《待定系数法》

高中数学思想方法专题八 待定系数法 慕泽刚 (重庆市龙坡区渝西中学 401326) 一、知识要点概述 在解决某些数学问题时，按照一定规律，先写出问题的解的形式（一般是指一个算式、表达式或方程），其中含有若干尚待确定的未知系数的值，然后根据所给条件来确定这些未知系数，从而得到问题的解的方法.这种解题方法，通常称为待定系数法；其中尚待确定的未知系数，称为待定系数. 使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否能用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解.例如数列求和、求函数式、求解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解. 利用待定系数法解题的基本步骤是： 第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式； 第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程； 第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决. 二、解题方法指导 待定系数法是根据两个多项式恒等的条件而产生的一种方法，因此，从恒等变形的意义来看，它不过是把一个代数式从一种形式变换为另一种形式，并且确保变形前后的两个代数式是恒等的，也就是形变而值不变.利用待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程.主要从以下几方面着手分析： ①利用对应系数相等列方程；是指通过比较恒等式两边多项式的对应项系数，得到关于待定系数的方程（组），即a0xn+a1xn－1+…+an≡b0xn+b1xn－1+…+bn 的充分必要条件是a0=b0，a1=b1，…，an=bn，…. ②由恒等的概念用数值代入法列方程；指通过取字母的一些特定数据值代入恒等式，由左右两边数值相等得到关于待定系数的方程(组)，由此求得待定系数的值. ③利用定义本身的属性列方程；是指根据所涉及的数学概念、公式、定理等建立方程(组). ④利用几何条件列方程.是指根据图形、图象、曲线间的量的关系建立关于待定系数的方程(组). 三、范例剖析 例1设二次函数满足f(x-2)=f(-x-2)，且图象在y轴上的截距为1，在x轴上截得线段长为2eq \r(2)，求f(x)的表达式. 解析：设所求f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，且与x轴交点横坐标为x1，x2，则c=1 ①， f(x-2)=ax2-(4a-b)x+4a-2b+c，f(-x-2)=ax2+(4a-b)x+4a-2b+c，由f(x-2)=f(-x-2)得b=4a ② （或由二次函数的对称性可知对称轴x=-2，即﹣eq \f(b,2a)=-2，得b=4a) 又在x轴上的截距为2eq \r(2)，∴|x1-x2|=2eq \r(2)，∴eq \r((x1+x2)2﹣4x1x2)=2eq \r(2)，∴2-4ac)eq \f(,|a|) =2eq \r(2) ③ 由①得b2-4a=8a2，∴b2-b=eq \f(b2,2)，∴b=2或b＝0（舍去因b=0，a=0），∴a=eq \f(1,2)，∴f(x)=eq \f(1,2)x2+2x+1(x∈R). 点拨：待定系数法是求函数的解析式的一种重要方法之一，解题时要熟悉基本函数，基本曲线的表达式，才能正确设立参数. 例2若eq \s(lim,n→∞)(2an+3bn)=5，eq \s(lim,n→∞)(4an﹣3bn)=3，求eq \s(lim,n→∞)(7an+bn). 解析：设7an+bn＝λ(2an+3bn)+μ(3an﹣5bn)，即7an+bn＝(2λ+3μ)an+(3λ﹣5μ)bn. 因此式恒成立，故比较两边an、bn的系数，得 eq \b \lc\{ (\s( , ))eq \s(7=2λ+3μ,1=3λ﹣5μ)，解之，得eq \b \lc\{ (\s( , ))eq \s(λ=2,μ=1) . ∴eq \s(lim,n→∞)(7an+bn)= eq \s(lim,n→∞)[2(2an+3bn)+(3an﹣5bn)]=2eq \s(lim,n→∞)(2an+3bn)+ eq \s(lim,n→∞)(4an﹣3bn)=2×5+3=13. 点拨：因为eq \s(lim,n→∞)an与eq \s(lim,n→∞)bn不一定存在，因此利用待定系数法解决此类问题是最有效的方法，其做法是将2an+3bn与4an﹣3bn视为两个基本量，用待定系数法求得用这两个基本量表示7an+bn的两个系数，即可获解. 例3已知f(x)=ax2+bx，且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围. 解：因为f(-1)=a-b,f(1)=a+b,f(-2)=4a-2b.令f(-2)=λf(-1)+μf(1)， 即4a-2b=λ(a-b)+μ(a+b)，整理，得4a-2b=(λ+μ)a+(﹣λ+μ)b, ∴eq \b \lc\{ (\s( , ))eq \s(λ+μ=4,﹣λ+μ=-2)，解得 eq \b \lc\{ (\s( , ))eq \s(λ=3,μ=1)，∴f(-2)=3f(-1)+f(1)， 而eq \b \lc\{ (\s( , ))eq \s(1≤f(-1)≤2(3≤3f(-1)≤6,2≤f(1)≤4)，两式相加，得5≤3f(-1)+f(1)≤10, 即f(-2)的取值范围是[5,10]. 点拨：本题是一类典型题，对这类问题的求解关键一步是，找到f(-2)的数学结构，然后依其数学结构特征，利用待定系数法将f(-2)用f(-1)与f(1)的表达式来表达，求出待定系数，然后利用不等式的基本性质即可获得解答. 例4求过直线l1:2x﹣3y+2=0与l2:3x﹣4y﹣2=0的交点且与直线4x+y﹣4=0平行的直线方程. 