求导法则

求导法则 导数的概念 一、导数概念的引入 问题?:瞬时速度问题。 直线运动方程s=s(t) s(t),s(t)0v,时间间隔的平均速度 t,t0t,t0 st,st()()0vt,()lim时刻的瞬时速度 t00t,t0t,t0 y,f(x)问题?:曲线切线的斜率。 f(x，,x),f(x)MN00k,tan,,, MM0MN,x0 y y=f(x) T M M0 N α φ xx+?x 0 0x o fx，,x,fx()()00k,,k, ,limtanlimMMMT00M,M,x,00,x 二、导数的定义 y,f(x),x定义1:设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在取得增量时，xx00 ,y相应地函数y取得的增量，若极限存在，则称函数,y,f(x，,x),f(x)lim00,x,0,x y,f(x)y,f(x)在点处可导，称这个极限为在点处的导数，记为 xx00 dfxdy()，y'|，， ||f'(x)x,xx,xx,x0000dxdx fxxfx()()，,,,y00即 fx'()limlim,,0,,,,xx00,,xx fx，,x,fx()()fx, 定义2(导函数) '()lim,x,0,x 导函数导数(值) f'(x),f'(x)|,0x,x0 求导法则 一、函数的线性组合、积、商的求导法则 f(x),,u(x)，,v(x)f'(x),,u'(x)，,v'(x),,,1(若，则 为常数 f(x),u(x),v(x)f'(x),u'(x)v(x)，u(x)v'(x)2(若，则 (uvw)',u'vw，uv'w，uvw'推广: u'(x)v(x),u(x)v'(x)u(x)v(x),0f'(x),f(x),3(若，， 2v(x)[v(x)]例1(求下列函数的导数 43(1); y,2x,3x，7x,8 x2(2); y,2，x，xxx x(3); y,e(3sinx，4cosx) sintds|s,tcost,(4)，求; ,t,dtt3 y,tanx例2(设，求y’; 例3(设，求y’; y,secx 二、反函数的导数 x,,(y)y,f(x)在单调、连续反函数在单调、连续。 I,Iyx ,y11,y,f(x，,x),f(x),0,f'(x),， ,,x,'(y),x ,y y,arcsinx例4(求反正弦函数的导数。 ,,y,arcsinxx,siny解 是()的反函数， ,,y,22 111y',(arcsinx)',,,sin'y,cosy,0 ？？2sin'ycosy1,x 1(arccosx)',,类似地 21,x y,arctanx例5(求反函数的导数。 111(arctanx)',,,解 22tan'ysecy1，x 1类似地(arccotx)',, 21，x a,0,a,1例6(求对数函数()的导数 y,logxa 1111(logx)',,,解 ，特别地ln'x, ayyxlna(a)'alnax 第二节 函数的求导法则 教学目的:1.使学生掌握函数的和、差、积、商的求导法则; 2使学生掌握反函数的导数法则、复合函数的求导法则; 3使学生熟练掌握初等函数的求导公式。 教学重点:初等函数的求导公式、复合函数的求导法则 教学过程: 一、函数的和、差、积、商的求导法则 f(x),u(x),v(x)u(x)v(x)定理 1:若函数和在点都可导，则在点也可导，xx00且 ,,, 。 f(x),u(x),v(x)000 fx,fxux,vx,ux,vx()()[()()][()()]000,limlim证明: x,xx,x00x,xx,x00 ux,uxvx,vx()()()()00,,,limlim == u(x),v(x)00x,xx,x00x,xx,x00 ,,, 所以。 f(x),u(x),v(x)000 注 1:本定理可推广到有限个可导函数上去。 ,,,(u,v),u,v 2:本定理的结论也常简记为。 f(x),u(x)v(x)u(x)v(x)定理2:若和在点可导，则在点可导，且有x,xx00 ,,,。 ()()()()()fx,uxvx，uxvx00000 fx,fxuxvx,uxvx()()()()()()000,limlim证明: x,xx,x00x,xx,x00 uxvx,uxvx，uxvx,uxvx()()()()()()()()0000lim = x,x0x,x0 ux,uxvx,vx()()()()00vx，uxlim()lim() = 0x,xx,x00x,xx,x00 ux,uxvx,vx()()()()00vx，uxlimlim()()lim = 0x,xx,xx,x000x,xx,x00 ,, =u(x)v(x)，u(x)v(x)0000 ,,,即 。 f(x),u(x)v(x)，u(x)v(x)00000 ,,v(x),c(cu),cu注 1:若取为常数，则有:; 2:本定理可推广到有限个可导函数的乘积上去，例如: ,,,,(uvw),uvw，uvw，ucw ,,,,,(uvws),uvws，uvws，uvws，uvws 等。 u(x)u(x),v(x)f(x),定理3:若都在点可导，且，则在点也x,xv(x),0x000v(x) ,,u(x)v(x),u(x)v(x)0000,f(x),可导，且。 02v(x)0 u(x)u(x)0,f(x),f(x)v(x)v(x)u(x)v(x),u(x)v(x)0000lim,lim,lim证明: x,xx,xx,x000x,xx,x(x,x)v(x)v(x)0000ux,uxvx,vx()()()()1100,uxlim[()] = 0x,x0x,xvxx,xvxvx()()()000 11,,u(x),u(x)v(x) = 0002v(x)v(x)00 ,,u(x)v(x),u(x)v(x)0000 = 2v(x)0 ,,u(x)v(x),u(x)v(x)0000,f(x),即 02v(x)0 11f(x),u(x),注1:本定理也可通过，及的求导公式来得; []v(x)v(x) ,,uuv,uv,2:本公式简化为; (),2vv :以上定理1~3中的，若视为任意，并用代替，使得函数的和、差、3xx0 积、商的求导函数公式。 2,f(x)f(x),x，2x,【例1】 设，求。 x 222111,,,,,f(x),(x，2x,),(x)，(2x),(),1，,,2(,),解: 322xxxx 11,1，，。 3xx x,f(x)【例2】 设，求。 f(x),xelnx xxxx,,,,,解: f(x),(xelnx),(x)elnx，x(e)lnx，xe(lnx) 1xxxexxexxe ,ln，ln，,x x。 ,e(1，lnx，xlnx) 【例3】 1,,(tanx),,(secx),secx,tanx,2cosx 1,,(ctan),,,(cscx),,cscx,ctanx2sinx