中考数学公式

中考数学公式 中考:教你检验数学答案十一招 作者:李„ 文章来源:新闻晨报 点击数: 694 更新时间:2006-9-6 检验答案不仅能纠正错误，还能有效培养我们思维的严谨性、灵活性、深刻性。下面以数学学科为例，谈谈高考检验答案的常用方法，希望大家能及早防范。 方法一:基本概念检验法 基本概念、法则、公式是同学们复习时最容易忽视的，因此在解时极易发生概念性错误，所以，概念检验法是一种对症下药的方法。如:下列函数中，是幂函数的有几个, (1)y=2x2(2)y=x3+2(3)y=x-2(4)y=(x-1)-3 答:有三个。错了，我们先来回想一下幂函数的定义:一切形如y=xa(a?R)的函数称为幂函数。对照定义形式，仅(3)为幂函数，故只有一个。 方法二:对称原理检验法 对称的条件势必导致结论的对称(此结论通常被称为不充足理由律)，利用这种对称原理可以对答案进行快速检验。 如:因式分解，(xy+1)(x+1)(y+1)+xy=(xy-y+1)(xy+x+1)结论显然错误。左端关于x、y对称，所以右端也应关于x、y对称，正确答案应为:(xy+1)(x+1)(y+1)+xy=(xy+y+1)(xy+x+1)。 方法三:特殊情形检验法 问题的特殊情况往往比一般情况更易解决，因此通过特殊值、特例或极端状态来检验答案是非常快捷的方法，因为矛盾的普遍性寓于特殊性之中。 方法四:量纲要求检验法 有些错误的答案，从量纲中就可快速检出。如:正四棱锥的底面积为S，侧面积为Q，则体积为S(Q-S)。 这个答案显然是错误的，因为S和Q的量纲都是面积单位，则S(S-Q)的量纲是面积单位的平方而非体积单位。 正确的答案为16S(Q2-S2).. 姨量纲检验法在物理、化学中有着更为广泛的应用，同时在对记忆公式、检验错题等方面也有 一定的应用，应引起大家足够的重视。 方法五:不变量检验法某些数学问题在变化、变形过程中，其中有的量保持不变，如图形的平移、旋转、翻折时，图形的形状、大小不变，基本量也不变。利用这种变化过程中的不变量，可以直接验证某些答案的正确性。 方法六:等价关系检验法等价关系不仅广泛用于解题时的等价转换，而且在检验答案时也可收到事半功倍的效果。 方法七:整体思想检验法整体把握不仅能培养我们全局观念，养成良好的思维习惯，而且在检验答案时，通过彼此的遥相呼应、全局的和谐统一也可收到出奇制胜的效果。 方法八:逻辑推理检验法答案的正确性不仅体现在与条件之间和谐而统一，而且不会导致逻辑矛盾，还会体现出规律性和数学美。这就给我们提供了检验答案的又一条新途径。 方法九:数形结合检验法数是形的抽象概括，形是数的直观现，数形结合相得益彰。通过代数方法解出的问题，若能联想出几何背景，不妨用几何方法进行直观验证;用几何方法求出的答案，也可用代数方法进行精确验算。 方法十:一题多解检验法多种解法比一种解法更使人放心，也更容易发现存在问题。当一道题解完后，进行再思考，往往会闪出好念头，获得好方法，用新颖的方法再解后，有错则纠，无错则形成双保险。 方法十一:直截了当检验法直接检验法就是围绕原来的解题方法，针对求解的过程及相关结论进行核对、查校、验算等。为配合检查，首先应正确使用草稿纸。建议大家将草稿纸叠出格痕，按顺序演算，并标上题号，方便检查对照 初中几何公式、定理、推论总结140条 1过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理 三角形两边的和大于第三边 16 推论 三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180? 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60? 34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于60?的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30?那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a+b=c 47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a+b=c，那么这个三角形是直角三角形 48定理 四边形的内角和等于360? 49四边形的外角和等于360? n边形的内角的和等于(n-2)×180? 50多边形内角和定理 51推论 任意多边的外角和等于360? 52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等 53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等 54推论 夹在两条平行线间的平行线段相等 55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分 56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角 61矩形性质定理2 矩形的对角线相等 62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形 63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形 64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等 65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=(a×b)?2 67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形 68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等 70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的 72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分 73逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称 74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等 75等腰梯形的两条对角线相等 76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 77对角线相等的梯形是等腰梯形 78平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段 相等，那么在其他直线上截得的线段也相等 79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰 80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边 