正弦量的相量

高教版电子工程系专用高教版电子工程系专用课件 正弦量的相量 正弦量的表示法： ①三角函数 ②正弦波形 ③相量 在直角坐标系中，有向线段A的长度代表正弦量的幅值 ，它的初始位置与横轴正向之间的夹角等于正弦量的初 相位，线段A以角频率 逆时针旋转 则A在纵轴上的投影=正弦量的瞬时值 如图 mU ω ψ A y x 高教版电子工程系专用课件高教版电子工程系专用课件 正弦量可以用有向线段表示，而有向线段可用复数表示， 所以是否可以由此推想：正弦量可以用复数来表示？ 回答是肯定的 只要将直角平面转换成复平面，则有向线段A可用以下的复数式表示 1−= += j jbaA r ψ A a 称为实部 b称为虚部 } 均为实数，即复矢量 在实、虚轴的投影 …………（1） 高教版电子工程系专用课件高教版电子工程系专用课件 r ψ A ψψ sincos jrrjbaA +=+=则 与代数形式的关系 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = += ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = = a barctg bar rb ra ψψ ψ 22 sin cos 或 复矢量 A 的长度 r 称为 A 的模 r >0 复矢量与实轴的夹角ψ称为 A 的辐角 ……………… （2） 高教版电子工程系专用课件高教版电子工程系专用课件 综上，已介绍了复数的两种表示方法，即： jbaA += …………（1） 代数式 ψψ sincos jrrjbaA +=+= …………（2）三角形式 复数还有两种表示方法 高教版电子工程系专用课件高教版电子工程系专用课件 3.指数形式 由欧拉公式： ψψψ sincos je j += ψψψ jrejrA =+=∴ )sin(cos复数 4.极坐标形式 ψ∠= rA 高教版电子工程系专用课件高教版电子工程系专用课件 复复 数数 简简 介介 一、复数的几种表示形式 1. 代数形式（直角坐标形式） 1−=+= jjbaA a 称为实部 b称为虚部 } 均为实数，复矢量 在实、虚轴的投影 r ψ A 高教版电子工程系专用课件高教版电子工程系专用课件 2. 三角形式 “复矢量” A 的长度 r 称为 A 的模 r >0 复矢量与实轴的夹角ψ称为 A 的辐角 ψψ sincos jrrjbaA +=+=则 与代数形式的关系 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = += ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = = a barctg bar rb ra ψψ ψ 22 sin cos 或 高教版电子工程系专用课件高教版电子工程系专用课件 3.指数形式 由欧拉公式： ψψψ sincos je j += ψψψ jrejrA =+=∴ )sin(cos复数 4.极坐标形式 ψ∠= rA 高教版电子工程系专用课件高教版电子工程系专用课件 二、复数运算 加、减宜用代数形式 例：A=a1+jb1 B=a2+jb2 A ± B = (a1 ± a2) + j(b1 ± b2) 乘、除宜用极坐标形式 例： A=a1+jb1=r1∠ψ1 B=a2+jb2= r2∠ψ2 A B = r1 r2 ∠(ψ 1 + ψ 2) 高教版电子工程系专用课件高教版电子工程系专用课件 三、旋转矢量 te tj ωω ∠= 1Q ——称为旋转因子（ ejωt ） 设 ψ∠= rA 故称Aejωt为旋转矢量 ψr tjAe ω则 表示将A逆时针旋转一角度ωt r ψ r ψ 高教版电子工程系专用课件高教版电子工程系专用课件 ψ ψ 四、利用相量表示正弦交流量 如上图，既然有向线段（在复平面内即表示一个复数）的旋 转（其在虚轴上的投影）可以来表示一个正弦量，那么正弦 量也就可以用复数表示，为表区别，我们 把表示正弦量的复数称为相量 高教版电子工程系专用课件高教版电子工程系专用课件 )sin()cos()( ψωψωψω +++=+ tjUtUeU mmtjm )sin(][ )( ψωψω +== + tUeUIu mtjmm 很明显，上式的虚部恰好是 u ，即 设正弦电压 )sin( ψω += tUu m 欧拉公式 θθθ sincos je j += 高教版电子工程系专用课件高教版电子工程系专用课件 称为正弦量 u 的“振幅相量” （最大值相量） 同样有： ψψ jUeUU =∠=• 有效值相量 ψψ ∠==• mjmm UeUU令 mU • [ ] [ ] ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=•== •+ tjmmtjjmmtjmm eUIeeUIeUIu ωωψψω )( 则有： 高教版电子工程系专用课件高教版电子工程系专用课件 复变量 )( ψω +tj meU 为一旋转量，可用复平面上的相量来表示， 模为 Um，幅角为 ψω +t 该相量在复平面上以原点为中心， 该旋转矢量任何时刻在虚轴上的投影正好等于该时刻电压 u 的 瞬时值。 