离散曲面上的单位法向量与平均曲率的计算

离散曲面上的单位法向量与平均曲率的计算 离散曲面上的单位法向量与平均曲率的计 算 第3O卷第l期河北理工大学学报(自然科学版)Vo1.30No.1 2008年2月JournalofHebeiPolytechnicUniversity(NaturalScienceEdition)Feb.2008 文章编号:1674一o262(2008)O1—0104—03 离散曲面上的单位法向量与平均曲率的计算 阎少宏,孙丽萍,纪楠,杨爱民 0引言 1三角网格上的单位法向量.. ,MVSV2i 一.一般的,三角网格通常可由如下的一对线性表表_.j=\\.示,={,},={I??n}为顶点周\llf\.S:{ee:一,2??n}为顶点周围的所..,k一. _e__二一二 而对于顶点,处的单位法向量,文献[1]和[2]中给出了两种方法,分别如下: 收槁日期:2006—08—24 基金项目:河北理工大学校科研基金项[j;200628) 第1期阎少宏,等:离散曲面上的单位法向量与平均曲率的计算105 在文献[1]中,作者利用了顶点秽周围的三角形面积作为权来对各面 上的单位法向量n进行加权 平均,其公式如下: ?A11 n l ?一’nl ?A 但是考虑到相同面积的三角形可能其形状差别很 大,所以在文献[2]中作者引入了夹角和面积共同 作为权来对各面上的单位法向量ni进行加权平均, 其公式如下:. Aia~ni n /”~V lt A. ll”? J?-. 1l 针对三角网格,.上述的定义已经很好了,这一点 文献[2]用图例的形式给出了证明.不过,由于在 公式(3)中用到了三角形的面积,这对未来的扩展 明显是不利的,例如针对一般的离散曲面,就很难获 得任意顶点周围的各个多边形的面积.如下图所示. 圈2离散曲面上任意顶点vi处的邻域情况 (2) 图2中顶点周围的各个小四边形为一般的三角形,空间四边形或五边形等等,从而各个多边形的面积 一 般是很难直接计算的. 为了定义一般离散曲面上任意顶点处的单位法向量,对公式(3)进行了如下的改进. 首先,针对三角网格,为了定义三角网格上任意顶点处的单位法向量,需要尽量的展现出三角形三个 顶点的位置关系,并突出顶点的作用,而且还需要考虑到定义的可扩展性,我们利用三角形的重心到顶点 的距离和夹角共同作为权来对各面上的单位法向量/’t进行加权平均,其公式如下: n B?”““ 其中B为三角形s上的重心到顶点秽的距离,图2中0秽-plI即为顶点到重心的距离. 2离散曲面上的单位法向量和平均曲率 针对一般的离散曲面,对公式(4)进行如下扩展. ?Bn11 n=?—一,n= ?B (4) (5) 如图2所示,其中B为顶点秽周围的任意多边形上的重心到顶点秽 的距离,为向量e与e间的 夹角,/’t=为各面上的单位法向量. 从而,利用公式(5)和古典微分几何中的经典公式=一,可得离散法曲 率如下: 0r’Or 一 等?一『二) 其中n为顶点周围顶点的单位法向量. 106河北理工大学学报(自然科学版)第3O卷 进一步的,考虑古典微分几何中的平均曲率公式 1仃上(a)da 有如下的离散平均曲率的公式: H-…) 其中为向量e与e问的夹角. 3离散曲面上单位法向量的计算? (7) (8) 以离散参数曲线网[3]为例,研究一般离散曲面上任意顶点处的单位法向量.考虑球面参数方程 r(x,Y)=(eos(x)cos(y),COS()sin(),),sin(x))(9) 利用…定的技术手段,对其进干于离敞化,从而获得该曲面上的部分点并且互相连接转化为离散参数曲 线网,并对所得数据点进行了随机扰动. 为了更好的展示定义(5)的合理性和优越性,我们!:较了扰动后所得的离散曲面上任意顶点处的单 位法向量与真实球面上的单位法向量,如图3所示. 图3 图3左图,球面经过随机扰动后所形成的离散参数 曲线网和其上的两种法向量的比较.右图,扰动后球面 上顶点处的离散单位法向量与对应球面顶点处的真实单 位法向量的比较. 4离散曲面上的平均曲率 仍以离散参数曲线网为例,研究一般离散曲面上任 意顶点处的平均曲率.考虑螺面(为极小曲面,== 0)参数方程 r(,,)=(ycos(),ysin(),3x)(10) 同样的,对其离散化产生离散参数曲线,为了更 好的表明公式(8)在离散曲面研究中的合理性,比较 了由螺面产生的离散参数曲线网』任意顶点处的离散平 均曲率和螺面(10)上的真实平均曲率,如图4昕示.图4螺哂上的离散平均曲率与真实乎均曲率的比较 通过图3和图4.我们不难发现,公式(5)和公式(8)很好的反映_r真实曲面的情况.特别是利用 公式(8)所获得的离散平均f}}i率与真实平均}抖i率相差很小,达到了l的数量级.从而表明我们的方 法能达到很好的结果,基本上能很真实的反映一个离散参数曲线网}:各个腆点处的单位汝向量和平均曲率 值..(下转第109页) 第1期杨爱民,等:求解三对角方程组的并行追赶算法109 从表1中可以看出设计的求解三对角方程组的并行分段追赶算法在机群环境下,当P=2,P=4时获 得了很好的加速比和效率;同时发现当凡固定,P=K,K增大时,算法的加速比也应该随之增大,但实 验中K=4时的效率与K=2时的效率相比较,反而有所降低,这是因为增大时,传输的数据量增大, 而计算的通信开销增大引起的,这也符合理论分析. 