饮酒驾驶酒精含量数学模型 [文档在线提供](1)

饮酒驾驶酒精含量数学模型 [文档在线提供](1) 饮酒驾驶模型 摘要: 本文针对酒后驾车造成交通事故死亡率高，以及根据国家质量检验检疫局发布的饮酒后驾车新，建立了饮酒后血液中酒精含量的数学模型。通过了解酒精在体内吸收，分布和排除的动态过程，及这些过程与人体内酒精反应的定量关系建立微分方程，运用药物动力学原理建立单室和双室模型。得出血液中的酒精含量,与进入体内总酒量C(t) 、时间的函数关系式: tx(t) ktkt,,a单室模型: ，，，，，，，，Ct,xtv,kxe,evk,kaa0 xtxt，，，，tt,,nn,1pnpn,1,,双室模型: AUC,AUC，，,tppn,,00vv,, Wagner-Nelson法(待吸收的百分数对时间作图法)，与题中给出的本文还运用了 参考数据在计算机运行的结果作对比。 本文还解决了如下问题: 1、从模型分析了大李第二次被判为饮酒驾车是因为二次饮酒，而使血液中酒精含量累积而超标。 2、对喝了低度酒多长时间驾车违反规则作了量化分析; 3、从单室模型得出了一个血液中酒精含量峰值: ，，t,2.303gkkk,k maxaa 4、用本文的模型对天天喝酒能否开车作了讨论。 本文最后对模型的优点和不足作了评价。 一、问题提出 据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。 大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢, 请你参考下面给出的数据(或自己收集资料)建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题: 1. 对大李碰到的情况做出解释; 2. 在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答: 1)酒是在很短时间内喝的; 2)酒是在较长一段时间(比如2小时)内喝的。 3. 怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。 4. 根据你的模型论证:如果天天喝酒，是否还能开车, 5.根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。 - - 1 二、问题假设 1、机体分为中心室(I室)和周边室(II室)，两个室的容积(即血液体积或药物分布,1,容积)的过程中保持不变。 2、药物从一室向另一室的转移速率，及向体外的排除速率，与该室的血药浓度成正比。 3、酒精含量的变化基本只受消除速度常数支配。 4、假定消除只发生在中心室，两个房室内酒精初始量都为零(即没有喝酒)。 5、酒在体内运动的配置和消除都是药物动力学过程。 6、人都是在精神状态正常情况下喝酒。 7、酒精可在整个机体内以同速度达到平衡。 三、符号定义 :房室表观分布容积; v :酒精消除速度常数; k k:酒精吸收速度常数; a k:酒精转移速度常数(); kcppc :时刻体内吸收酒精的速度; tf(t) C:血酒浓度的最高峰值; m : 血液中酒精含量; C(t)t时刻的 :进入体内的总酒量; x(t) x:一次喝下的酒量; 0 ，，xt:t时刻体内吸收的酒精量; a ，，xt:t时刻中心室内的酒精量; c ，，xt:t时刻周边室内的酒精量; p t:第次喝酒的时刻; nn t:血液浓度达到最高峰值的时刻; m I :已经代谢排泄酒物总量; AUC:一次喝酒后的吸收总量; p 四、模型建立 (一)、单室模型 将人的机理作为一个房室处理的模型，人喝酒后，酒精需要一定的吸收过程，可建 立模型图(1): 图(1) 依条件及示意图，得到单室模型; - - 2 dx (1) ，，,ft,kxdt ，， x0,x ，，，， (2) Ct,xtv ，，C0,C,xv 00 酒精逐渐进入血液循环后; ,kta (3) ，，，，ft,k*xt,keaaax0 得到: ktkt,,a (4) ，，，，，，xt,kxe,ek,kaa0 将(2)式代入(3)得 ktkt,,a (5) ，，，，，，，，Ct,xtv,kxe,evk,kaa0 根据动力学原理的有关计算，出的血液中酒精含量最大峰值和达到最大峰,2, 值时间计算公式 ,ktm (6) C,exvmax0 ，，t,2.303gkkk,k (7) maxaa,3,(二)、双室模型 二室模型假设酒精进入体内后在两个房室内配置，一个中心室，另一个是外周室，酒精 在体内的配置和消除都是一级动力学过程，但酒精的吸收可以是任意的，见图(2): 图(2) 按照质量平衡原理，时间范围内吸收进入体内的总酒量为 x(t)0,t t (8) ，，，，，，，，xt,ftdt,Xt，Xt，Icp,0 其中 t (9) ，，I,kXtdt,c0 代入式(5) 并在等号两边同时除以表观分布容积得到 V xtxtt，，，，pctkctdt，，，，,，， (10) ,0vv xt，，c，，ct其中血液中酒精含量=。 