解：设所求直线的方程为(2x-3y+2)+((3x-4y-2)=0 (*),即(2+3()x-(3+4()y+2-2(=0. ∵所求与4x+y-4=0平行,∴有2+3(=4(-3-4(),∴(=﹣eq \f(14,19).代入(*)式有4x+y-66=0. 点拨：待定系数法是解决过两条直线交点的直线系的基本方法之一.过已知两条直线A1x＋B1y＋C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点的直线系一般有三种设法：①λ1(A1x＋B1y＋C1)+λ2(A2x＋B2y＋C2)=0(λ1,λ2是不同时为0的参数)；②A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)=0(不含直线A2x＋B2y＋C2=0，λ为参数)；③A2x＋B2y＋C2＋λ(A1x＋B1y＋C1)=0(不含直线A1x＋B1y＋C1=0，λ为参数). 例5是否存在a、b、c，使得等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2=eq \f(n(n+1),12)(an2＋bn＋c)对一切自然数n都成立？并证明你的结论. 解析：假设存在a、b、c使得等式成立，令：n＝1，得4＝eq \f(1,6)(a＋b＋c)；n＝2，得22＝eq \f(1,2)(4a＋2b＋c)；n＝3，得70＝9a＋3b＋c.整理得：eq \b \lc\{ (\s( , , )) eq \s(a＋b＋c=24,4a＋2b＋c=44,9a＋3b＋c=70)，解得eq \b \lc\{ (\s( , , )) eq \s(a=3,b=11,c=10)， 于是对n＝1、2、3，等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1) 2＝eq \f(n(n+1),12)(3n2＋11n＋10)成立，下面用数学归纳法证明对任意自然数n，该等式都成立： 假设对n＝k时等式成立，即1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＝eq \f(k(k+1),12)(3k2＋11k＋10)， 当n＝k＋1时，1·22＋2·32＋…＋k(k＋1) 2＋(k＋1)(k＋2) 2 ＝eq \f(k(k+1),12)(3k2＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2) ＝eq \f(k(k+1),12)(k＋2)（3k＋5）＋(k＋1)(k＋2)2 ＝eq \f((k+1)(k+2),12)3k2＋5k＋12k＋24）＝eq \f((k+1)(k+2),12)[3(k＋1)2＋11(k＋1)＋10]， 也就是说，等式对n＝k＋1也成立. 综上所述，当a＝8、b＝11、c＝10时，题设的等式对一切自然数n都成立. 点拨：建立关于待定系数的方程组，在于由几个特殊值代入而得到.此种解法中，也体现了方程思想和特殊值法.对于是否存在性问题待定系数时，可以按照先试值、再猜想、最后归纳证明的步骤进行. 例6求焦点F(0,5eq \r(2)),截直线y=2x-1所得弦中点的横坐标是eq \f(2,7)的椭圆标准方程. 解析：设所求椭圆方程为eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0),∴c=5eq \r(2),即a2-b2=50…①, 将y=2x-1代入椭圆方程中得eq \f(x2,a2)+eq \f((2x-1)2,b2)=1,∴(4b2+a2)x2-4b2x+b2(1-a2)=0, ∵eq \f(x1+x2,2)=eq \f(2,7)=eq \f(2b2,4b2+a2),∴a2=75,b2=25,∴所求椭圆方程为eq \f(x2,75)+eq \f(y2,25)=1. 点拨：圆锥曲线中，参数（a、b、c、e、p）的确定，是待定系数法的生动体现；如何确定，要抓住已知条件，将其转换成表达式.一般地，解析几何中求曲线方程的问题，大部分用待定系数法，基本步骤是：设方程（或几何数据）→几何条件转换成方程→求解→已知系数代入. 例8已知A(1，2)、B(2，1)、C(3，2)和D(-2，3)，以eq \o(→,AB)、eq \o(→,AC)为一组基底来表示eq \o(→,AD)+eq \o(→,BD)+eq \o(→,CD). 解析：eq \o(→,AB)=(1，3)，eq \o(→,AC)=(2，4)，eq \o(→,AD)=(-3，5)，eq \o(→,BD)=(-4，2)，eq \o(→,CD)=(-5，1)， ∴eq \o(→,AD)+eq \o(→,BD)+eq \o(→,CD)=(-3，5)+(-4，2)+(-5，1)=(-12，8)， 根据平面向量基本定理，一定存在实数m,n，使得 eq \o(→,AD)+eq \o(→,BD)+eq \o(→,CD)=m·eq \o(→,AB)+n·eq \o(→,AC)， ∴(-12，8)=m(1，3)+n(2，4)=(m+2n,3m+4n),∴{eq \s(m+2n=-12,3m+4n=8),解得 {eq \s(m=32,n=﹣22)， ∴eq \o(→,AD)+eq \o(→,BD)+eq \o(→,CD)=32·eq \o(→,AB)﹣22·eq \o(→,AC). 点拨：本题主要考查向量的坐标表示，向量的坐标运算、平面向量基本定理，求解时根据平面向量基本定理，利用待定系数法设等式eq \o(→,AD)+eq \o(→,BD)+eq \o(→,CD)=m·eq \o(→,AB)+n·eq \o(→,AC)，再列出关于m,n的方程组，进而解方程求出所表示的系数. 作　　者：慕泽刚 通信地址：重庆市九龙坡区西彭镇：重庆市渝西中学 邮　　编：401326 电　　话：(023)65816009（宅） E-mail：muzegang123@163.com 发表在《数理报》第42期2005.4.19 第 3 页 共 3 页 _983421334.unknown