求双曲线的标准方程

求双曲线的标准方程 求双曲线的标准方程 一(例题选讲 题型1:化归为定义求双曲线的标准方程 PMPN,,2【例1】(08重庆文21)M(-2，0)和N(2，0)是平面上的两点，动点P满足， 求点P的轨迹方程; 解:由双曲线的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长2a=2的双曲线， 因此半焦距=2，实半轴=1，从而虚半轴=, cab3 2y2x,,1 所以双曲线的方程为 3 变式1:平面内动点P到定点的距离比它到定点的距离大6，求动点P的轨迹方程。 F(,4,0)F(4,0)1222xy,,,1(0)x解: 98 2222新疆王新敞奎屯变式2:求与圆及都外切的动圆圆心的轨迹方程 (x,3)，y,1(x，3)，y,9 2y2xx,,,1(1)解: 8 题型2:待定系数求求双曲线的标准方程 新疆王新敞奎屯【例2】求经过点和，焦点在y轴上的双曲线的标准方程 P(,3,27)Q(,62,,7) 22yx,,1解: 257522变式1:求过点(2，-2)且与双曲线x-2y=2有公共渐近线的双曲线方程( 22yx,,1解: 24 A(1,3),变式2:求经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程( 22yx,,1解: 88 题型3:利用几何性质求双曲线的标准方程 22xy,,,,1(0,0)ab【例3】(2010天津理)已知双曲线的一条渐近线方程是y=, 3x22ab 2 它的一个焦点在抛物线的准线上，求双曲线的方程。 yx,24 b,,3,a22,xy22,,1解:依题意知，所以双曲线的方程为 cab,,,,69,27,927,222，cab,, , 22xy,,,,1(0,0)ab变式1:(2010天津文)已知双曲线的一条渐近线方程是yx,3， 22ab 1 2 它的一个焦点与抛物线的焦点相同，求双曲线的方程。 yx,16 b解:由渐近线方程可知 ? ,3a 因为抛物线的焦点为(4，0)，所以c=4 ? 222cab,， 又 ? 22xy22,,1 联立???，解得，所以双曲线的方程为 ab,,4,12412 5e,变式2:(2010重庆理21)已知以原点为中心，为右焦点的双曲线的离心率. OCF(5,0)2 求双曲线的标准方程及其渐近线方程; C 2x12解:,y,1,y,,x 42 2xy22变式3:(2010山东理21)已知椭圆，,1(0)ab,,的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆 2ab22 的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点， FF,4(21)，12 求椭圆和双曲线的标准方程。 2c解:由题意知，椭圆离心率为，得，又，所以可解得，， 22ac，,c,24(21)，,ac,2a,222a 22xy222bac,,,4，,1,2所以，所以椭圆的标准方程为;所以椭圆的焦点坐标为(，0)， 84 22xy,,1因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为。 44题型4:直接法求双曲线的标准方程 4(5,0),(5,0)【例4】点AB,的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们斜率之积是， AMBMM9 试求点M的轨迹方程式，并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状( 22xy,,,,1(5)x解: 10025 9 二(巩固训练 1.根据下列条件求双曲线的标准方程 (1)实轴的长为8，虚轴的长为6，焦点在y轴; M(2,4), (2)离心率为，经过点, 2 yx,,2 (3)一条渐近线方程是，且经过(1，3)， 2 (4)渐进线方程为，实轴长为6 yx,,3 (4,0),2.(全国1文理)已知双曲线的离心率为2，焦点是，，则双曲线方程为( ) (4,0) 22222222xyxyxyxy,,1,,1,,1,,1A( B( C( D( 412124106610 22xy2(4,0),b,12,,1解(已知双曲线的离心率为2，焦点是，，则c=4，a=2，，双曲线方程为 (4,0)412 13.已知渐近线方程的双曲线经过点，则双曲线的方程是( ) (，)43yx,,2 2 2222yyxx2222A(,,x1 B(x,,1 C(y,,1 D(,,y1 4444 22xy3,,,,1(0,0)ab4.(江西文14)已知双曲线的两条渐近线方程为yx,,， 223ab 若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ( 22xy3解: ,,144 5.以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为2的双曲线方程是( ) 2222(A) (B) x,y,2y,x,2 22222222(C)或 (D)或 x,y,4y,x,4x,y,2y,x,2解:D 226.(08山东文13)已知圆(以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点Cxyxy:6480，,,，, 和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 ( 22解: 本小题主要考查圆、双曲线的性质。圆 Cxyxy:6480，,,，, 2得圆与坐标轴的交点分别为 Cyxx,,,，,0680,(20),，(40),， 22xy2,,1则所以双曲线的标准方程为 acb,,,2,4,12,412 22xyCab:1(0,0),,,,7.(08湖北文20)已知双曲线的两个焦点为的FFP(2,0),(2,0),(3,7),点1222ab 曲线C上，求双曲线C的方程; 22xy222,,1解:(依题意，由a+b=4，得双曲线方程为(0,a,4)， 22a4,a 9722将点(3，)代入上式，得.解得a=18(舍去)或a,2， 7,,122a4,a 22xy,,1.故所求双曲线方程为或根据双曲线定义去解，，解得a ||||2PFPFa,,1222 8.(天津理21文22)已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是， ，，F,3,01 一条渐近线的方程是，求双曲线C的方程; 5x,2y,0 22xyab,,0,0,,1C解:设双曲线的方程为()( 22ab 22,ab，,9222,a,4xy,,,,1 由题设得，解得，所以双曲线方程为( ,,b5245b,5,,,,a2, 3