高等数学高等数学
(提高班)
授课教师
李晓沛
Tel 13878971026
第五章
定积分
第五章第五章
定积分定积分
第三节
定积分的换元法和分部积分法
第三节第三节
定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法
d 22 xxa . 2arcsin2
222
Cxax
a
xa
22
d
ax
x
. ||ln 22 Caxx
. )0( d
axxa xa
xx xlnd .|ln|ln Cx
xxdsec .|sectan|ln Cxx
. arcsin 22 Cxa
a
xa
dxx ln Cxxx ln
. darccos xx
.arctan xdxx .)arctan(21arctan2
2
Cxxxx
.1 arccos 2 Cxxx
Cxxx 21arcsin darcsin xx
由牛顿——莱布尼兹公式,可以通过不定积分来
计算定积分. 一般是将定积分的计算截然分成两步:
先计算相应的不定积分,然后再运用牛顿——莱布尼
兹公式代值计算出定积分. 这种作法相当麻烦,我们
希望将不定积分的计算方法与牛顿——莱布尼兹公式
有机地结合起来,构成定积分自身的计算方法——定
积分的换元法和定积分的分部积分法.
一. 利用不定积分计算定积分
例1
解
. d1
1
0
2 xx计算
数的一个原函数:先用不定积分求被积函
ttxx dcosd1 22
sin tx 令
tt d)2cos1(
2
1
Ctt
4
2sin
2
Cxxx 21
2
1arcsin
2
1
得,—莱布尼兹公式—由牛顿
.
4
1
2
1arcsin
2
1d1
1
0
21
0
2
xxxxx
例1
解
. d1
1
0
2 xx计算
数的一个原函数:先用不定积分求被积函
ttxx dcosd1 22
sin tx 令
tt d)2cos1(
2
1
Ctt
4
2sin
2
Cxxx 21
2
1arcsin
2
1
得,—莱布尼兹公式—由牛顿
.
4
1
2
1arcsin
2
1d1
1
0
21
0
2
xxxxx
10 x
2
0 t
2 0 21 0 2 dcosd1
ttxx tt d)2cos1(2
1 2
0
2
0
4
2sin
2
tt .
4
有什么想法没有?
就是说,计算定积分时可以使用换元法 . 换元
时只要同时改变积分的上、下限,就不必再返回到
原来的变量,直接往下计算并运用牛顿——莱布尼
兹公式便可得到定积分的结果 .
定理 ;)] ,[()( )1( baCxf 设
且单调; ) ] ,[ ()( )2( 1 Ctx
,, ba )( )( )3(
. d)())((d)(
tttfxxfba则
定积分的换元法
应用换元公式时应注意:
(1)
求出 )()]([ ttf 的一个原函数 )(t 后,
不必象计算不定积分那样再要把 )(t 变换
成原变量 x 的函数,而只要把新变量 t 的
上、下限分别代入 )(t 然后相减就行了.
(2)
用 )(tx 把变量 x 换成新变量 t 时,积分限也
相应的改变.
例2
解
.
1
d 5
3
2
1 2 xx x计算
dd 1 2 ,,则令 t
tx
t
x
3
5 2 :
5
3
2
1 : ,故时,且 tx
3
5
2 2
5
3
2
1 2 1
d
1
d
t
t
xx
x
2
3
5 2 1
d
t
t
2
3
5
2 |1|ln tt . 3ln)32ln(
例3
解
. d
)1(
arcsin 4
3
4
1 xxx x计算
dcossin2d sin arcsin 2 ,,,则令 tttxtxtx
的单调性保证 )( tx
3
6
:
4
3
4
1 : ,故时,且 tx
)sin1(sin
dcossin2 d
)1(
arcsin 3
6
22
4
3
4
1
tt
ttttx
xx
x
3
6
d 2
tt
3
6
2
t 12
2
例4
解
.
1
d
2
2 2 x x计算
dtansecd sec ,,则令 tttxtx
.
2
sec 0 ttx 中,故因为
4
3
3
2 : 2 2 : ,故时,且 tx
tan
dsectan
1
d 4
3
3
2
2
2 2
t
ttt
x
x
dsec 4
3
3
2
tt
4
3
3
2 |tansec|ln
tt
.
