Banach空间中余弦算子函数生成元的有界性

Banach空间中余弦算子函数生成元的有界性 Banach空间中余弦算子函数生成元的有界 性 第4卷第1期 20D2年3月 应用泛函分析 ACTAANALYSISFUNCTIONAIISAPPLICATA VoI.4No.1 March,2002 文章编号:1009—1327(2OO2)O1—0093—04 Banach空间中余弦算子函数生成元的有界性 姚景齐 (中国科学院数学研究所,北京1OOO8O) 摘要:A是Banach空间x中余弦算子函数C(f) 了.对每个fEc([O.r,];x),连续函数 ,o)=『50J0 t?R,和正弦算子函数5(),t?R.的生成元.本文证明 s)f(s)ds,t?[O,r,] 是二阶非齐敬O初值问题"且"+,的强解曲充要条件是:A是空问x中的有界算子 关譬词;有界算子;余弦算子函数:二阶非齐次初值问题 中围分类号o177.2 (X;?)是Banach空间.x中的强连续算子族{C(f);t?R)称为余弦算子函数,如果它满 足: C"+)+C(f—)一2C")C0),Vt,s?R,C(0)一I, 以及C(f)?Me,Vt?R 余弦算子函数的生成元A—C(O),它的定义域D(J4)一{?X;C(?)?C(R;X)).算子所 生成的正弦算子函数{S(f);t?R}则定义成: ^ S")lz—IC0)xds,t?R,?X JO 如同C.半群是和一阶Cauchy问题"=Au相关联的一样.余弦算子函数和二阶Cauchy问题密 切相关联:设算子一生成余弦算子函数{c");,?.划('auchy问题"=Au,"(0)=".?D(), "(O)一"?D.2(A)一{?X;c(?)?C(R;X))的唯一解"?C(R;X)NC(R,D(A),可以表示成 "(,):C(t)Uo+S()". 关于余弦算子函数,可参见[1],[2]_ 本文考虑空间X中如下的二阶非齐次问题: 一f)+,"?Eo,71],,?CCEO,71]?, "(0)一".?D(),"(0)一"】?Dl,2(J4)(1) 其中J4是余弦算子函数{C(f);t?R)的生成元. 函数":[0,丁]斗x称作是(1)的强解,如果它在E0,丁]上二次连续可微,"(f)?D()一V0?f? 71,并满足(1).这时"可以唯一地表示成一: ^ "(f)一C(t)u.+S")+lS"一s)f(s)ds,0?t?T(2) 然而对于任意的,?CC[0,71];x),由(2)给出的连续函数却并不一定就是问题(1)的强解. 本文给出了下面的结果: 定理设{c(f);tER)和{S(f);?R)分别是Banach空问X中由算子A生成的余弦算子函数和 收稿日期:21)02—09—03 基金项目国家自然科学基金(10071088) 应用泛函分析第4卷 正弦算子函数.对每个?D(A),"?D.:(n)和,?c([O.了1];X).由(2)给出的连续函数"是问题 (1)的强解的充要条件是:是空间中的有界算子 为证明此定理,先给出一个简单的引理: 引理如果对每个,?c([0.了1];x).连续函数 "()一IS(f一5),) 是方程=Au+,,"f0)一"(0)一0的强解,则存在常数c,满足: IS"一)/(s)ds?D(A),?!o,7],(3) 和l/ls(一),()d』?cIlfll一,V?[oT],,?c([.,7'];x) 事实上,只须指出:余弦算子函数的生成元是空间x中的一个闭,稠定算子..:,所以映射,一 . .()一AIS(r—s)f(s)ds.是从c([o,了1];x)到自身的闭映射,由闭图象定理,引理得证. 定理的证明显见,只须对零初值"(0)="'(0)一.的情形进行讨论. 如对每个fEc(0,了1];x),由(f)=IS(一s)f(s)ds给出的连续函数"是1'6题(1)的强解,由 引理,(3)成立.任取?X,函数c().5?R,是在空间x中取值的连续函数.所以: IS0—)c(s)xds?D(), 和s(—s)?)I?cI,V?[咐] 在这里和以后,为简便计,我们用同一个c,它只可能依赖余弦函数本身或了1.表示各个不同的常 数.当不致引起混淆. 由于 IS(一s)C)xds—IS()c(f—s)xds 并且.S()一S(一)C(s)+S(s)C(r--s),V,.?R,所以: S()?D(A),t?[O.了1],?X,(4) 和llAS(t)ll??II.?(o,了1],z?X 接着我们证明: AS(?)z?c([0,了1];x)(5) 事实上,如0<f?T,取.?D().由于余弦算子函数强连续,并且 AS(r)z0=S(r)Ax.,Vf?R. 所以lira(AS(s).一AS")0)一lira(S()一S(r))Ax.