v t,, 根据式(7), 当时，计算酒精吸收分数的公式为: - - 3 tx(t)p,，，，，，，ctkctdt0，，xtv (11) ,,，，,x,kctdt0 我们运用Wagner-Nelson方法求解，对此，我们在算法作如下基本假设:在时间 ，，xtp，，xttt,t和之间外周室酒精量可以用线性插值近似逼近，因此曲线下的面积pn,1nv tn可用梯形法进行运算 AUCp,1tn txtxtxtt，，，，，，,,，，t,tnnppn,1pnnn,1 (12) ,,AUC,dt,，p,,,,1t,1t2nnvvv,,tttxtxtxttnn,1nnppp，，，，，，AUC,dt,dt，dtp000tn,1vvv,,, 则 (13) ，，，，xtxtt,,t,tn,1pn,1pnnn,1,,,AUC，，p,,02vv,, 为了叙述方便，令 t,tnn,1 ,t,n2 则有 xtxt，，，，tt,,nn,1pnpn,1,, (14) AUC,AUC，，,tppn,,00vv,, ，，xtt0p0，，,0n,1,2,3,？,n这是一个递推公式，。当时t=0，，，AUC,0n,10p0vt,tt101则根据上述递推公式 ,t,,122 xtxt，，，，tt,,0110pp,,AUC,AUC，，,t1pp,,00vv,, (15) ，，xt1p,,,t1v 外周室的药物量变化微分方程为 dx，，tp，，，，,vkct,kxt (16) cppcpdt 0,t在时间范围内，对式(10)等号两边积分,得到 n ttnn (17) ，，，，，，xt,vkctdt,kxtdtpncppcp,,00 在上式等号两边同时除以v,得到 ttxtxtpnpnn，，，，,,kctdtkdtcppc,,，，00vv (18) ，，txtxtt,,，，，，pnpnnn,1,1,,,,，，,，，kctdtkAUCt,,cppcpn,,,00vv,,，， - - 4 整理上式后 xtt，，tnn,1pn1,kctdt,kAUC,k,t，，cppcppcn,xt，，00pnv (19) ,v1，k,tpcn 2、递推计算过程 用数学不完全归纳法，对式(15)和式(11)进行递推计算, 计算过程为: 时 n,1 t1,t,12 t0AUC,0p0t1kctdt，，xt，，cp,p10 ,v1，k,tpc1 x，，tt1p1AUC,,,t 1p0v 时 n,2 t,t21 ,t,22 xtt，，t21p1kctdt,kAUC,k,,t，，cppcppc2,xt，，00p2v ,v1，k,tpc2 xtxt，，，，,,tt2112pp,, AUC,AUC，，,t2pp,,00vv,, 时 n,3 t,t32 ,t,32 xtt，，t32p2kctdt,kAUC,k,,t，，cppcppc3,xt，，00p3v ,v1，k,tpc3 XtXt，，，，,,tt3223pp,,AUC,AUC，，,t 3pp,,00VV,,如此递推计算可得到: xtxt，，，，tt,,nn,1pnpn,1 ,,AUC,AUC，，,t (20) ppn,,00vv,, 根据题中所给出的数据和(20)式作出图(3): - - 5 图(3) 由以上各推导公式我们可以计算人在一次饮酒的量，以及多次饮酒的量后体内酒精含量随时间的变化。 五、模型结果分析及验证 1、对大李的问题给予解释: ，，xtp1,20通过双室模型可以看出，第一次饮酒时，虽然,也就是 v t1 AUC,20p0 但是第二次饮酒后，由于他第一次饮酒时血液中还残留有一定酒精，有如下关系式 xtxt，，，，,,tt1221pp,,AUC,AUC，，,t 2pp,,00vv,, xtxt，，，，,,tt1221pp,,AUC,AUC,，,t,20即时，就违反了国家的新标准。 2pp,,00vv,, 2、对喝了3瓶啤酒的在多长时间内驾车就会违反标准。 A、酒是在短时间内喝的: tt11只要，即内开车，就会违反国家的新标准。 AUC,20,tt,AUC/40np1p00 按照题中给出的参考数据，70?的人在短时间内喝下的2瓶酒后，得到的数据代入， t同样体重的人喝3瓶啤酒，解得约在11小时内，就会违反国家新标准。 B、酒是较长时间内喝。 