求曲线的轨迹方程

求曲线的轨迹方程 (一)知识教学点 使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法． (二)能力训练点 通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养学生综合运用各方面知识的 能力． (三)学科渗透点 通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍，使学生掌握常用动点的轨迹，为学习物 理等学科打下扎实的基础． 1．重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法． (解决办法：对每种方法用例题加以说明，使学生掌握这种方法．) 2．难点：用交轨法求动点的轨迹方法． (解决办法：先使学生了解交轨法的思路，再用例题进行讲解．) 提问、讲解方法、演板、小测验． (一)复习引入 大家知道，平面解析几何研究的主要问题是： (1)根据已知条件，求出示平面曲线的方程； (2)通过方程，研究平面曲线的性质． 第 1 页 共 7 页 我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在 上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分 析． (二)几种常见求轨迹方程的方法 1．直接法 由题设所给(或通过图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列 出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法． 222x，y,r例1(1)求和定圆的圆周的距离等于r的动点P的轨迹方程； 222x，y,r(2)过点A(a，0)作圆O? (a＞r＞0)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹． 对(1)分析： 动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2r或|OP|=0． 解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2r或|OP|=0． 22222x，y,4rx，y,0即或． 22222x，y,4rx，y,0故所求动点P的轨迹方程为或． 对(2)分析： 题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出， 即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．由学生演板完成，解答为： 设弦的中点为M(x，y)，连结OM， 则OM?AM． ?kOM?kAM=-1， 第 2 页 共 7 页 其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点)． 2．定义法 利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的 动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离 之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件． 直平分线l交半径OQ于点P(见图2－45)，当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程． 分析： ?点P在AQ的垂直平分线上， ?|PQ|=|PA|． 又P在半径OQ上． ?|PO|+|PQ|=R，即|PO|+|PA|=R． 故P点到两定点距离之和是定值，可用椭圆定义 写出P点的轨迹方程． 解：连接PA ?l?PQ，?|PA|=|PQ|． 又P在半径OQ上． 第 3 页 共 7 页 ?|PO|+|PQ|=2． 由椭圆定义可知：P点轨迹是以O、A为焦点的椭圆． 3．相关点法 yy若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x，)的变动而变动，且x、可用x、0000y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程．这种方法称为相关点法(或坐标转移法)． 2y例3 已知抛物线=x+1，定点A(3，1)、B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP?PA=1?2，当B点在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程． 分析：P点运动的原因是B点在抛物线上运动，因此B可作为相关点，应先找出点P与点B的联系． y解：设点P(x，y)，且设点B(x，) 00 ?BP?PA=1?2，且P为线段AB的内分点． 第 4 页 共 7 页 4．点差法与参数法 求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求． 2x2，,y1例4 过点M(1,0)作椭圆的弦，求弦的中点的轨迹方程。 4 解：（点差法）设弦的两端点为A,B.中点P.则 xy,xy,xy,，，，，，，1122 22xx2212，,y1，,y1，。两式作差可得1244 xxxx,，，，，，xy1212，,，,yyyy0，？，,yK0。又KK,, ，，，，1212ABABPM44x,1 xy22xyx，,,40？，,y0化简得点P的轨迹方程为。 41x, （参数法）设弦的两端点为A,B.中点P。又设弦的方程xy,xy,xy,，，，，，，1122 2222ykx,,(1)为代入椭圆方程得。则有 148410，,，,,kxkxk，，，， 第 5 页 共 7 页 228k41k,xx，,xy,,,。可得。消去参数k,可得点P的轨迹1222214，k1414，，kk 22xyx，,,40方程为 5．交轨法（引入参数，寻找动点的诸个方程，直接消参得方程） ‘‘‘例5．已知线段，直线L垂直平分，交于O，在属于l并且BB,4BBBB ‘,op,op,,以O为起点的同一条射线上取两点P、，使=9。求直线BP与直线PBP 的交点M的轨迹。 ‘解：以O为原点，l为X轴建系，依题意可知B（0，2），（0，-2），B 9,又可设P（a，0），。由直线两点式方程，得BP：2x+ay-2a=0 ? P（，0）a 22,,4x，9y,36（x,0）：2ax-9y-18=0 ?。由?解出a，代入?可得。 BP ‘故点M的轨迹是一椭圆，不含B、。 B (三)巩固练习。 1．?ABC一边的两个端点是B(0，6)和C(0，-6)，另两边斜率的 （直接法） 2．点P与一定点F(2，0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1?2，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？（定义法） 2y3．求抛物线=2px(p＞0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程．（相关点 法） 4．在?ABC中，BC=24，AC、BC边上两条中线之和为39，求?ABC的 重心的轨迹。（定义法） 5．动点P到点F1(1，0)的距离比它到F2(3，0)的距离少2，求P点的轨迹． （定义法） 第 6 页 共 7 页 226．已知圆+y=4上有定点A(2，0)，过定点A作弦AB，并延长到点P，x 使3|AB|=2|AB|，求动点P的轨迹方程．（相关点法） 7.垂直于椭圆长轴的弦的两个端点分别与椭圆长轴的两个顶点相连，求所得 直线的交点的轨迹方程。（交轨法） 18．求经过点M（1，2），以Y轴为准线，离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方2 程。（定义法） 豆丁致力于构建全球领先的文档发布与销售平台，面向世界范围提供便捷、安全、专业、有效 的文档营销服务。包括中国、日本、韩国、北美、欧洲等在内的豆丁全球分站，将面向全球各地 的文档拥有者和代理商提供服务，帮助他们把文档发行到世界的每一个角落。豆丁正在全球各地 建立便捷、安全、高效的支付与兑换渠道，为每一位用户提供优质的文档交易和账务服务。 第 7 页 共 7 页