一0 又因为DC4)在X中稠,并且IlAs()2I??,v0<r?T.所以对?X,/IS()在o<t?T连续. 要证AS(f)在一0处的连续性,我们取t.,t?(0,了1],并令tt一,于是, AS(r1一tc)z—AC(tos(rL)z一C(tL)s(rc) 由于S()?D(A),Vt?[O,],和AS(r)在f—f.处的强连续性,以及算子之间的交换性,得副: limAS")—liraAS(r】一t.)—lira(C()AS(1)z—C(t1)AS(.))=0 0l0…10 (j)式得证. 将一致有界性原理应用于算子旗AS(r).t?[0,了1].我们得到,存在常数c,满足: 0AS(r)?C,V?[0,了1](6) 我们从 第l期姚憬齐:Banach空间中余弦算子函数生成元的有界性 cc,--I--zs(鲁】s鲁)一.s(鲁】s(导),0s(告川?c,V.??丁 和(6),得到: {jC(I{j?Ch,V0?h?T(7) 也就是余弦算子函数{c(f);t?R)按算子范数拓扑在0点连续从而它的生成元算子A有界,事实 上,对?D(A),我们有]: C()工—Ar(一)c()一r(^一)c)AJ0J0 一 f(^一)r-c(j)一1]d+^,o<^?了1 由(7)式得出: A圳?c一j4+c一圳一-c州 取0<h<min1, 了1I,就有jjAxj{?3lj即A是有界算子. 如果算子J4是空问X中的有界算子,那幺由它生成的余弦算子函数和正弦算子函 数可以用算子 的幂级数来表示: c?一妻妻 并且c()jI?ch(j{Ajjf),和S()jl?}jAsh(jfJ41j") 于是定理的结论是显见的.至此,定理证毕 注记本文给出了空间中的余弦算子函数的生成元是有界算子的一个刻画.莪们将它与一 阶非齐次初值问题相比较: 设算子^生成空间X中的个压缩的C.半群{了10);f?0)这时我们同样有: 如对每个,?c([0,了1];),连续函数","(f)一lT"一s)f(s)ds,?[..了1].是非齐次问题: du(t) 一 Au()一,(f),?[.,71], "(0)一0 的强解,那么存在常数C,满足:Vf?c([0.了1];x), lT"一s)f(s)ds?D(A),?[o,了1]. 和Aj71"一),()山l?cIlfllm—,?[.,71](8) J.BBaillon在[33中证明了: 如(8)中的常数C<1,那么J4是有界算子 在C?1的情形.如果X是一个不含C.空间的Banach空间,即X中不含任一与cc同构的子 空间,例如x是自反空间,或是L,空间等,那么(8)式成立的充要条件是:J4为有界算子 参考文献: [1]Fattorin[HOSecondOrderLinearDifferentialEquationsinBanachSpaces[M]NorthHol land, Amsterdam,1985 [2]TravisC.WebbGCosinefamiliesandabstractnonlinearsecondorderdifferentia AcadSciHungart1978,32:7596. [3]BaillonJBCaractereborn6decertainsg4n4rateurdesemigroupeslln4airesdanslesespac esdeBanach[J].C RAcadScjParis.198O,290:757,760 96应用泛函分析第卷 ANoteonBoundnessofGeneratorsofCosine OperatorFunctionsinBanachSpaces YAOJing—qi ChineseAcademyofScie~zce$.Beijing100080.Chim Abstract:LetAhethegeneratorofcosineoperatorfunctionC(f),t?R.andlTcrat.rfunctI(】n S')一?R—inBanachspaceX.ThisDOteprovesthatforeveryfcc([0.丁:;),thetoniinL10usfunc-l0n H,"(f)一lS"一s)f(s)ds.f?[0.7.] isastrong(classica1)solutionofthesecondinhomogeneou,szeroinitialvalueproblem"=4u +j.in[?. T3.1ffAisahoundedoperatorinX. Keywords:boundedoperator;cosineoperatotfunction;secondinhomogeneousinitialvalue problem