2-1N控制系统的数学模型

nullnull欢迎各位 来到《控制基础》课堂！ 第二章 第二章 控制系统的数学模型 第二章 控制系统的数学模型第二章 控制系统的数学模型2.1 控制系统的微分方程 2.2 非线性数学模型的线性化 2.3 拉氏变换与反变换数学模型的几种表示方式数学模型的几种表示方式 引言 引言描述系统或元件的动态特性的数学表达式叫做系统或元件的数学模型 深入了解元件及系统的动态特性，准确建立它们的数学模型－称建模 物理模型 任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后的元件或系统为该元件或系统的物理模型。简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求，来确定出合理的物理模型。 建立控制系统数学模型的方法有 ：建立控制系统数学模型的方法有 ：法－对系统各部分的运动机理进行分析，物理规律、化学规律。 实验法－人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。分析法建立系统数学模型的几个步骤：分析法建立系统数学模型的几个步骤：建立物理模型。 列写原始方程。利用适当的物理定律—如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等） 选定系统的输入量、输出量及状态变量（仅在建立状态模型时要求），消去中间变量，建立适当的输入输出模型或状态空间模型。实验法 基于系统辨识的建模方法实验法 基于系统辨识的建模方法已知知识和辨识目的 实验设计--选择实验条件 模型阶次--适合于应用的适当的阶次 参数估计--最小二乘法 模型验证—将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近2.1 控制系统的时域数学模型 线性元件的微分方程2.1 控制系统的时域数学模型 线性元件的微分方程例2-1图2-1为由一RC组成的四端无源网络。试列写以U1(t)为输入量，U2(t)为输出量的网络微分方程。null 解：设回路电流i1、i2，根据克希霍夫定律，列写 方程如下：①②③④⑤null 由④、⑤得由②导出将i1、i2代入①、③，则得null这就是RC组成的四端网络的数学模型，是一个二阶线性微分方程。试证明图2-2(a)、(b)所示的机、电系统是相似系 统(即两系统具有相同的数学模型)。 试证明图2-2(a)、(b)所示的机、电系统是相似系 统(即两系统具有相同的数学模型)。 例2-2null对电气网络(b)，列写电路方程如下： 解： 对机械网络：输入为Xr，输出为Xc，根据力平衡，可列出其运动方程式③②④null利用②、③、④求出代入①将①两边微分得比较两个金色的公式，可得出如下机-电相似系统力-电压相似力-电压相似机系统（a）和电系统（b）具有相同的数学模型，故这些物理系统为相似系统。（即电系统为即系统的等效网络） 相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系。 为我们利用简单易实现的系统（如电的系统）去研究机械系统......提供了方便。 因为一般来说，电的或电子的系统更容易，通过试验进行研究。null 2.2 非线性元件微分方程的线性化 具有连续变化的非线性数的线性化，可用切线法或小偏差法。在一个小范围内，将非线性特性用一断直线来代替。（分段定常系统） 一个变量的非线性函数 y=f(x)在x0处连续可微，则可将它在该点附件用台劳级数展开增量较小时略去其高次幂项，则有 增量较小时略去其高次幂项，则有 令 Δy=kΔx k比例系数，函数在x0点切线的斜率 两个变量的非线性函数 y=f(x1,x2)，同样可在某工作点（x10,x20）附近用台劳级数展开为 略去二级以上导数项，并令Δy＝y-f(x10,x20)略去二级以上导数项，并令Δy＝y-f(x10,x20) 这种小偏差线性化方法对于控制系统大多数工作状态是可行的，平衡点附近，偏差一般不会很大，都是“小偏差点”。 null10≤y≤12上线性化。求用线性化方程来计算当x=5，y=10时z值所产生的误差。 解：由于研究的区域为5≤x≤7、10≤y≤12，故选择工作点x0=6，y0=11。于是z0=x0y0=6×11=66. 求在点x0=6，y0=11，z0=66附近非线性方程的线性化表达式。将非线性方程在点x0,y0,z0处展开成泰勒级数，并忽略其高阶项，则有因此，线性化方程式为： z-66=11(x-6)+6(y-11) z=11x+6y-66 当x=5,y=10时，z的精确值为z=xy=5×10=50 由线性化方程求得的z值为z=11x+6y=55+60-66=49因此，误差为50-49=1，表示成百分数 例2-4试把非线性方程 z=xy 在区域5≤x≤7 、第二节 非线性数学模型线性化第二节 非线性数学模型线性化注意 一定要在平衡点附近进行 线性化是一种近似,是有条件的 对某些典型的本质非线性(间隙死区磨擦) 特性不连续,不能进行线性化数 学 模 型 第三节 拉普拉斯变换与反变换 第三节 拉普拉斯变换与反变换 作用: 经过两次变换,方便求解----微分方程 方便求出传递函数,为分析和改善系统服务数 学 模 型 2.3 拉普拉斯变换与反变换 2.3 拉普拉斯变换与反变换⑴ 拉氏变换定义 设函数f(t)满足 ①t<0时 f(t)=0 ② t>0时，f(t)分段连续 则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作 ⑵拉氏变换基本定理 线性定理 位移定理 延迟定理 终值定理 null初值定理 微分定理 积分定理 数 学 模 型null 二、几种典型函数的拉氏变换 1 单位阶跃函数1（t）的拉氏变换 2 指数函数的拉氏变换数 学 模 型null 二、几种典型函数的拉氏变换 3 正弦和余弦函数的拉氏变换 数 学 模 型null 二、几种典型函数的拉氏变换 4 单位脉冲函数的拉氏变换 1数 学 模 型null 二、几种典型函数的拉氏变换 5 单位速度函数的拉氏变换 F（S）=1/S2 6 单位加速度函数的拉氏变换 F（S）=1/S3数 学 模 型null 四、应用拉氏变换求解线性微分方程 步骤：三步曲拉氏变换（微分方程变成代数方程）解代数方程（部分分式法）拉氏反变换（代数方程变成微分方程的解）微分 方程拉氏变换代数 方程求解象 函数反变换原 函数数 学 模 型四、应用拉氏变换求解线性微分方程四、应用拉氏变换求解线性微分方程1 部分分式法（抽出来讲） 2 求解线性微分方程举例数 学 模 型1 部分分式法1 部分分式法分成三种情况讨论： （1）F（S）的极点为各不相同的实数时 （2） （3）数 学 模 型null （1）F（S）的极点为各不相同的实数时数 学 模 型（2） F(s)含有共扼复数极点时（2） F(s)含有共扼复数极点时 数 学 模 型nullA3=1 A1=-1 A2=0 数 学 模 型（3）F(s)含有多重极点时 （3）F(s)含有多重极点时 数 学 模 型null数 学 模 型2 求解线性微分方程（齐与非齐）2 求解线性微分方程（齐与非齐） x(t)=1(t) y-1(0)=0 y(0)=0 s2Y(s)+5sY(s)+6Y(s)=1/S数 学 模 型