4结论 本文通过分析影响并行效率的主要因素,根据分治思想提出一种求 解三对角方程组的分段追赶并行算 法,该算法减少了通信次数及总数据传输量,充分利用了计算与通信 的重叠,是一种求解三对角方程组的 行之有效的并行算法,其通信结构简单,易扩展至一般带状线性方程 组的并行求解,并且通过实验结果表 明该并行算法适合于分布式的机群系统. 参考文献: [1]杨爱民.并行GMRES(m)算法及其在三维弹性边界元中的应用[D]. 燕山大学,2004:52-62. [2]尹欣.三维弹性问题边界元法并行计算及其工程应用[D].清华大 学,2000:1-30. [3]杨爱民.陈一鸣.MP1并行编程环境及程序设计研究[J].河北理工 大学学报,2005(1):94-9’8. [4]llliamsGFoxR,MessinaP.ParallelComputingWorks!MorganKaufman,1994. [5]LiuChun?feng,Y,mgAi—min.TheParallelAlgorithmofQRDecompositionofMatrixinClusterSystem.WorldAcademicPress,20O6:107 TheResearchontheParallelPursuantMethodtoSolveTrinal-anglesLinearSystemEquations rANGAi-min,rANShao-hong,XIAGuo—kun,PENGYa-mian (CollegeofScience,HebeiTechnologyUniversity,TangshanHebei063000, China) Keywords:trinal—angles;linearsystemequations;parallelpursuantmethod;clustersystem Abstract:Inthispaper,throughanalyzingthemaininfhientialcharactersofalgorithmicparallelefficiencythe parallelpursuantmethodtosolvetrinal—angleslinearsystemequationsisras edonthebasisoftheseparationtheory ofthesegmentationstrategy.AndthenwhenbeingputintopracticebasedODMPIinclustersystemtocompare speed—upratioandefficiencyofparallelmethodwithoriginalserialmethod,thisresultshowsthatthemethodhas highercalculationefficiency. (上接第106页) 参考文献: [1]GTaubin.Estimatingthetensorofcurvatureofasurfacefromapolyhedralapproximation[C].In:WELGfimsoned.ProceedingsoftheFifth InternationalConferenceonComputerVision,LosAlamitos:IEEEComputerSocietyPress,1995:902~07. [2]神会存,李建华,周来水.三角网格模型顶点法矢与离散曲率计算 [J].计算机工程与应用,2005,41’(26):12.15. DefinitionandComparisonofNormalUnitVectoronDiscreteSurface rANShao—hong,SUNLi,ping,JINan,rANGAi.min (1.CollegeofScience,HebeiPolytechnicUniversit)r,TangshanHebei063009,China; 2.ZhengzhouUniversityofLightIndustry,ZhengzhouHenan450002,China) Keywords:discretesurface;barycenter;discretenolnmalunitvector;discretemeangeometry Abstract:Inthispapel’,usingbaryeenterandangleofrandomvertexundiscretesurface,anewdefinitionofnor malunitveetorisgiven.Andthen.】 newdefinitionofdiscretemeancurvatureisdefined.Atfirst.wecomparethe resultwithotherdefinitions()ndiscferesurfaces.AndtiIel1.weillustratethevalidityandsupe~’iorityofthisdefinition bynumericalexperiments.