证三点共线可尝试用向量来分析

证三点共线可尝试用向量来 空间向量及其运算二共线与共面 1 共线与共面分析复习回顾: 1.共线向量: 如果示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量( a 平行于 b 记作 a // b ( 规定: o 与任一向量 a 是共线向量. 2.共线向量定理: ， 空间任意两个向量 a 、 ( b ? 0 ) ba // b 的充要条件是存在实数 ，使 a b .思考:如图 l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直线那么如何表示直线 l 上的任一点 P l 注:非零向量 a 叫做 A P 直线 l 的方向向量. a 2 思考 思考:如图 l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直线 如何表示直线 l 上的任一点 P l 注:非零向量 a 叫做 A BP 直线 l 的方向向量. a O?? AP // a ?存在唯一实数 t R 使 AP t a .? 点 P 在直线 l 上 唯一实数 t R 使 AP t a ??对于任意一点 O有 AP OP OA则点 P 在直线 l 上 唯一实数 t R 使 OP OA t a ??点 B 在直线 l 上且 AB a则点 P 在直线 l 上 唯一实数 t R 使 OP OA t AB ?注:?、?、?式都称为空间直线的向量表示式即空间直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定. 3练习 1:已知 OE 是以 OA 、 、 为棱的平行六面 OB OC体 OADB —CFEG 的对角线点 M 是 ? ABC 的重心.求证:点 M 在直线 OE 上. G E F分析: C 证三点共线可 B M尝试用向量来分析. D O O A练习2:已知A、B、P三点共线，O为直线AB外一点 且 OP xOA yOB ，求 x y 的值. 4练习2:已知A、B、P三点共线，O为直线AB外一点 且 OP xOA yOB ，求 x y 的值.解:? A 、 、 三点共线? t R 使 OP OA t AB B P ? OP 1 t OA tOB? A 、 、 、 四点在同一个平面内且 OP xOA yOB B P O ? O 为直线 AB 外一点? OA 、 不共线 OB ?由平面向量基本定理可知 x 1 t y t ?x y 1 反过来如果已知 OP xOA yOB 且 x y 1 那么 A 、 、 三点共线吗 B P 5 二.共面向量:1.共面向量:平行于同一平面的向量叫做共面向量. a 注意:空间任意两个 O A 向量是共面的，但空 a 间任意三个向量就不 一定共面的了。2.共面向量定理:如果两个向量 a 、 不共线则向 b量 p 与向量 a 、 共面的充要条件是存在唯一的有 b序实数对 x y 使 p xa yb . C p P b A a B 6 思考1思考 1:如图平面 为经过已知点 A 且平行两不共线的非零向量 a 、 的平面如何表示平面 A 上的任一点 P b P呢 C p b A a B O??已知点 B 、 在平面 内且 AB a AC b C?点 P 在平面 上 是存在唯一有序实数对 x y使 A xA yA ? P B C??已知点 B 、 在平面 内且 AB a AC b对于空间任意一点 O C?点 P 在平面 上 是存在唯一有序实数对 x y使 OP OA xAB yAC ? 注:?、?、?式都称为平面的向量表示式 即平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定. 7 思考2思考 2课本 P95 思考 已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A 、 、 B C满 足 向 量 关 系 式 OP xOA yOB zOC 其 中x y z 1 的点 P 与点 A 、 、 是否共面 B C 8例2如图，已知平行四边形ABCD从平面AC外一点O引向量 OE k OA OF k OBOG k OC OH k OD 求证:?四点E、F、G、H共面;?平面EG//平面AC. 9 1 2答案课外补充练习:1.对于空间任意一点O，下列命题正确的是:AA若 OP OA t AB ，则P、A、B共线B若 3OP OA AB ，则P是AB的中点C若 OP OA t AB ，则P、A、B不共线D若 OP OA AB ，则P、A、B共线2.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点 1 1O，OM xOA ， OB ， OC 则x的值为D 3 3 1 A1 B 0 C 3 D 3 10课外补充练习: 1.下列说明正确的是: D A在平面内共线的向量在空间不一定共线 B在空间共线的向量在平面内不一定共线 C在平面内共线的向量在空间一定不共线 D在空间共线的向量在平面内一定共线 2.下列说法正确的是:C A平面内的任意两个向 量都共线 B空间的任意三个向量都不共面 C空间的任意两个向量都共面 D空间的任意三个向量都共面 11 例1 平行六面体中点MC2AMA1N2ND 设ABaADbAA1c试用abc表示 MN. A1 D1 分析:要用abc表示 B1 N C1 MN只要结合图形充 分运用空间向量加法 A D 和数乘的运算律即可. MB C 12 答案 练习例1 平行六面体中点MC2AMA1N2ND 设ABaADbAA1c试用abc表示 MN. A1 D1 解: 连AN 则MNMAAN 1 1B1 C1 MA, 3 AC , 3 ab N ANADDNAD,ND A D 1 M 3 (2 b c B C ?MN MAAN 1 (, a b c 3 13练习 .空间四边形OABC中OAaOBbOCc 点M在OA上且OM2MAN为BC的中点则 MN . O A 1 a ,2 b 1 c 2 3 2 2 1 b 1c B, 3 a M 2 2 1 1b , 2cA C C 2 a N 2 3 B 2 2 b, 1c D 3 a 2 3 14 例3