第十一章 静不定结构

第十一章 静不定结构 第十一章 静不定结构 一、学时分配:共4学时 二、重点和难点: 重点内容:静不定次数的判断、静定基选择的相对性。变形比较法中变形协调方程的建立。力法正则方程中系数矩阵中元素的物理意义。 难点内容:静不定次数的判断，变形比较法求解一次静不定结构。力法正则方程中系数矩阵的建立。 重点和难点处理:通过具体例子，反复训练以强化静不定次数判断的方法和技巧。强调变形比较法、力法正则方程系数的物理力学意义，结合能量法熟练掌握系数的计算。 三、主要内容: 1 静不定次数判断、静定基的选择。 一个结构可是外静不定(第一类)、内静不定(第二类)，或者是混合静不定结构(第三类)。 解除静不定结构的内部和外部多余约束后所得到的静定结构称作原静不定结构的基本静定系统。把原静不定结构的载荷和被解除的多余约束的约束力作用到基本系统上所组成的结构称作原静不定结构的相当系统。 由于选取多余约束的方案不是唯一的，因而静不定结构的基本静定系统和相当系统也不是唯一的。 2求解简单静不定结构。 变形比较法:比较原结构及其基本静定结构在多余约束处的变形，二者应完全相同 如右图超静定梁，求B处的支反力及中点C的挠度。 去掉支座B，代替以约束反力 变形协调关系 v，v,0BYBP 323YlPll5Pl,,,,B物理关系(力与变形的关系) v,,v3l,,,BY,,,,BP3EI6EI2248EI,,,, 33 Yl5PlB,，,0 3EI48EI ？Y,5P/16B 323Pl25P/16l27Pl，，，，，，l ，，v3l,,,,c23EI6EI768EI 比较静不定梁和静定梁的最大弯矩 对另一种基本静定系统 ,，,,0APAm变形协调关系 2mlPlA,,物理关系 ,,AmAP16EI3EI 2PlmlA ？m,,3Pl/16，,0A16EI3EI 3 力法正则方程。 把多余未知力的计算问当作静不定问题的关键，把多余未知力当作处于关键地位的未知力，这样求解静不定问题的方法称为力法。多余未知力为力法的基本未知量。 ,,,,,？x,,，，,,p1n11121311,,,,,,,,,,,？xp2n21222322,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ？x,,,,p3n31323333,,,,,,？？？？？？？,,,,,,,,,,,,,,？,x,,npnnnnnn，123，,,,, 正则方程的系数矩阵的元素和常数向量的元素，根,(i,j,1,2.....n),(i,1,2.....n)ijip据其定义，用单位载荷法计算。若略去杆件拉、压变形和剪变形影响，则计算公式为 2,,MMdx,ij,,,,,,ijji,EI,,1 (i,j,1,2,3......n),2,MMdxip,,,,p1,,EI,1, ,,,依据位移互等定理，系数矩阵的元素仍然存在关系，所以系数矩阵是一个对称矩阵。 ijji ,MM(i,1,2....n)x其中为基本静定系统受载荷单独作用时的弯矩;为基本静定系统受pii单独作用时的弯矩 静不定系统的内力和变形计算 2 ,M(x),M(x)，xM(x) ,piii,1 例1 试求图示刚架的全部约束反力，刚架EI 为常数 解:?刚架有两个多余约束。 ?选取并去除多余约束，代以多余约束反 力。 ?建立力法正则方程 ,, X，X，,,01111221P ,X，,X，,,02112222P , ?计算系数和自由项 ,iPij 用莫尔定理求得 44aa 11qa11qa22(qx)adx(qx)xdx,,,,,,,,,,,,,,PP1222222,,00 EI26EIEI28EI33aaa 14a1a222(xdxadx)xdx,,，,,,,111122222,,,000 EI3EIEI3EI 3a1aaxdx,,,,, 122122,0EI2EI ?求多余约束反力 将上述结果代入力法正则方程可得 3344aaqa1X，X,,0 12X,,qa(,)3EI2EI6EI1 28334aaqa3 X，X,,012X,qa(,)22EI3EI8EI 7 由平衡方程得其它支反力，全部示于图中。 4 对称结构、反对称结构的应用 结构几何尺寸、形状，构件材料及约束条件均对称于某一轴，则称此结构为对称结构。 对称载荷: 绕对称轴对折后，左右两部分载荷彼此重合(作用点相对应、数值相等、方向相同)。 反对称载荷:绕对称轴对折后，左右两部分载荷正好相反(作用点相对应、数值相等、方向相反)。 普遍性结论: 对称结构受对称载荷作用，其内力和位移分布对称。在对称面上平行于对称面的内力分量(剪力、扭矩)和垂直对称面对位移分量(轴向位移、弯曲的转角)等于零。 对称结构受反对称载荷作用，其内力和位移分布反对称。在对称面上，垂直对称面的内力分量(轴力、弯矩)和平行于对称面的位移分量(挠度、扭转角)等于零。 ABPAB例2 在等截面圆环直径的两端，沿直径方向作用一对方向相反的力。试求直径 的长度变化。 (c) (d) (e) (f) (g) 解:图所示的圆环是三次内静定结构。可看作图b当时的极限情况。所以结构,,0 和载荷都对称于过圆心的水平面和铅直面，圆环的内力位移的分布也对称于该两个平面。在 1ABD、、、四点处，截面上剪力为零，切向位移和转角为零。于是只需圆环，C4 A简化或一次外静不定结构(图c)。选点处对转角的约束为多余约束，则相当系统如图11-16d所示。正则方程为 ,x,,,1111p 依据图e和图f。可求得基本静定系统单独受载荷和单位多余约束力作用时的弯矩为 Pa,0 M,sin,,,,p22 ,, M,10,,,12 根据单位载荷法计算得 ,11a,22,Mds11ad,,,,, ,,111,,l0EIEI2EI ,211PaPa2,MMds1sinad,,,,,,, pp11,,l0EIEI22EI 2Pa,Pap12EI ,,,,,,x1,a,,112EI AD圆环段的弯矩为 PaPaPa2,,, M,M，x,M,sin,,(sin,)p11,,22AAP为求点的径向位移，在基本静定系统的点处施加单位力(图g)，计算得弯矩为 0 ,, 0 M,asin,,,,2 A根据单位载荷法，点的径向位移为 ,11Pa22,,,MMds,asin,,(sin,,)ad, A,,l0EIEI2, ,3Pa222,(sin,,sin,)d, ,02EI, 3,Pa2,(,)P (沿方向) 0,2EI4 BAAB根据对称性，点的径向位移等于点的径向位移，其方向下。所以直径改变为 3,Pa22,,(,)。 A,EI4