81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半 82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 L=(a+b)?2 S=L×h 83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d 84 (2)合比性质 如果a/b=c/d,那么(a?b)/b=(c?d)/d 85 (3)等比性质 如果a/b=c/d=„=m/n(b+d+„+n?0),那么 (a+c+„+m)/(b+d+„+n)=a/b 86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例 87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例 88 定理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边 89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似(ASA) 91 92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(SAS) 94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似(SSS) 95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比 98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方 99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值 100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值 101圆是定点的距离等于定长的点的集合 102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 104同圆或等圆的半径相等 105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆 106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线 107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线 108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线 109定理 不在同一直线上的三个点确定一条直线 110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 111推论1 ?平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ?弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 ?平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 114定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等 115推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等 118推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90?的圆周角所对的弦是直径 119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 120定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角 121?直线L和?O相交 d，r ?直线L和?O相切 d=r ?直线L和?O相离 d，r 122切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 123切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 126切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 127圆的外切四边形的两组对边的和相等 128弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 129推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等 130相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等 131推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 132切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 133推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上 135?两圆外离 d，R+r ?两圆外切 d=R+r ?两圆相交 R-r，d，R+r(R，r) ?两圆内切 d=R-r(R，r) ?两圆内含d，R-r(R，r) 136定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 137定理 把圆分成n(n?3): ?依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形 ?经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形 138定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 139正n边形的每个内角都等于(n-2)×180?/n 140定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形 141正n边形的面积Sn=pnrn/2 p表示正n边形的周长 142正三角形面积?3a/4 a表示边长 143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360?，因此k×(n-2)180?/n=360?