高数2010年

南京师范大学2010年《高等》（４课时）第二学期期终试卷 院系：　　　　　　　　　姓名　　　　　　　　　　 学号：　　　　　　　　得分　　　　　　　　　 一、填空（24分，每小题3分） 1．若级数 收敛，则 . 2．改换二次积分的次序： = . 3．设L示整个圆周 ，则 = . 4．若在XOY面内沿任意闭路的曲线积分 ， 则 . 5．曲线 绕oz轴旋转所成旋转曲面方程为 . 6. = . 7． . 8. 的收敛域为 . 二、设 ，而 由方程 所确定，求 。(8分) 三、试求曲面 上同时垂直于平面 及平面 的切平面方程。(8分) 四、计算下列积分: (14分) (1) ，其中D为 在第一象限的部分。 (2)计算二重积分 ，其中D是由 所围成的第一象限的闭区域. 五、计算 ，其中 为正常数，L为从点 沿曲线 到点 的一段弧。(8分) 六、求幂级数 的收敛区间及和函数。(8分) 七、 求解下列微分方程:（12分） （1） （2） 。 八、设可导函数 满足方程 求 。(10分) 九、将周长为 的矩形绕它的一边旋转得一园柱体，问矩形的边长各为多少时，才能使园柱体的体积最大。 (8分) 一、填空题（24分，每小题3分） 1． , 2. 3. 4． 5. 6.2 7. 0 8. (-1,1) 二．解：将方程 两端对 求导得 解之得 所以 三．解。已知平面的法向量 ， 由已知：所求平面的法向量 设 则 于是 代入曲面方程解得 ，从而切点坐标为 法向量 。 故切平面方程为 四．解：采用极坐标，积分区域D表示为 D： = = = 四．解：积分区域：D 五．解 补充路径 ， 令 。由格林公式有： 而 所以 六．解 当 时显然级数发散，故收敛区间为 令 于是， 两边求导得 七 （1） ，有 有 所以微分方程是全微分方程， 通解为 （2）齐次方程为 ，其特征方程为 解得 或 特征方程的通解为 则 中 是特征方程的一重根，所以特解可以表示成 ，代入方程得到 所以通解为 八．解 将方程两端对 求导得： 即： 这是一阶线性微分方程 所以 = 又 所以 故 九．解 设矩形的边长为 ，且绕 边旋转 则园柱体体积 约束条件为 ） 设 则 解这方程组得唯一可能极值点 而问题本身最值一定存在，所以矩形的边长分别为 。 且绕短边旋转时，园柱体的体积最大。 _1211892385.unknown _1268508880.unknown _1268508888.unknown _1268508898.unknown _1335713171.unknown _1335713367.unknown _1335761174.unknown _1335761556.unknown _1335713235.unknown _1300081766.unknown _1301748947.unknown _1268508899.unknown _1272907248.unknown _1268508891.unknown _1268508897.unknown _1268508889.unknown _1268508884.unknown _1268508886.unknown _1268508887.unknown _1268508885.unknown _1268508882.unknown _1268508883.unknown _1268508881.unknown _1268508872.unknown _1268508876.unknown _1268508878.unknown _1268508879.unknown _1268508877.unknown _1268508874.unknown _1268508875.unknown _1268508873.unknown _1242591558.unknown _1244897698.unknown _1268499959.unknown _1268508871.unknown _1268500052.unknown _1244897771.unknown _1242591762.unknown _1242594172.unknown _1242594240.unknown _1242594197.unknown _1242591961.unknown _1242592072.unknown _1242591901.unknown _1242591644.unknown _1242591657.unknown _1242591629.unknown _1242591103.unknown _1242591509.unknown _1242591413.unknown _1242591498.unknown _1242591179.unknown _1242586170.unknown _1242591017.unknown _1211897673.unknown _1102888516.unknown _1102892615.unknown _1207988592.unknown _1207989176.unknown _1207989515.unknown _1211184585.unknown _1207990372.unknown _1207989315.unknown _1207988989.unknown _1207989070.unknown _1207988924.unknown _1147716388.unknown _1207988344.unknown _1207988506.unknown _1195463047.unknown _1102892659.unknown _1102892676.unknown _1102892709.unknown _1102892645.unknown _1102888701.unknown _1102890493.unknown _1102890818.unknown _1102892589.unknown _1102890895.unknown _1102890564.unknown _1102890747.unknown _1102890435.unknown _1102890472.unknown _1102890342.unknown _1102888649.unknown _1102888675.unknown _1102888533.unknown _1102888548.unknown _1102887762.unknown _1102888044.unknown _1102888326.unknown _1102888446.unknown _1102888104.unknown _1102887825.unknown _1102887907.unknown _1102887786.unknown _1102886752.unknown _1102887513.unknown _1102887744.unknown _1102887119.unknown _1102887243.unknown _1102887319.unknown _1102887020.unknown _1102885887.unknown _1102886426.unknown _1102886601.unknown _1102885796.unknown