21
32ln
例5
证
)] ,[()( ,
:设 aaCxf
. d)( 2d)( )( )1(
0
aaa xxfxxfxf 为偶函数,则
. 0d)( )( )2(
aa xxfxf 为奇函数,则
, d)(d)(d)(
0
0 aaaa xxfxxfxxf因为
0: 0: dd ,从而时,,且,则故令 ataxtxtx
0 0 )d)((d)( aa ttfxxf a ttf 0 d)( . d)( 0 a xxf
.d)]()([ d)(d)(d)(
0
0
0
aaaaa xxfxfxxfxxfxxf
于是
,故有为偶函数,则若 )()( )( )1( xfxfxf
. d)( 2d)(
0
aaa xxfxxf
,故有-为奇函数,则若 )()( )( )2( xfxfxf
. 0d)(
aa xxf
.d)]()([ d)(d)(d)(
0
0
0
aaaaa xxfxfxxfxxfxxf
奇函数
计算
解
.
11
cos21
1 2
2
dx
x
xxx
原式
1
1 2
2
11
2 dx
x
x
1
1 211
cos dx
x
xx
偶函数
1
0 2
2
11
4 dx
x
x
1
0 2
22
)1(1
)11(4 dx
x
xx
10 2 )11(4 dxx 10 2144 dxx
.4 单位圆的面积
例9
例6
证
. )) ,(()( 证明:为周期,且以设 TRxf
. d)(d)(
0
TTaa xxfxxfRa ,有
, d)(d)(d)(d)(
0
0
TaTTaTaa xxfxxfxxfxxf因为
0: : dd ,从而时,,且,则故令 atTaTxtxTtx
d)(d)(
0
aTaT tTtfxxf d)(d)( 0 0 aa xxfttf
d)(d)(d)(d)(
0
0
0
aTaTaa xxfxxfxxfxxf于是
d)(d)(d)(
0
0
0 aTa xxfxxfxxf
. d)(
0 T xxf
计算
解
.sinsin
0
53 dxxx
xxxf 53 sinsin)( 23sincos xx
0 53 sinsin dxxx 0 23sincos dxxx
20 23sincos dxxx
2
2
3
sincos dxxx
20 23 sinsin xdx
2
2
3
sinsin xdx
2
0
2
5
sin
5
2
x
2
2
5
sin
5
2 x .
5
4
例7
计算
解
.
)ln1(ln
4
3
e
e xxx
dx
原式
4
3
)ln1(ln
)(lne
e xx
xd
4
3
)ln1(ln
)(lne
e xx
xd
4
3
2)ln(1
ln2
e
e x
xd
43)lnarcsin(2 eex .6
例8
若 )(xf 在 ]1,0[ 上连续,证明
(1) 22 00 )(cos)(sin dxxfdxxf ;
(2) 00 )(sin2)(sin dxxfdxxxf .
由此计算 0 2cos1 sin dxxxx .
证 (1)设 tx
2
,dtdx
0x ,
2
t
2
x ,0 t
例10
20 )(sin dxxf
0
2 2
sin dttf
20 )(cos dttf ;)(cos20
dxxf
(2)设 tx ,dtdx
0x , t x ,0 t
0 )(sin dxxxf 0 )][sin()( dttft
,)(sin)(
0 dttft
0 )(sin dttf 0 )(sin dtttf
0 )(sin dxxf ,)(sin0 dxxxf
.)(sin
2
)(sin
00 dxxfdxxxf
0 2cos1 sin dxxxx
0 2cos1
sin
2
dx
x
x
0 2 )(coscos1 12 xdx 0)arctan(cos2 x
.
4
2)
44
(
2
0 )(sin dxxxf
几个特殊积分、定积分的几个等式
定积分的换元法
dxxf
b
a )( dtttf )()]([
二、小结
定理 ] ,[ )( )( 上可导,在,设函数 baxvxu
]) ,([)()( ,则,且 baRxvxu
. d)()( )()(d)()(
bababa xxvxuxvxuxxvxu
.部积分公式该公式称为定积分的分
证明与不定积分的情形类似 .
定积分的分部积分法
例11
解
. dcos 2
0
xxex计算
xcos xe
xexsin
dsin cosdcos 2
0
2
0
2
0
xxexexxe xxx
dsin1 2
0
xxexxsin
xe
xexcos
dcos sin1 2
0
2
0
xxexe xx
dcos1 2
0
2 xxee x
. )1 (
2
1dcos 22
0
exxex故
什么情况下运用分部积分法呢?