化为(n-2)(k-2)=4 144弧长计算公式:L=n?R/180 ?R/360=LR/2 145扇形面积公式:S扇形=n 146内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r 常见的初中数学公式 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12 两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理 三角形两边的和大于第三边 16 推论 三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180? 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22 边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理(ASA) 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形 全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角) 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60? 34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角 所对的边也相等(等角对等边) 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论2 有一个角等于60?的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30?那么它所对的直角边等于斜边的 一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直 平分线 44 定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交， 那么交点在对称轴上 45 逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两 个图形关于这条直线对称 46 勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方， 即a^2+b^2=c^2 47 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ， 那么这个三角形是直角三角形 48 定理 四边形的内角和等于360? 49 四边形的外角和等于360? 50 多边形内角和定理 n边形的内角的和等于(n-2)×180? 51 推论 任意多边的外角和等于360? 52 平行四边形性质定理 1 平行四边形的对角相等 53 平行四边形性质定理 2 平行四边形的对边相等 54 推论 夹在两条平行线间的平行线段相等 55 平行四边形性质定理 3 平行四边形的对角线互相平分 56 平行四边形判定定理 1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 57 平行四边形判定定理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 58 平行四边形判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 59 平行四边形判定定理 4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 60 矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直角 61 矩形性质定理 2 矩形的对角线相等 62 矩形判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形 63 矩形判定定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形 64 菱形性质定理 1 菱形的四条边都相等 65 菱形性质定理 2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 66 菱形面积=对角线乘积的一半，即 S=(a×b)?2 67 菱形判定定理 1 四边都相等的四边形是菱形 68 菱形判定定理 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 69 正方形性质定理 1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等 70 正方形性质定理 2 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每 条对角线平分一组对角 71 定理1 关于中心对称的两个图形是全等的 72 定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被 对称中心平分 73 逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分， 那么这两个图形关于这一点对称 74 等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等 75 等腰梯形的两条对角线相等 76 等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 77 对角线相等的梯形是等腰梯形 78 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等， 那么在其他直线上截得的线段也相等 79 推论 1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰 80 推论 2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边 81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半 82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 L=(a+b)?2 S=L×h 83 (1)比例的基本性质 如果 a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d 84 (2)合比性质 如果 a,b=c,d,那么(a?b),b=(c?d),d 85 (3)等比性质 如果 a,b=c,d=…=m,n(b+d+…+n?0),那么(a+c+…+m) ,(b+d+…+n)=a,b 86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成 比例 87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得 的应线段成比例 88 定理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线 