第五、六章(学生)

第五章 定积分 一.理解定积分的概念,掌握定积分的性质（积分中值定理）,几何意义； 1.定积分的定义: 设函数 在 上有界，在 中任意插入若干个分点 把区间 分成 个小区间 各个小区间的长度依次为 在每个小区间 上任取一点 ，作函数值 与小区间长度 乘积 并作出和 ，记 ，如果不论对 怎样分法，也不论在小区间 上点 怎样取法，只要当 时，和S总趋于确定的极限I，这时我们称这个极限I为函数 在 上的定积分，记为 . 注（1）定积分是一个数,仅与 及[a,b]有关. （2） 在[a,b]上可积的充分条件是 在[a,b]上连续（或者是 在[a,b]有界且只有有限个间断点）. 2.定积分的性质 (1) (2) (不论 的相对位置如何） (3) (4) ,则 （ ） 推论1: , 则 （ 推论2: （ ） (5) 设 和 是 在 上的最大值和最小值, 则 . (6) (积分中值定理) 若 在 上连续，则存在 使 . 注： 在 上的平均值 即“平均高度”为 . 3.定积分的几何意义 (1) , 示曲边梯形的面积； (2) , 表示曲边梯形面积的负值； (3) 在 上可取正值和负值，则在 轴上方的面积赋 ,在 轴下方的面积 赋 , 的几何意义介于 轴, , 及 的图 形之间的各 部分面积的代数和. (4)由 轴, , 及 围成图形的面积为 . 例1．设 ， 在 上的图形如右图，其中三块面积 ， ， ，求 在 上的最大值和最小值. 解： ， ，所以 函数 驻点为 ， 又 ， ， ， 所以 最大值为3，最小值为 . 二. 理解变上限定积分定义的函数,会求它的导数. 1.定义:称 为 在 上的变上限积分. 2.性质:若函数 在 上连续，则 在 上具有导数,且 （ ）. 注 (1) ; (2) . 3.定理:若函数 在 上连续,则 是 在 上的一个原函数. 例2. (1) (2) (3) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (4) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . 例3.（1）设 ，求 在 的表达式. 解：当 时 当 时 EMBED Equation.3 . . （2）设函数 ，求 。 解 当 时， 当 时， 由于 在 处连续得 , . （3）已知函数 ， ，且在 上有 ，求 . 解 因为 在 是连续的，故 ， . 即 ，从而 . 例4.(1) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . （2）设函数 连续且 ，求极限 . 解. 原式＝ EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . (3)求由 所确定的隐函数 对 的导数. 解： EMBED Equation.3 . 练习：设 ，其中 在 某邻域内可导，且 , ，求 . 解： EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . 例5.设 为连续函数,证明 . 证明： EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ， 令 得 得证. 例6.求方程 在区间 内实根的个数？ 解：令 在 单调增加且 在区间 内仅有一个根. 练习：设 ，则 （ ） （A）正常数; （B）负常数; （C）恒为零; （D）不为常数 解 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 或 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . 例7.设函数 在 内连续,且 , 试证(1)若 为偶函数,则 也是偶函数; (2)若 单调减少，则 单调增加. 证（1） EMBED Equation.3 , 是偶函数. （2） EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 在 与 之间 当 时 EMBED Equation.3 当 时 EMBED Equation.3 单调增加. 例8. 设 是连续函数， 是 的原函数，则 （A）当 是奇函数时， 必是偶函数; （B）当 是偶函数时， 必是奇函数; （C）当 是周期函数时， 是周期函数; （D）当 是单调函数时， 必是单调增函数; 答案（A） 例9（1）已知 ，计算 . 解： EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . （2）设 是区间 上的单调、可导函数，其中 为 的反函数，且满足 ，求 . 解： EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 在等式 中，令 得 , 所以 . 所以 . EMBED Equation.3 . 三．掌握 公式和定积分换元法与分部积分法。 1. 公式:设 在 上连续，则 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ; 2.定积分的换元法: EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ; 3.定积分的分部积分法: ； 几个常用公式 （1）奇、偶函数及周期函数的积分性质. a)若 在 上连续,且为偶函数,则 b)若 在 上连续,且为奇函数，则 . c)设 是以 为周期的连续函数,则 的值与 无关. (2) (3) . 例10.(1) . (2) EMBED Equation.3 (3) ,其中 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . (4) EMBED Equation.3 (5) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . (6) (7) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 。 例11.(1) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . (2) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = . 例12．设 ，求 . 解： EMBED Equation.3 ， . 例13.设 ,(1)证明: 是以 为周期的周期函数; (2)求 的值域. 解（1） = 是以 为周期的函数 （2）求 的值域可以转化为 在 的最大值和最小值。 EMBED Equation.3 在 上最大值 最小值 , 值域 . 练习.设 是可导的正函数且 ，令 , EMBED Equation.3 ,（1）证明 单调增加;（2）求 的最小值点;（3）将 的最小值看作 的函数，若它等于 ，求 解 （1） EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . (2) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . . (3) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ， . 四.了解广义积分的概念，会计算广义积分。 无穷区间上的广义积分： , , 无界函数的广义积分： ， 主要结果： ：当 时，收敛；当 时，发散. ：当 时，收敛；当 时，发散. 