泰勒展开式的计算[精彩]

泰勒展开式的计算[精彩] 实验六:泰勒展开式的计算 1、实验目的: 介绍使用Mathmatica进行泰勒展开的方法，从不同角度对泰勒展式进行观察和讨论，着重对泰勒余项的误差分析，使学生理解展开位置和展开阶数n对x0计算误差的影响，研究泰勒展式的应用 2、实验指导: 一、 级数 1( 求和与求积 求有限或无穷和、积的函数是: maxi Sum[f，{i，imin，imax}] 求，其中iminf(i),,minii可以是-?，imax可以是?(即+?)，但是必须满足imin?imax。基本输入模板中也有求和专用的符号，使用模板输入更方便。 Sum[f，{i，imin，imax}，{j，jmin，jmax}，…] 求多重和，也可以使用基本输入模板连续多次输入求和符号得到。 maxi Product[f，{i，imin，imax}] 求，基本输入f(i),,minii模板中也有求积符号。 Product[f，{i，imin，imax}，{j，jmin，jmax}，…] 求多重积 ，也可以使用基本输入模板连续多次输入求积符号得到。 例1 求下列级数的和与积: 1n,,,1122k (1)，(2) ，(3) ，(4) 。ke,,,,2kkk,1,1kkk,1,1 解:In[1]:=Sum[k^2，{k，1，n}] 1n(1，n)(1，2n) Out[1]= 6 , In[2]:= 1/k^2,k,1 2, Out[2]= 6 , In[3]:= 1/k,k,1 Sum::div:Sum does not converge. ,1 Out[3]= ,kk,1 , In[4]:= Exp[1/k^2],k,1 2, 6 Out[4]= e 说明:上例中第三个级数发散，Mathematica给出提示，并在不能给出结果 时将输入的式子作为输出。 NSum和NProduct得到数值解。 2( 将函数展开为幂级数 将函数展开为幂级数的函数调用格式如下: Series[f，{x，x，n}] 将函数f(x)在x 处展成幂级数00直到n次项为止。 Series[f，{x，x，n}，{y，y，m}] 将函数f(x，y)先对y后对x展00 开。 例2 展开下列函数为幂级数: sinxxyy,(1) y=tgx，(2) ， (3)y = f(x)，(4)y = e。 x 解:In[1]:=Series[Tan[x]，{x，0，9}] 3579x2x17x62x10x，，，，，o[x] Out[1]= 3153152835 In[2]:=Series[Sin[x] /x，{x，0，9}] 2468xxxx101,，,，，o[x] Out[2]= 61205040362880 In[3]:=Series[f[x]，{x，1，7}] 112(3)3,,,f[1]，f[1](x,1)，f[1](x,1)，f[1](x,1)， Out[3]=26 11(4)4(5)5f[1](x,1)，f[1](x,1)， 24120 (7)71f[1](x,1)(6)68f[1](x,1)，，o[x,1] 7205040 In[4]:=Series[Exp[x y]，{x，0，3}，{y，0，2}] 2,,y332334,,1，(y，o[y])x，，o[y]x，o[y]x，o[x] Out[4]=,,2,, 说明:上例中In[3]表明也可以展开抽象的函数。 对已经展开的幂级数进行操作的两个函数是: Normal[expr] 将幂级数expr去掉余项转换成多项式。 SeriesCoefficient[expr，n] 找出幂级数expr的n次项系数。 例3 将y = arcsinx展开为幂级数，只取前9项并去掉余项。 解:In[1]:=Series[ArcSin[x]，{x，0，9}] 3579x3x5x35x10 Out[1]= x，，，，，o[x]6401121152 In[2]:=Normal[%] 35793535xxxx Out[2]= x，，，，6401121152 In[3]:=SeriesCoefficient[%1，5] 3 Out[3]= 40 3( 傅里叶级数 傅里叶级数就是求出傅里叶系数，傅里叶系数是一个积分表达式，所以利 求 用积分函数Integrate就可以实现。 例如，设周期矩形脉冲信号的脉冲宽度为τ，脉冲幅度为E，周期为T，这 TT,种信号在一个周期[，]内的表达式为 22 ,,E|t|,,2f(t), ,,,t0||,2, 求其傅里叶级数时，可以先求出傅利叶系数。为了和Mathematica中的常数E相区分，以下用Ee表示脉冲幅度，用tao表示脉冲宽度τ，根据傅利叶系数的积分表达式，输入以下语句: a0= 2/T Integrate[Ee， {t，-tao/2，tao/2}] a[n_ ]=2/T Integrate[Ee Cos[2n Pi t/T]， {t，-tao/2，tao/2}] b[n_ ]=2/T Integrate[Ee Sin[2n Pi t/T]， {t，-tao/2，tao/2}] 可得到下面三个输出，即分别是a，a与b，即 0nn En22,,,Esin a=，a =与b=0 0nnTnT, 从而可写出给定的傅利叶级数为: ,EEnn,21,,2,,ft ,，()sincos,TnTT,i1, 3、实验任务: 1、展开下列函数为x幂级数，并求其收敛区间。 12x,x;(2)y = cosx;(3)y =(1 - x)ln(1 - x)y,(e,e)2 2、将函数 x,0,x,1, f(x),,2,x1,x,2,