定积分与不定积分的情形相同!
例12
解
. d |ln|
1 e
e
xx计算
e
e
e
e
xxxxxx
1
1
1
1
d ln d )ln( d |ln|
xln 1
x
1
x
ee
e
e xxxxxx
1 1
1
1
1
1 dlnd ln
. ) 11 ( 2
e
例13
证
2 02 0 dcosdsin
xxxxI nnn证明:
. ,
!!
!)!1(
,
2!!
!)!1(
为正奇数
为正偶数,
n
n
n
n
n
n
dsin 2
0
,则令 xxI nn
xn 1sin xsin
xxn n cossin)1( 2 xcos
2
0
12
0
sincosdsin
xxxxI nnn
2 0 22 dcossin)1(
xxxn n
2 02 0 2 dsin)1(dsin)1(
xxnxxn nn
.)1()1( 2 nn InIn
. 1 2
nn In
nI故
, 1 cosdsin ,
2
d 2
0
2
0 1
2
0 0
xxxIxI由于
,所以
;
2!!
!)!1(
2
1
4
3
2
31
0
n
nI
n
n
n
nI
n
n
为正偶数时,当
.
!!
!)!1(
3
2
5
4
2
31
1 n
nI
n
n
n
nI
n
n
为正奇数时,当
2 2
0 0
10 sin d cos d . n nx x x x
在例 中已证明: 证毕
例14
解
. dsin 2
0
6 xx计算
2!!6
!)!1(6dsin2
0
6 xx
.
32
5
2246
135
例15
解
. , d)1(
1
0
2 Znxx n计算
, dcosd ,sin ttxtx 则令
故时且 ,
2
0 : , 10 : tx
2 0 21 0 2 dcoscosd1
tttxx nn)-(
2 0 12 dcos
ttn
.
!)!12(
!)!2(
n
n
计算 .arcsin2
1
0 xdx
解 令 ,arcsin xu ,dxdv
,
1 2x
dxdu ,xv
210 arcsin xdx 210arcsin xx 2
1
0 21 x
xdx
62
1 )1(
1
1
2
1 2
0 2
2
1
xd
x
12
21021 x .12312
则
例16
计算
解
.
)2(
)1ln(1
0 2 dxxx
1
0 2)2(
)1ln( dx
x
x
1
0 2
1)1ln(
x
dx
1
02
)1ln(
x
x
1
0
)1ln(
2
1 xd
x
3
2ln dx
xx 10 1 12 1 xx 2 11 1
10)2ln()1ln(3
2ln xx .3ln2ln
3
5
例17
设 求
解
21 ,sin)( x dtt txf .)(
1
0 dxxxf
因为
t
tsin 没有初等形式的原函数,
无法直接求出 )(xf ,所以采用分部积分法
10 )( dxxxf 10 2 )()(2
1 xdxf
102 )(21 xfx 10 2 )(21 xdfx
)1(
2
1 f 10 2 )(2
1 dxxfx
例18
21 ,sin)( x dtt
txf
,sin22sin)(
2
2
2
x
xx
x
xxf
10 )( dxxxf )1(21 f
1
0
2 )(
2
1 dxxfx
10 2sin22
1 dxxx 10 22sin2
1 dxx
102cos21 x ).11(cos21
,0sin)1(
1
1 dtt tf
思考题
设 )(xf 在 1,0 上连续,且 1)0( f ,
3)2( f , 5)2( f ,求 10 )2( dxxfx .
思考题解答
10 )2( dxxfx 10 )2(2
1 xfxd
1010 )2(21)2(21 dxxfxfx
10)2(4
1)2(
2
1 xff
)0()2(
4
1
2
5 ff .2
计算
解
1
4
0
.
1 cos 2
xdx
x
,cos22cos1 2 xx
40 2cos1 xxdx
4
0 2cos2 x
xdx xdx tan
2
4
0
40tan2
1 xx xdxtan
2
1 4
0
40secln2
1
8
x .
4
2ln
8
练习练习
一、 填空题:
1、
3
)
3
sin( dxx ___________________;
2、 0 3 )sin1( d ________________;
3、 20 22 dxx _____________;
4、 2
1
2
1 2
2
1
)(arcsin dx
x
x ___________;
5、
5
5 24
23
12
sin dx
xx
xx
________________________ ..
练习题
二、 计算下列定积分:
1 、
3
1 22 1 xx
dx ; 3 、; 4 、;
2 0 2cos1 dxx ; 6、2
2
4cos4
dx;
7、 11 2322 )11( dxxxxx ;
8、20 3 },max{ dxxx ;
9、 20 dxxx ( 为参数 ).
