光在色散介质中的速度

第23卷第3期2003年5月孝感学院学报JOURNALOFXIAOGANUNIVERSITYVOL23N0．3MAY2003光在色散介质中的速度熊万杰，陆建隆(南京师范大学物理科学与技术学院，江苏南京210097)摘要：从相速度和群速度的定义出发，了波在非色散介质和色散介质中传播的群速度大小，并阐述了群速度的统计意义和超光速现象。澄清了人们对群速度概念上的误解。关键词：群速度；色散介质；统计意义；超光速中图分类号：O431．1文献标识码：A文章编号：1671—2544(2o03)o3一o044一O4一般认为群速度与信号的传播速率和能量的传送速率是一致的。对于非色散介质，相速和群速相等且与频率无关。由KramersKroning关系，唯一的无耗介质是理想状态下的真空，实际上不可能存在有色散而又无耗散的介质。因此对于实际介质，相速和群速的关系要复杂的多。随着科学技术的发展，波速问题在技术研究领域中取得了一席之地，它在无线电信号在电离层中的反射、雷达系统和导航系统等技术领域中逐渐取得了重要地位[1]。1相速度与群速度1．1相速度和群速度的定义考察在一种无耗、均匀、各向同性的无界介质中的一列单色平面波，假设波沿．27轴方向传播，在点处和t时刻，波的场量可表示为f(x，￡)一A0expi(kx—W￡)(1)这里A。为振幅，W为圆频率，k为波数。若使f(x，￡)的瞬时相位保持在某一定值，则有Wt—kx—const(2)即d／dt—w／k—(3)由(3)式知，任一等相位点以速率沿z方向运动(如图1)，因此称为相速。实际问题中的电磁波是各种频率的单色波的叠加，这种有一定频率展宽的电磁波和波包在传播过程中，各种频率的波速不一样，位相也不一样。f(xJf1X图1等相位点P点的速率即单色平面波的相速考察一列中心频率为W，频率展宽为2(一切)的电磁波列(或称波包)，其场量可表示为傅立叶积分形式，(，)一Jg(硼)ex(如一硼)dw(4)g(仞)为波的频谱，可由傅立叶的反变换得出。如果在非色散介质中，波数k(仞)与W的关系是线形的，可将波数在WO附近展开志(仞)一k。+ltcb(仞一ZOo)(5)将(5)式带人(4)式可得f(x,tJg(硼)户[姒。—zoo)]·户[(l—f)(硼一)]如(6)这是一个被调制的载波，WO代表载频，代收稿日期：2002—10—08作者简介：熊万杰(1976一)，男，湖北天门人，南京师范大学物理科学与技术学院在读研究生。一44—维普资讯http:www.cqvip.com光在色散介质中的速度表较低的调制频率。载波是一个正弦单频率波，其振幅也作正弦变化，但变化的速率要慢多，这样就很容易将波包与载波分开。载波的相速由(愚。z—Wot)一const确定，即dxt％一一(7)向群速度指的是调制包络线上固定相位点的传播速度(如图2)，它度量着波的峰或谷的速率，由({一￡)(一)一，z盯(8)得一窘一OkIt‘b(9)f(x．t)‘图2调制包络线上固定相位点P点的传播逐度即群速必须指出，如果条件A=W不满足，波包形状不能明确规定，群速度就失去了它的意义。1．2非色散介质中群速度就是信号和能量传播的速度波导是一种非色散介质。假设TE。波在矩形波导管(长和宽分别为n，6)内沿z轴方向传播，其场量为：一Asinr，X．exp[i(kz一)]茜一一(如n等+詈豫d—e：)exp[i(k：z一)](10)电磁能量沿波导的传输速率为一(11)其中(S)为穿过波导管截面的平均能流，(Wern)是单位长波导内的平均能量。对TE1。波，(>=．f。专忍(圣×H一)bdx一sin2Z00如；(s>=l音忍(E×一三ld捌JZJL‘：k,abA／4v．(12)ra1一一1一一(w>J。寺[d(E×H)+—(B’×BJbdx=生e+盖[z+(—)z]=2e／4abA(13)T+L‘+(。)‘J‘l)则能量传播的速度一一等一一l(怖正是群速度。1．3实物粒子的群速度假设一个高速运动(速度为口)的粒子静止质量为，则动量为‘P一脚／．(15)能量为E一(16)把(15)式带人(16)式，有E一批[1+一批／(17)将实物粒子的德布罗意关系带人(17)式，有一(18)则物质波的相速为一／愚+c>c(19)而群速度为一a／dk—cp／c4+c：(20)(20)式表明，物质波能量传播速度就是实物粒子的运动速度，能量由实物粒子随身携带。2色散介质中电磁波的群速度2．1色散关系稀薄气体的介电函数为[]e()=e0+Ne／m(w一w2一／wT)(21)其中，Wi一；为特征频率，y为衰减因子，该气体中单位体积中电子数为N。式被极化原子引起的偶极子等效电荷。相对介电函数的实部s和虚部e分别为e，一1+a2Wi2W2(22)e一n刃(23)e一n=研z3)其中n。一Ne／匿。，因为N很，J、，n也很，J、。ney和sy对W的关系如图3。>Wb和W<的范围，是正常色散区，<<区间为反常色散区。s在反常色散区W处有一最大值，称为共振峰(或称吸收峰)。一45—维普资讯http:www.cqvip.com熊万杰，陆建隆图3在吸收峰处，有一最大值复折射指数为一／，则其实部和虚部为吉(￡干撬丢一￡)波数可表示为k—w一(+／n)一卢+CC因此相位常数和衰减指数分别为a一一(24)(25)(26)(27)因此在稀薄气体中传播的电磁波的相速度和群速度分别为79p一均一c／n，(、28)=d／d(29)2．2群速度随频率的变化情况在正常色散区域，外施频率仞可仞相比较，但又不是太靠近}一7Mi}?