我们对上述问题定性地假设长时间内喝了 n次(每次都是在短时间内喝)， - - 6 因为 xtxt，，，，tt,,nn,1pnpn,1,, AUC,AUC，，,tppn,,00vv,,ttnn,1 则有 AUC,AUC,20,tppn00 ttnn,1即 内开车就会违反国家的新标准。 t,(AUC,AUC)/40npp00 3、怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高; 方法一、根据题目给出的参考数据: 时间(小时) 0.25 0.5 0.75 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 酒精含量 30 68 75 82 82 77 68 68 58 51 50 41 时间小时 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 酒精含量 38 35 28 25 18 15 12 10 7 7 4 用Matlab作出图像: 根据图表数据和图像的变化规律，我们可以粗略统计出: 当时，人体内的酒精含量最高。 1,t,1.5 - - 7 方法二、根据我建立的单室模型，和参考药物动力学有关知识，总结出如下关系式 ,ktm C,exvmax0 ，，t,2.303gkkk,k maxaa 计算出人喝酒后的酒精含量峰值的时间 4、验证如果人天天喝酒还能否开车, 如果人天天喝酒，存在下面关系式 ttnn,1， t,(AUC,AUC)/40npp00 t,24假若算出 小时，就能开车; n t,24假若算出 小时，就会违反规定。 n 六、模型评价与改进 优点: (1)、本文有明确的求解方向，以药物动力学的有关原理为参考资料和理论基础。模型具有科学性和普遍的适用性。 (2)、本模型参考药物动力学，建立饮酒后酒精在血液中的含量的数学模型，并对单次饮酒和多次饮酒后的情况进行讨论，具有较强的稳定性。 (3)、本模型以生活的事例为检验资料，所得出的结论基本吻合，并易于推广。 缺点: (1)、由于变量参数大多，即使将原问题线性化，计算依然相当繁杂。 (2)、由于时间和知识的有限，在求解实际问题时，对人体的机理简单的分为单室模型和双室模型。 模型改进: 基于本模型的参数多，可以通过一些仪器实验算出参数的具体值。基于我们只建立室模型和双室模型，可以进一步考虑多室模型的方向，使酒在人体内消化反应出来，单 使结果更加切合实际。 七、给爱好喝酒的朋友一封信 亲爱的酒友: 首先，我们不是一帮酒鬼，但通过数模竞赛我们对酒有一定的了解:酒对人脑的作用与人体血液中酒精浓度有着密切的关系，它将影响人体思想、行为，少喝固然能促进消化，有益身心健康。但是，多喝的后果是不堪设想的:伤及他人;对人体大脑的伤害;更可怕的是在交通事故中它所扮演的恶性角色。正所谓“多喝”无性，“少喝”怡情。在生活节奏紧张而又繁忙的司机们，想得到一份精神的解脱和轻松，“小喝”怡情，倒也无妨。只是“大喝”无性者，将会失去理性，终将害人害己(见附录一)。看吧，不要因为一时的酒瘾，而失去美好的一切。 参考文献 ,1,姜启源 《数学模型》 北京:高等教育出版社 1993年8月第二版 [2] 魏树礼 《生物药剂与药物动力学》 北京:北京医科大学出版社 1997年 [3] 陆瑜 朱家壁 梁秉文 二室模型药物体内吸收计算方法的改进 - - 8 附录一: 酒后血中浓度与行为表现的关系 血中酒精浓度(mg/dl)行为表现 大于30 驾车有障碍 30,50 驾驶能力变坏 50,100 多话、大笑、感觉障碍 100,150 说话含糊、脚步不稳、可能会恶心 150,200 明显酒醉、恶心、步履踌躇 附录二: Matlab6.1程序清单 (1) x=[0.25,0.5,0.75,1,1.5,2.0,2.5,3,3.5,4,4.5,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16]; y=[30,68,75,82,82,77,68,68,58,51,50,41,38,35,28,25,18,15,12,10,7,7,4]; plot(x,y,'*') plot(x,y,'*',x,y) (2) x=[0.25,0.5,0.75,1,1.5,2.0,2.5,3,3.5,4,4.5,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16]; y=[3.75,17,28.125,41,61.5,77,85,102,101.9,102,112.5,102.5,114,122.5,112,112 .5,90,82.5,72,65,49,52.5,32]; plot(x,y,'*') >> plot(x,y) >> x1=[0.25,0.5,0.75,1,1.5,2.0,2.5,3]; y1=[3.75,17,28.125,41,61.5,77,85,102]; >> a=polyfit(x1,y1,2) a = -6.4863 55.7627 -9.2847 >> x2=0.25:0.5:3; >> y2=-6.4863*x2.