三、 设
时,当
时,当
0,
1
1
0,
1
1
)(
x
e
x
xxf
x
求 20 )1( dxxf .
四、设 baxf ,)( 在 上连续,
证明 ba ba dxxbafdxxf )()( .
五、 证明:
10 1`0 )1()1( dxxxdxxx mnnm .
六、证明:
aa a dxxfxfdxxf 0 )]()([)( ,
并求 44 sin1 x
dx .
七、设 1,0)( 在xf 上连续,
证明 20 20 )cos(41)cos( dxxfdxxf .
练习题
一、1、0; 2、
3
4 ; 3、
2
; 4、
32
3 ; 5、0.
二、1、
4
1; 2、
3
322 ; 3、 2ln21 ; 4、
3
4;
5、 22 ; 6、
2
3 ; 7、
4
; 8、
8
;
9、
4
17; 10、 时当 0 , 2
3
8 ; 当 20
时,
3
2
3
8 3 ; 当 2 时, 2
3
8 .
三、 )1ln(1 1 e .
六、 2.
往年考研题
1 12
2
31
1 1 .
2
xe dx e
x
证明
1
1 12 132
13 21 1
2
1 1( )
t
x
t txe dx t e dt te dt
x t
111 2
11
22
1 .
2
t tte e dt e
例
解
往年考研题
1l 2l
30 2 .)()( dxxfxx
C的方程为y=f(x),点(3,2)是它的一个拐点,直线
与 分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线,
其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数,计算定积分
2)0( f .0)3(,2)3( fff(0)=0, f(3)=2,
3030 302230 2 )12)(()()()()()()( dxxxfxfxxxfdxxdxxfxx
3 33
00 0
(2 1) ( ) (2 1) ( ) 2 ( )x df x x f x f x dx
16 2[ (3) (0)] 20.f f
例
解
往年考研题
把 0x 时的无穷小量
dttdttdtt
xxx 0 300 2 sin,tan,cos
2 ,使排在后
面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是[ ]
(A) ,, . (B) ,, .
(C) ,, . (D) ,, .
例
解
.1
2ln
0
2 dxe x求
,sin te x 令
.
sin
cos,sinln dt
t
tdxtx 则
6
2
)
sin
cos(cos dt
t
tt原式 2
6
2
sin
cos dt
t
t
x
t
0 2ln
2
6
2
6
2
6
sin
sin
tdt
t
dt
.
2
3)32ln(
例
.)(
)(
)(
.0)(],[)(
2ab
xf
dxdxxf
xfbaxf
b
a
b
a
证明
上连续,且在区间设
证 作辅助函数
,)(
)(
)()( 2ax
tf
dtdttfxF
x
a
x
a
)(2
)(
1)(
)(
1)()( ax
xf
dttfdt
tf
xfxF
x
a
x
a
,2
)(
)(
)(
)( xaxaxa dtdtxf tfdttf xf
例
0)2
)(
)(
)(
)(()( dtxf tftf xfxF xa即
2
)(
)(
)(
)(
xf
tf
tf
xf,0)( xf
.)( 单调增加xF
,0)( aF又 ,0)()( aFbF
.)(
)(
)( 2ab
xf
dxdxxf
b
a
b
a
即
幻灯片编号 1
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幻灯片编号 7
定积分的换元法
幻灯片编号 9
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幻灯片编号 11
幻灯片编号 12
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幻灯片编号 14
幻灯片编号 15
幻灯片编号 16
幻灯片编号 17
幻灯片编号 18
幻灯片编号 19
幻灯片编号 20
幻灯片编号 21
二、小结
定积分的分部积分法
幻灯片编号 24
幻灯片编号 25
幻灯片编号 26
幻灯片编号 27
幻灯片编号 28
幻灯片编号 29
幻灯片编号 30
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幻灯片编号 33
幻灯片编号 34
幻灯片编号 35
幻灯片编号 36
幻灯片编号 37
练 习 题
幻灯片编号 39
幻灯片编号 40
幻灯片编号 41
幻灯片编号 42
幻灯片编号 43
幻灯片编号 44
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幻灯片编号 46
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