段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边 89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的 三边与原三角形三边对应成比例 90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交， 所构成的三角形与原三角形相似 91 相似三角形判定定理 1 两角对应相等，两三角形相似(ASA) 92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 93 判定定理 2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(SAS) 94 判定定理 3 三边对应成比例，两三角形相似(SSS) 95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的 斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 96 性质定理 1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的 比都等于相似比 97 性质定理 2 相似三角形周长的比等于相似比 98 性质定理 3 相似三角形面积的比等于相似比的平方 99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的 余角的正弦值 100 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的 余角的正切值 101 圆是定点的距离等于定长的点的集合 102 圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 103 圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 104 同圆或等圆的半径相等 105 到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆 106 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线 107 到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线 108 到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等 的一条直线 109 定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。 110 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 111 推论 1 ?平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ?弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 ?平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 112 推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 113 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 114 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等， 所对的弦的弦心距相等 115 推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦 心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 116 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 117 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角 所对的弧也相等 118 推论 2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90? 的圆周角所对的弦 是直径 119 推论 3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是 直角三角形 120 定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对 角 121 ?直线L和?O相交 d,r ?直线L和?O相切 d=r ?直线L和?O相离 d,r 122 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切 线 123 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 124 推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 125 推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 126 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和 这一点的连线平分两条切线的夹角 127 圆的外切四边形的两组对边的和相等 128 弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 129 推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等 130 相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等 131 推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线 段的比例中项 132 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆 交点的两条线段长的比例中项 133 推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两 条线段长的积相等 134 如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上 135 ?两圆外离 d,R+r ?两圆外切 d=R+r ?两圆相交 R-r,d,R+r(R,r) ?两圆内切 d=R-r(R,r) ?两圆内含d,R-r(R,r) 136 定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 137 定理 把圆分成n(n?3): ?