例14 (1) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (2) EMBED Equation.3 = (3) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . (4) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . 练习： （既是无穷区间又是无界函数的广义积分） 解. 令 EMBED Equation.3 五.定积分的应用：用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、平面曲线的弧长、功、引力、压力）及函数的平均值. 微元法： （1）根据问题的具体情况，选取一个变量，例如 为积分变量，并确定所求量的变化区间 （2）任取 ，所求量A在 上的部分量 的近似值为 ——微元. (3) 所求量 1.平面图形的面积：（(1)先画出草图;(2)选择积分变量；确定积分限；(3)取面积微元； (4)计算定积分得面积）. 由曲线 与直线 所围成的平面图形的面积为 例15．计算抛物线 与直线 所围成的图形的面积. 解1（1）选 为积分变量 （2） （3） 解2. 选 为积分变量 ， . 2.已知平行截面的面积，求立体体积： . 特别地：由连续曲线 ，直线 及X轴所围成的平面图形绕X轴旋转一周而成的立体的体积 . 例16.(1)求由平面图形 分别绕y轴及直线 旋转一周所得立体的体积. 解：绕 轴 EMBED Equation.3 . 绕 EMBED Equation.3 . （2）求椭圆 所围成的图形的面积. 解： . 练习：计算由摆线 的一拱，直线 所围成的图形分别绕 轴及 轴旋转而成的旋转体的体积 解： EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . 练习.已知曲线L的方程为 .（1）讨论L的凹凸性;（2）过点 引L的切线，求切点 ，并写出切线的方程;（3）求此切线与L（对应于 的部分）及X轴所围成的平面图形的面积. 解 (1) ， ， (2) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . (3) EMBED Equation.3 . 例17．设直线 与抛物线 所围成的图形的面积为 ，它们与直线 所围成的图形面积为 ，并且 （1）试确定a的值，使 达到最小，并求出最小值。 （2）求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所决定立体体积. 解（1）（a）当 时 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 又 即 为最小值 （b）当 时， EMBED Equation.3 ， 在 单减小. 故 时 为最小值。 综上所述最小值 . (2) 当 时图形绕 轴旋转一周的立体的体积 EMBED Equation.3 . 3.平面曲线的弧长（数三不要求） （1）L： （2）L： 4.旋转体的侧面积（数三不要求） 例18．设有曲线 ，过原点作切线，求由此曲线、切线、x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的表面积. 解：设切点坐标为 EMBED Equation.3 切点坐标 EMBED Equation.3 ， . 6.物理应用：(看课本)（数三不要求） (1)变力做功： 例19.设质点 在平行于X轴的力 作用，使质点从1沿X轴移到3，求力F所做功. 练习.半径为R的球沉入水中，球上部与水面相切，球的比重为 现将球从水中取出，需作多少功? 解（球缺公式 ） 球从 到 运动过程中受力 是 的函数 球重-浮力 EMBED Equation.3 . 注：水下球缺高度 . （2）水压力 练习.设有一底为8cm,高为6cm的等腰三角形片,铅直地沉没在水中,顶在上,底在下且与水面平行,而顶离水面3cm,试求它每面所受的压力? （3）引力： 例20．设有密度均匀，长度为 ，质量为 的质线AB，求质线AB对质量为 的质点的引力，假设(1)质点在BA的延长线上距A为a处;(2)质点在AB的垂直平分线上距AB为a处. 解(1)(a)所求引力落在 (b)任取 (c) EMBED Equation.3 . (2)(a) (b)任取 ， (c) EMBED Equation.3 . PAGE 44 _1275830083.unknown _1275834096.unknown _1275970603.unknown _1275971070.unknown _1275971409.unknown _1275971555.unknown _1275971619.unknown _1275972775.unknown _1275972947.unknown _1275973495.unknown _1275973851.unknown _1299735462.unknown _1275973742.unknown _1275972962.unknown _1275972990.unknown _1275972998.unknown _1275972952.unknown _1275972957.unknown _1275972809.unknown _1275972925.unknown _1275972936.unknown _1275972941.unknown _1275972931.unknown _1275972816.unknown _1275972789.unknown _1275972802.unknown _1275972783.unknown _1275971728.unknown _1275971742.unknown _1275972768.unknown _1275971735.unknown _1275971631.unknown _1275971721.unknown _1275971625.unknown _1275971589.unknown _1275971604.unknown _1275971612.unknown _1275971598.unknown _1275971577.unknown _1275971583.unknown _1275971562.unknown _1275971479.unknown _1275971514.unknown _1275971527.unknown _1275971533.unknown _1275971520.unknown _1275971502.unknown _1275971508.unknown _1275971486.unknown _1275971447.unknown _1275971462.unknown _1275971470.unknown _1275971454.unknown _1275971433.unknown _1275971440.unknown _1275971417.unknown _1275971354.unknown _1275971381.unknown _1275971395.unknown _1275971402.unknown _1275971389.unknown _1275971368.unknown _1275971374.unknown _1275971361.unknown _1275971135.unknown _1275971263.unknown _1275971346.unknown _1275971254.unknown _1275971088.unknown _1275971106.unknown _1275971097.unknown _1275971078.unknown _1275970904.unknown _1275970970.unknown _1275971019.unknown _1275971052.unknown _1275971060.unknown _1275971032.unknown _1275971042.unknown _1275970995.unknown _1275971003.unknown _1275971010.unknown _1275970977.unknown _1275970985.unknown _1275970938.unknown _1275970954.unknown _1275970962.unknown _1275970946.unknown _1275970921.unknown _1275970929.unknown _1275970914.unknown _1275970661.unknown _1275970737.unknown _1275970881.unknown _1275970897.unknown _1275970872.unknown _1275970674.unknown _1275970680.unknown _1275970668.unknown _1275970629.unknown _1275970645.unknown _1275970651.unknown _1275970636.unknown _1275970617.unknown _1275970623.unknown _1275970610.unknown _1275834461.unknown _1275835675.unknown _1275835899.unknown _1275835968.unknown _1275970578.unknown _1275970590.unknown _1275970597.unknown _1275970584.unknown _1275836075.unknown _1275969872.unknown _1275970571.unknown _1275969749.unknown _1275835972.unknown _1275835976.unknown _1275835944.unknown _1275835959.unknown _1275835963.unknown _1275835950.unknown _1275835934.unknown _1275835939.unknown _1275835912.unknown _1275835923.unknown _1275835906.unknown _1275835808.unknown _1275835879.unknown _1275835888.unknown _1275835894.unknown _1275835883.unknown _1275835820.unknown _1275835873.unknown _1275835835.unknown _1275835814.unknown _1275835746.unknown _1275835765.unknown _1275835797.unknown _1275835802.unknown _1275835774.unknown _1275835753.unknown _1275835759.unknown _1275835697.unknown _1275835732.unknown _1275835738.unknown _1275835708.unknown _1275835714.unknown _1275835702.unknown _1275835686.unknown _1275835691.unknown _1275835680.unknown _1275835538.unknown _1275835595.unknown _1275835637.unknown _1275835663.unknown _1275835669.unknown _1275835648.unknown _1275835653.unknown _1275835643.unknown _1275835607.unknown _1275835619.unknown _1275835627.unknown _1275835613.unknown _1275835601.unknown _1275835566.unknown _1275835583.unknown _1275835589.unknown _1275835571.unknown _1275835577.unknown _1275835554.unknown _1275835560.unknown _1275835544.unknown _1275834810.unknown _1275834853.unknown _1275834940.unknown _1275835517.unknown _1275835523.unknown _1275835530.unknown _1275835482.unknown _1275835504.unknown _1275835511.unknown _1275835494.unknown _1275834949.unknown _1275834877.unknown _1275834927.unknown _1275834934.unknown _1275834879.unknown _1275834886.unknown _1275834866.unknown _1275834872.unknown _1275834861.unknown _1275834835.unknown _1275834844.unknown _1275834849.unknown _1275834840.unknown _1275834823.unknown _1275834830.unknown _1275834817.unknown _1275834752.unknown _1275834782.unknown _1275834791.unknown _1275834804.unknown _1275834787.unknown _1275834772.unknown _1275834777.unknown _1275834758.unknown _1275834488.unknown _1275834643.unknown _1275834694.unknown _1275834717.unknown _1275834737.unknown _1275834746.unknown _1275834723.unknown _1275834703.unknown _1275834688.unknown _1275834630.unknown _1275834637.unknown _1275834493.unknown _1275834475.unknown _1275834482.unknown _1275834466.unknown _1275834353.unknown _1275834412.unknown _1275834440.unknown _1275834450.unknown _1275834456.unknown _1275834445.unknown _1275834423.unknown _1275834434.unknown _1275834418.unknown _1275834386.unknown _1275834396.unknown _1275834406.unknown _1275834391.unknown _1275834367.unknown _1275834380.unknown _1275834365.unknown _1275834299.unknown _1275834332.unknown _1275834342.unknown _1275834348.unknown _1275834337.unknown _1275834321.unknown _1275834326.unknown _1275834311.unknown _1275834282.unknown _1275834293.unknown _1275834295.unknown _1275834287.unknown _1275834225.unknown _1275834276.unknown _1275834185.unknown _1275832805.unknown _1275833417.unknown _1275833598.unknown _1275833708.unknown _1275833870.unknown _1275833973.unknown _1275834036.unknown _1275833926.unknown _1275833744.unknown _1275833780.unknown _1275833794.unknown _1275833820.unknown _1275833787.unknown _1275833750.unknown _1275833757.unknown _1275833729.unknown _1275833737.unknown _1275833714.unknown _1275833681.unknown _1275833694.unknown _1275833700.unknown _1275833687.unknown _1275833642.unknown _1275833668.unknown _1275833675.unknown _1275833655.unknown _1275833661.unknown _1275833649.unknown _1275833615.unknown _1275833623.unknown _1275833635.unknown _1275833607.unknown _1275833530.unknown _1275833567.unknown _1275833586.unknown _1275833593.unknown _1275833581.unknown _1275833544.unknown _1275833556.unknown _1275833536.unknown _1275833504.unknown _1275833516.unknown _1275833524.unknown _1275833518.unknown _1275833510.unknown _1275833486.unknown _1275833492.unknown _1275833480.unknown _1275833005.unknown _1275833051.unknown _1275833380.unknown _1275833399.unknown _1275833404.unknown _1275833394.unknown _1275833388.unknown _1275833368.unknown _1275833374.unknown _1275833061.unknown _1275833024.unknown _1275833040.unknown _1275833046.unknown _1275833034.unknown _1275833015.unknown _1275833019.unknown _1275833010.unknown _1275832898.unknown _1275832943.unknown _1275832955.unknown _1275832982.unknown _1275832948.unknown _1275832923.unknown _1275832936.unknown _1275832930.unknown _1275832910.unknown _1275832917.unknown _1275832905.unknown _1275832854.unknown _1275832876.unknown _1275832887.unknown _1275832868.unknown _1275832862.unknown _1275832828.unknown _1275832841.unknown _1275832848.unknown _1275832834.unknown _1275832817.unknown _1275830380.unknown _1275832615.unknown _1275832738.unknown _1275832779.unknown _1275832792.unknown _1275832798.unknown _1275832786.unknown _1275832766.unknown _1275832772.unknown _1275832753.unknown _1275832682.unknown _1275832721.unknown _1275832728.unknown _1275832688.unknown _1275832657.unknown _1275832670.unknown _1275832676.unknown _1275832663.unknown _1275832643.unknown _1275832649.unknown _1275830444.unknown _1275830467.unknown _1275830505.unknown _1275830517.unknown _1275830523.unknown _1275830544.unknown _1275830511.unknown _1275830486.unknown _1275830499.unknown _1275830472.unknown _1275830456.unknown _1275830461.unknown _1275830450.unknown _1275830408.unknown _1275830433.unknown _1275830439.unknown _1275830423.unknown _1275830391.unknown _1275830397.unknown _1275830402.unknown _1275830386.unknown _1275830214.unknown _1275830295.unknown _1275830328.unknown _1275830353.unknown _1275830360.unknown _1275830374.unknown _1275830340.unknown _1275830309.unknown _1275830315.unknown _1275830302.unknown _1275830257.unknown _1275830273.unknown _1275830279.unknown _1275830265.unknown _1275830235.unknown _1275830242.unknown _1275830221.unknown _1275830143.unknown _1275830172.unknown _1275830195.unknown _1275830202.unknown _1275830205.unknown _1275830189.unknown _1275830157.unknown _1275830165.unknown _1275830150.unknown _1275830117.unknown _1275830130.unknown _1275830136.unknown _1275830123.unknown _1275830100.unknown _1275830109.unknown _1275830089.unknown _1275809178.unknown _1275829852.unknown _1275829963.unknown _1275830024.unknown _1275830049.unknown _1275830070.unknown _1275830076.unknown _1275830063.unknown _1275830036.unknown _1275830043.unknown _1275830030.unknown _1275829991.unknown _1275830010.unknown _1275830015.unknown _1275830004.unknown _1275829979.unknown _1275829988.unknown _1275829969.unknown _1275829908.unknown _1275829931.unknown _1275829952.unknown _1275829958.unknown _1275829944.unknown _1275829948.unknown _1275829919.unknown _1275829925.unknown _1275829913.unknown _1275829879.unknown _1275829896.unknown _1275829902.unknown _1275829886.unknown _1275829868.unknown _1275829874.unknown _1275829862.unknown _1275829676.unknown _1275829805.unknown _1275829830.unknown _1275829840.unknown _1275829845.unknown _1275829835.unknown _1275829818.unknown _1275829825.unknown _1275829809.unknown _1275829814.unknown _1275829698.unknown _1275829779.unknown _1275829800.unknown _1275829704.unknown _1275829725.unknown _1275829687.unknown _1275829692.unknown _1275829681.unknown _1275810034.unknown _1275829570.unknown _1275829616.unknown _1275829666.unknown _1275829584.unknown _1275829592.unknown _1275829577.unknown _1275829357.unknown _1275829548.unknown _1275829248.unknown _1275809926.unknown _1275809941.unknown _1275810031.unknown _1275810032.unknown _1275810029.unknown _1275810030.unknown _1275810028.unknown _1275809934.unknown _1275809193.unknown _1275809918.unknown _1275809911.unknown _1275809186.unknown _1275766114.unknown _1275766395.unknown _1275766455.unknown _1275809140.unknown _1275809163.unknown _1275809171.unknown _1275809148.unknown _1275809155.unknown _1275766483.unknown _1275809131.unknown _1275766467.unknown _1275766419.unknown _1275766443.unknown _1275766446.unknown _1275766426.unknown _1275766407.unknown _1275766413.unknown _1275766401.unknown _1275766271.unknown _1275766365.unknown _1275766381.unknown _1275766388.unknown _1275766372.unknown _1275766330.unknown _1275766336.unknown _1275766272.unknown _1275766170.unknown _1275766269.unknown _1275766270.unknown _1275766267.unknown _1275766268.unknown _1275766176.unknown _1275766154.unknown _1275766161.unknown _1275766136.unknown _1275766145.unknown _1275766130.unknown _1275765891.unknown _1275765986.unknown _1275766025.unknown _1275766102.unknown _1275766108.unknown _1275766086.unknown _1275765997.unknown _1275766004.unknown _1275766010.unknown _1275765992.unknown _1275765932.unknown _1275765952.unknown _1275765958.unknown _1275765946.unknown _1275765893.unknown _1275765894.unknown _1275765892.unknown _1275765767.unknown _1275765796.unknown _1275765889.unknown _1275765890.unknown _1275765888.unknown _1275765876.unknown _1275765781.unknown _1275765788.unknown _1275765783.unknown _1275765774.unknown _1275765721.unknown _1275765736.unknown _1275765743.unknown _1275765726.unknown _1275765702.unknown _1275765709.unknown _1275765715.unknown _1275765704.unknown _1193730844.unknown _1195035675.unknown _1254324884.unknown _1193730941.unknown _1079838334.unknown _1193730618.unknown _1170401671.unknown _1079819531.unknown