以转速ω逆时针方向旋转。 ψ ψ 高教版电子工程系专用课件高教版电子工程系专用课件 mU • 相量 正好体现了正弦量的两个特征：初相、幅值，但没 能体现ωt。 对线性电路来说，电路中电压、电流都是和电源同频率的正弦量。 ①振幅相量≠正弦量，它们存在一定的对应关系。; 注意： ②振幅相量反映了振幅和初相位的两个要素。 ③旋转因子 ejωt 反映了另一要素—角频率ω。 高教版电子工程系专用课件高教版电子工程系专用课件 例1： Vtu )20314sin(2200 o+= °=°∠= 202200202200 jeu但不能写成： 其对应相量形式: VUm °∠= • 202200 VeVU j ° • =°∠= 2020020200 高教版电子工程系专用课件高教版电子工程系专用课件 解： sradf /62802 == πω Ati )306280sin(25.0 °+=⇒ 例2： 已知 。求iAIHzf ,305.0,1000 °∠== • 高教版电子工程系专用课件高教版电子工程系专用课件 五、相量图 按照各个正弦量的大小和相位关系用初始位置的有向线段 画出的若干个相量的图形，称为相量图。 在相量图上能形象地看出各个正弦量的大小和相互的相位关系。 例： AtIi im )sin( ψω += VtUu um )sin( ψω += VUU uψ∠= • AII iψ∠= • ;Ò注意Ñ: 不同频率的正弦量，不能在同一张图上用相量表示。 ψu ψi 高教版电子工程系专用课件高教版电子工程系专用课件 六、相量运算 则设： ϕjreA =• )( ϕαα +•• == jj reeAB 时当 °= 90α •°+°•• === AjereAB jj )90(90 ϕ jje j =°+°=° 90sin90cos90 令 •°−°−•• −=== AjreeAC jj )90(90 ϕ •°•°°•• −==•= AeAeeAD jj 1809090 j称为旋转90度的算子 高教版电子工程系专用课件高教版电子工程系专用课件 例：已知 AtIiAtIi )sin(2)sin(2 222111 ϕωϕω +=+= 21 iii +=求 解： ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡+⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=+= •• tjmtjm eIIeIIiii ωω 2121 22 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ += •• tjm eIII ω)(2 21 可见，两个同频率正弦量相加仍为同频率的正弦量 高教版电子工程系专用课件高教版电子工程系专用课件 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= • tjm eIIi ω2令： ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ••• tj m tj m eIIIeII ωω )22 21（则有： 上式对任何t 均成立 ••• +=∴ 21 III 213213 ••• −=−= IIIiii 对应有若同理 高教版电子工程系专用课件高教版电子工程系专用课件 21 iii +=求： Ati Ati )30sin(24.42 )45sin(27.70 2 1 °−= °+= ω ω例： °−∠+°∠=+= ••• 304.42457.7021 III解： )1.217.36()5050( jj −++= °∠=+= 4.184.918.287.86 j Ati )4.18sin(24.91 °+=∴ ω 亦可用相量图定性分析 • 1I • 2I • I70.7 42.4 91.4 30o 45o 18.4o 高教版电子工程系专用课件高教版电子工程系专用课件 例3.2.1 试写出表示 VjeU VjeU VeU O O O j C j B j A ) 2 3 2 1(220220 ) 2 3 2 1(220220 ,220220 120 120 0 +−== −−== == • −• • Vtu Vtu tVu O C O B A )120314sin(2220 )120314sin(2220 ,314sin2220 += −= = 的相量，并画出相量图。 AU • CU • BU •