依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形 ?经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆 的外切正n边形 138 定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 139 正n边形的每个内角都等于(n-2)×180?,n 140 定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形 141 正n边形的面积Sn=pnrn,2 p表示正n边形的周长 142 正三角形面积 ?3a,4 a表示边长 143 如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360?，因 此k×(n-2)180?,n=360?化为(n-2)(k-2)=4 144 弧长计算公式:L=n兀R,180 145 扇形面积公式:S扇形=n兀R^2,360=LR,2 146 内公切线长=d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r) 实用工具:常用数学公式 公式分类 公式表达式 乘法与因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三角不等式 |a+b|?|a|+|b| |a-b|?|a|+|b| |a|?b<=>-b?a?b |a-b|?|a|-|b| -|a|?a?|a| 一元二次方程的解 -b+?(b2-4ac)/2a -b-?(b2-4ac)/2a 根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注:韦达定理 判别式 b2-4ac=0 注:方程有两个相等的实根 b2-4ac>0 注:方程有两个不等的实根 b2-4ac<0 注:方程没有实根，有共轭复数根 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式 sin(A/2)=?((1-cosA)/2) sin(A/2)=-?((1-cosA)/2) cos(A/2)=?((1+cosA)/2) cos(A/2)=-?((1+cosA)/2) tan(A/2)=?((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-?((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=?((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-?((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB - ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB 某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注:其中R表示三角形的外接圆半径 余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注:角B是边a和边c的夹角 圆的方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注: (a,b)是圆心坐标 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注: D2+E2-4F>0 抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h 正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h' 圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2 圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l 弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r>0 扇形公式 s=1/2*l*r 锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h 斜棱柱体积 V=S'L 注:其中,S'是直截面面积， L是侧棱长 柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h 犹太人关于思维的智慧 一磅铜的价格是多少 在聪颖、精明的犹太人眼里，任何东西都是有价的，都能失而复得，只有智慧才是人生无价的财富，它引导人通向成功，而且永不会贫穷(犹太人相信:闪光的智慧带来财富;有了智慧就有了财富(致富不能盲目行事，要靠智慧加适当的变通( 多年以前，在奥斯维辛集中营里，一个犹太人对他的儿子说:“现在我们唯一的财富就是智慧，当别人说一加一等于二的时候，你应该想到大于二(”纳粹在奥斯维辛毒死了几十万人，父子俩却活了下来( 1946年，他们来到美国，在休斯敦做铜器生意(一天，父亲问儿子:“一磅铜的价格是多少,”儿子答道:“35美分(”父亲说:“对，整个得克萨斯州都知道每磅铜的价格是35美分，但作为犹太人的儿子，应该说3 5美元(你试着把一磅铜做成门把看看(” 20年后，父亲死了，儿子独自经营铜器店(他做过铜鼓，做过瑞士钟表上的簧片，做过奥运会的奖牌(他曾把一磅铜卖到3500美元，这时他已是麦考尔公司的董事长(然而，真正使他扬名的，是纽约州的一堆垃圾( 1974年，美国政府为清理给自由女神像翻新扔下的废料，向社会广泛招标(但好几个月过去了，没人应标(正在法国旅行的他听说后，立即飞往纽约，看过自由女神下堆积如山的铜块、螺丝和木料后，未提任何条件，当即就签了字( 纽约许多运输公司对他的这一愚蠢举动暗自发笑(因为在纽约州，垃圾处理有严格， 弄不好会受到环保组织的起诉(就在一些人要看这个犹太人的笑话时，他开始组织工人对废料进行分类(他让人把废铜熔化，铸成小自由女神;把水泥块和木头加工成底座;把废铅、废铝做成纽约广场的钥匙(最后，他甚至把从自由女神身上扫下的灰包装起来，出售给花店(不到3个月的时间，他让这堆废料变成了350万美元现金，每磅铜的价格整整翻了1万倍( 生在犹太家庭里的孩子在他们的成长过程中，负责启蒙教育的母亲们几乎都要求他们回答一个问题:“假如有一天你的房子被烧了，你的财产就要被人抢光，那么你将带着什么东西逃命,”孩子们少不更事，天真无知，自然会想到钱这个好东西，因为没有钱哪能有吃的穿的玩的(也有孩子说要带着钻石或者其他珍宝出逃，有了它，还愁缺啥(可这些显然不是母亲们所要的答案(她们会进一步问:“有一种没有形状、没有颜色、没有气味的宝贝，你知道是什么吗,”要是孩子们回答不出来，母亲就会说:“孩子，你要带走的不是钱，也不是钻石，而是智慧(因为智慧是任何人都抢不走的(你只要活着，智慧就永远跟着你(” 