t,1 22df(x),f(1)f(x),f(1)2f(x),lim,lim(f(x)，f(1))x,1x,1dxx,1x,1x,1 f(x),f(1),,lim,lim(f(x)，f(1)),2f(1)f(1)x,1x,1x1, ,,,,2f(1),2f(1)f(1)f(1)(1,f(1)),0f(1),0f(1),1由题设，有，于是，从而或