^2+55.7627*x-9.2847; ??? Error using ==> + Matrix dimensions must agree. >> x2=0.25:0.5:3; y2=-6.4863*x2.^2+55.7627*x2-9.2847; >> plot(x,y,'*',x2,y2) >> polyfit(x1,x2,3) ??? Error using ==> polyfit X and Y vectors must be the same size. >> polyfit(x1,y1,3) - - 9 ans = 2.1562 -16.9706 69.6712 -13.6200 >> y2=2.1562*x2.^3-16.9706*x2.^2+69.6712*x2-13.6200; >> plot(x,y,'*',x2,y2) >> x=[0.25,0.5,0.75,1,1.5,2.0,2.5,3,3.5,4,4.5,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16]; y=[3.75,17,28.125,41,61.5,77,85,102,101.9,102,112.5,102.5,114,122.5,112,112 .5,90,82.5,72,65,49,52.5,32]; plot(x,y,'*') >> plot(x,y) >> x1=[0.25,0.5,0.75,1,1.5,2.0,2.5,3,3.5,4]; y1=[3.75,17,28.125,41,61.5,77,85,102,101.9,102]; >> a=polyfit(x1,y1,2) a = -7.7319 59.3789 -10.9764 >> x2=0.25:0.5:4; >> y2=-7.7319*x2.^2+59.3789*x2.-10.9764; ??? y2=-7.7319*x2.^2+59.3789*x2.-10.9764; | Error: "identifier" expected, "-" found. >> x2=0.25:0.5:4; y2=-7.7319*x2.^2+59.3789*x2-10.9764; >> plot(x,y,'*',x2,y2) >> polyfit(x1,y1,3) ans = -0.2926 -5.8683 56.1772 -9.7604 >> y2=-0.2926*x2.^3-5.8683*x2.^2+56.1772*x2-9.7604; >> plot(x,y,'*',x2,y2) >> x3=[4.5,5,6,7]; >> y3=[102,102.5,114,122.5]; >> b=polyfit(x3,y3,2) b = - - 10 0.9347 -1.9849 90.9799 >> x3=4:0.5:7; >> y3=0.9347*x3.^2-1.9849*x3+90.9799; >> plot(x,y,'*',x2,y2,x3,y3) >> polyfit(x3,y3,3) ans = 0.0000 0.9347 -1.9849 90.9799 >> x4=4:0.5:7; >> y4=0.0000*x4.^3+0.9347*x4.^2-1.9849*x4+90.9799; >> plot(x,y,'*',x2,y2,x4,y4) >> x5=[7,8,9,10,11,12,13,14,15,16]; >> y5=[122.5,112,112.5,90,82.5,72,65,49,52.5,16]; >> c=polyfit(x5,y5,2) c = -0.3201 -3.4140 161.6318 >> x6=7:0.5:16; >> y6=-0.3201*x6.^2-3.4140*x6+161.6318; >> plot(x,y,'*',x2,y2,x4,y4,x6,y6) >> polyfit(x6,y6,3) ans = 0.0000 -0.3201 -3.4140 161.6318 >> x6=7:0.5:16; >> y6=0.0000*x6.^3-0.3201*x6.^2-3.4140*x6+161.6318; >> plot(x,y,'*',x2,y2,x4,y4,x6,y6) - - 11