任何东西都是有价的;但只有智慧才是人生无价的财富，它引导人通向成功，而且永不会贫穷( 只靠勤奋发不了财 犹太人的生存之法之一是培养勤勉的习惯(在犹太人的家庭里，犹太人的父母很注意培养他们子女的这种勤勉精神(犹太人认为对于勤劳的人，造物主总是给他最高的荣誉和奖赏，而那些懒惰的人，造物主不会给他们任何礼物(但是，犹太人同时还认同《塔木德》中这样的教诲:“仅仅知道不停地干活显然是不够的(” 很多成功的犹太人，对成功的要素的理解和我们普通人是不同的(我们不妨探讨一下他们的解释，从以下曾经可能被当成是我们常识的这类话题开始，它们常常被我们认为是一个人之所以能够成功、自己不如他们的地方(从而了解他们是如何透过我们日常看得见、很普通的行为方式里面，奇迹般地发挥杠杆效应，由此，取得了超越个人能力多倍的成就( 犹太人相信，成功的企业家不是因为他们比平常人更加勤奋，才有今天的成就;虽然，勤奋也曾经是他们努力的一部分，但并不是他们能够成功的根本原因(因为，一个人即使再勤奋，也担当不了多少的工作量(当你看见他们过于勤奋的话，如果不是他们正处于起步阶段，恐怕就是他们正在走下坡路的时候了( 企业家不需要依靠个人的勤奋来争取企业的成功，关键在于他是否有能力让他的下属更加勤奋(所以，他们的心思主要是放在如何将手上的资源最充分地加以利用，而不是对自己最充分地加以利用，这是企业家同劳动者的根本区别所在( 当然，犹太人相信，勤劳是一个人成功的必要条件(任何时候，勤劳都是必要的(但是，无论在过去还是现在，勤奋的人的结局却会非常悬殊:有的腰缠万贯、身价不俗;有的则面临失业、生计无着～ 一位下属在喝醉的时候曾经这样自嘲地对犹太老板说:“讲到勤奋，你不如我;论成功，我根本不敢和你比～这是为什么呢,”老板听了，露出一脸的愕然，然后说道:“为什么你们会以为我应该比你们更加勤奋呢,为什么我非要比你们勤奋才能赚钱呢,我从来没有想过自己的钱是靠勤奋赚来的(尽管我也曾经勤奋过，那已经是在很多年以前的事了，那时候，我替自己的老板工作(在那个年代，我比你们要勤奋、刻苦得多，却没有你们现在所挣的多(在这个社会，大部分的人都勤奋，但不是大部分的人都能够发财～靠勤奋发不了财～” 下属诧异地问道:“发财不是靠勤奋，那靠什么呢,” 老板调侃着说:“既然大家都那么勤奋，难道缺我一个，地球就不转了吗,我的长处，是提供让别人有机会勤奋的工作职位，而不是我要比他们更加勤奋～” 我们有理由相信，勤奋只是成功的其中一个原因，甚至只是人的一种品德，却肯定不是他们取得成功的条件( 人类智慧的进步，让我们有可能既过得舒适，同时又能够享受富足的生活，不再依靠沉重的劳动强度，这要归功于建立在这种智慧基础上的技术和效率，令我们付出越来越少的劳动，却能够获得越来越多的工业产品，而它也正是经营者为我们带来的最大一份贡献～现实早已经证明了这个真理，我们并不比自己的祖先勤劳得多，但我们现在的生活水平却是他们远远不能相比的～这要归功于什么呢,显然，勤劳并不是唯一的原因，经营这种有别于一般性劳动的行为，为我们解开了其中的疑问，它也是我要为经营歌功颂德的理由( 与其默默无闻地埋头苦干，不如多动些脑子～ 独特的眼光比知识更重要 《塔木德》中说:“独特的眼光比知识更重要(” 美国一所著名学院的院长，继承了一大块贫瘠的土地(这块土地，没有具有商业价值的木材，没有矿产或其他贵重的附属物，因此，这块土地不但不能为他带来任何收入，反而成为支出的一项来源，因为他必须支付土地税( 州政府建造了一条公路从这块土地上经过(一位“未受教育”的人刚好开车经过，看到了这块贫瘠的土地正好位于一处山顶，可以观赏四周连绵几公里长的美丽景色(他(这个没有知识的人)同时还注意到，这块土地上长满了一层小松树及其他树苗(他以每亩10美元的价格，买下了这块50亩的荒地(在靠近公路的地方，他盖建了一间独特的木造房屋，并附设一间很大的餐厅，在房子附近又建了一处加油站(他又在公路沿线建造了十几间单人木头房屋，以每人每晚3元的价格出租给游客(餐厅、加油站及木头房屋，使他在第一年净赚1 5万美元( 第二年，他又大事扩张，增建了另外50栋木屋，每一栋木屋有3间房间(他现在把这 些房子出租给附近城市的居民们，作为避暑别墅，租金为每季度150美元( 而这些木屋的建筑根本不必花他一毛钱，因为这些木材就长在他的土地上(那位学院院长却认为这块土地毫无价值)( 还有，这些木屋独特的外表正好成为他的扩建计划的最佳广告(一般人如果用如此原始的材料建造房屋，很可能被认为是疯子( 故事还没有结束，在距离这些木屋不到5公里处，这个人又买下了占地150亩的一处古老而荒废的农场，每亩价格25美元，而卖主则相信这个价格是最高的了( 这个人马上建造了一座100米长的水坝，把一条小溪的流水引进一个占地15亩的湖泊，在湖中放养许多鱼，然后把这个农场以建房的价格出售给那些想在湖边避暑的人(这样简单的一转手，使他共赚进了25万美元，而且只花了一个夏季的时间( 正是这个有远见及想象力的人，却未受过正规的“教育”( 且让我们牢记这项事实:只要能运用各种知识，立即可以变得有教养及有权势( 在提到上面所叙述的那段故事时，那位以500美元的价格售出50亩“没有价值”土地的学院院长说:“想想看，我们大部分人也许都会认为那人没有知识，但他把他的无知和50亩荒地混合在一起之后，所获得的年收益，却远超过我靠所谓的教育方式所赚取的5年总收入(” 知识固然重要，但是，如果没有胆识和魄力的话，你的知识就不能发挥出最大的作用( 金钱和智慧两者中，智慧比金钱重要，因为智慧是能赚到钱的智慧，也就是说，能赚钱 方为真智慧( 红光是红玻璃映出来的 纽约电话公司的总经理麦卡罗因小时被人开过一次最大的玩笑，才醒悟过来的(那时他是一个幼稚的野孩子(他那种非常易于受欺骗的情形几乎远近驰名(他只知靠别人而且绝对地依赖别人，所以他自己毫不费力思索(他那时是在火车站的车道上做各种零碎的工作( 一个7月大热天的下午，位于山岩与河流之间的西岸车站热得就好像锅炉一样(有一个名叫比尔哥林斯的工头，叫麦卡罗去拿一点“红油”以备红灯之用(他说“红油”是在离那儿1里远的圆房子里，麦卡罗很恭敬地听了工头的话，便一心朝着那个方向走去，以便完成他的任务(到了圆房子里，他就向那里的人要“红油”( “红油,”那里的职员十分奇怪地问，“做什么用的呢,” “点灯用的(”麦卡罗解释说( “啊，我知道了(”那个职员心中明白了，“红油是在过去那个圆房子的油池里(”他说道( 于是麦卡罗又在那滚烫的焦煤碴上走了1里之远(那里的人告诉他“红油”并不在那里，而且不知道究竟是在哪里，最好到站长的办公室里去问问(于是麦卡罗又抬起脚走了(因此，在火热的太阳下，他就这么走来走去地走了一个下午(最后他着急了，便跑去问一个年老的工程师，这个慈祥的老工程师很怜悯地望着他说:“孩子呀～你不知道那红光是红玻璃映出来的吗,你现在回到工头那里去和他理论吧～” 那个工头不晓得他是和将来纽约电话公司的总经理开玩笑，也不晓得这孩子将来手下所用的职工有6万人之多(麦卡罗得到这次教训后，就发誓以后绝不像呆子般被人玩弄了还不 知道(他决心将来做事要眼睛耳朵打开些，而且脑袋瓜也不再只是用来戴帽子的( 不肯动脑的人就只能听命于别人(脑袋是用来思索的，不是用来戴帽子的(你不能仅仅依靠别人的话就采取行动，要用自己的脑子思索～