，叫，则衰耗项可以忽略l3]，这时T／1+n／2(wi一)一T／y(30)将(3O)式带入(29)式，得到相位常数为一叫(1+n／2(wi一))／c(31)将(31)式带入(29)式，得到正常色散区域内的群速度为一d／d、=cE1+n(+叫)／2(一Wi)](32)由此可知，在正常色散区域内<c。在非正常色散区域，叫与叫较接近时，衰耗项不能忽略[，由(22)、(23)、(24)三式可知，．a2(一)十5—(w,2uZ—)2uZ),2此时相位常数为卢一[1+譬笺](33)群速度为d硼c一氍囊一46一C—l+M(34)可以看出：当M>0时，<c；当M一0时，％一c；当0>M>一1时，>c；当M=一1时，一；当m<一1时，<0。可见理论上在非正常色散区域内，群速度性质非常复杂，它可以大于或小于光速，甚至可以达到无限大或取负值。3群速度的统计意义3．1统计平均速度光在介质中传播时，介质中的原子一个接一个地吸收光子，然后再发射它们。如果在一个时间间隔内，光在介质中通过了长度为的小圆柱体，那么光子在介质中的统计平均速度定义为z／。从能量传递的角度，在时间内通过左端的能量等于z体积内能量的增加(如图4)。设J代表从左端每单位体积的输入功率，w代表介质中每单位体积能量的增加，则J￡一W1(35)因此介质中光能的传递速度为VE—J／W1(36)SZ．图4在时间内通过左端的能量在此区域内，一部分光子被介质中的原子吸收，导致原子处于激发态，另一部分光子没有和原子作用而处于自由态。设d代表介质中“自由”光子的密度，仞代表光的角频率，叫代表每单位体积内被激发原子所吸收的能量，这样W1一dhw+W(37)代人(36)式，有一J／(dhw+W)(38)式中J—cdhw．VE是一个宏观速度，不是光子的瞬时速度，而是光子的统计平均速度。3．2稀薄气体介质中光子的统计平均速度1]在没有任何外场的情况下，介质中的原子处于基态，其波函数满足定态薛定谔方程Ho。一E。(39)当光场微扰时，原子跃迁到激发态，与光相关的微扰算符为q(eogr)sint，其中e。是光振幅，q是维普资讯http:www.cqvip.com光在色散介质中的速度被极化原子所产生的偶极子等效电荷，r是偶极子距离矢量。激发态满足含时薛定谔方程=H。一q(g)矗硼￡(40)对(4O)式取尝试解一。exp(iwf)+U户[一i(exp[(一￡]+VzpE(+￡](41)(41)式代人(4O)式，解出有、后反代入式(41)，得=。exp(一hv．t)+]kq．I(g)。]。夕[一(一)]+⋯．q()。]·。夕[一(一硼)f](42)=ZOn—Wh一(。一。)／h是原子的本征频率。上式右边第一项式基态波函数，第二、三项代表跃迁，用表示。原子从基态。。到态跃迁几率是P—ldr12E0eo2=dhw(46)。是自由空间中的介电常数．如果介质中每单位体积的原子数为N，那么每单位体积中被激发得原子所吸收的能量为W—N—Wi(47)由(45)(46)(47)三式，并将其结果代人(38)式，有1=C+慧潞l1(48)从经典近似考虑，把原子的激发看作是在光场作用下，一维振子在稳态作受迫振动，因此它们的振动频率等于外场的频率W。此时II=q(1。。dr)=h／ZMw(49)M是振子的质量，它等于极化原子负等效电荷的质量．将上式代人(48)式，用wi代替训硅，就得出一÷c+，，这与(32)式是等价的，这个结果表明介质中光子得统计平均速度与波动理论中群速度相同。即介质中光的群速度不是光子的瞬时速度，而是光子的平均速度。一[(ut+zd2)](43)[参考文献]lDl是偶极矩的矩阵元素D威=JnOdr(44)原子吸收了光子，每个原子吸收能量的平均值为一Wi：胁一[(45)波动理论中的振幅e0和量子理论中光子数密度d之间的关系是[1]黄席椿．论波速[M3．北京：高等教育出版社，1985．[2]尹真．电动力学[M]．南京：南京大学出版社，1999．[3]八Sommerfeld．Optics[M]．AcademicPress，NewYork，1954．[4]WenchenWangandChengmingChen，Aboutthestatisticaln嘲洒gofgroupdodts[J]．’．phys．1990，58(8)：744——747．VelocityofLightinDispersiveMediumXIONGWan—jie，LUJianlong(SchoolofPhysicalScienceTechnology，NanjingNormalUniversity，Nanjing210097，China)Abstract：AccordingtOthedefinitionsofphasevelocityandgroupvelocity，thearticlemakesananaly—sisofthegroupvelocitiesofwaveinnondispersiveanddispersivemediaandexpoundsthestatisticsignificanceofgroupvelocityanditshyper—lightspeedphenomenon．Therefore，themisunderstandingoftheconceptofgroupvelocityhasbeenclearedup．KeyWords：groupvelocity；dispersivemedium；stasticsignificance；hyperlightspeed(责任编辑：陈锦华)47—维普资讯http:www.cqvip.com