从抛硬币看大于0且小于1的概率的现实基础

从抛硬币看大于0且小于1的概率的现实基础 肖演东(Yandong Xiao)* 摘要 以抛硬币为例，本文揭示大于0且小于1的概率的现实基础来自于，实际测量的结果无法反映 真实的过程并且那些未被测量的或由测量误差引起的等因素对这个过程的最终结果的作用不能被 忽略不计。 关键词 大于0且小于1的概率的现实基础，未被测量，测量误差 概率这个概念早已被广泛使用，不仅在数学当中使用，而且也在自然科学和社会 科学中使用。然而它的现实基础是什么？对此还没有让多数人信服的。进一步地， 概率这个概念的重要性体现在大于0且小于1的概率的使用上，如果只有概率为0或1两种 情形，那么它将显得微不足道。因此，本文重点探讨大于0且小于1的概率的现实基础。 我们从一个简单的例子1开始，这是几乎所有讲概率的入门教材中普遍采用的例 子。我们来抛一块硬币，硬币最终落到平坦的地面上。一般认为，硬币落地静止后有两 种情形，一种是正面朝上，另一种是反面朝上。而在现实当中，硬币还有竖立着静止的 情形。我们把竖立着静止的情形忽略不计，并约定每次起抛前硬币都是正面朝上。 现在开始第一次抛硬币。起抛时刻为 t02，起抛时硬币受力为 F牛顿，且受力点在 硬币反面的点 P位置。硬币落地静止后仍正面朝上。这次硬币从起抛到落地静止历时为 0.5分钟，即整个过程经历的时间段为[t0,t0+0.5]。硬币第一次落地静止后过0.5分钟开始 第二次起抛。起抛时硬币受力仍为 F牛顿，且受力点仍在硬币反面的点 P位置。这次 * 2007年毕业于深圳大学经济学院，获学士学位。 1 当然，本文的思路也适用于许多其它例子。 2 t0以分钟的形式表示。 硬币从起抛到落地静止历时仍为0.5分钟，即整个过程经历的时间段为[t0+1,t0+1.5]。假 定时间的先后3对硬币从起抛到落地静止整个过程没有任何影响，并设 t为一实变量，满 足0≤t≤0.5。如果对任意实数 t4，第二次抛硬币时硬币在时刻(t0+1)+t和第一次抛硬币 时硬币在时刻 t0+t的受力和运动情况完全相同，那么根据力学知识可以断定硬币第二次 落地静止后仍是正面朝上。换句话说，硬币落地静止后正面朝上是必然的。即使硬币在 时刻(t0+1)+t和在时刻 t0+t的受力和运动情况不同，只要对任意时刻(t0+1)+t我们都知道 硬币的受力和运动情况，那么也可以根据力学知识来断定硬币落地静止后是正面朝上抑 或是反面朝上。但不能排除的是，硬币从起抛到落地静止整个过程中所涉及的不同时刻 t的总个数要远远多于现实当中实际进行了测量的那些不同时刻 t的总个数。另外，对 像时刻 t0、F牛顿、点 P、0.5分钟等常量的测量都会产生测量误差。并且对硬币从起抛 到落地静止整个过程中各时点的受力和运动情况的测量同样也会产生测量误差。这使得 我们不能排除以下情形：实际的测量显示第二次抛硬币的初始条件和从起抛到落地静止 整个过程的时间长度跟第一次的完全相同5，并且对实际进行了测量的不同时刻 t，第二 次抛硬币时硬币在时刻(t0+1)+t和第一次抛硬币时硬币在时刻 t0+t的受力和运动情况完 全相同，但硬币落地静止后却是反面朝上。换句话说，尽管实际测量结果显示硬币第二 次从起抛到落地静止整个过程和第一次的完全相同 6，但却出现和第一次抛硬币完全不 同的结果。所以此时只根据实际测量结果无法决定硬币落地静止后是正面朝上抑或是反 面朝上。 让我们重新陈述一下以上这种特定的情形，即实际测量结果显示硬币第二次从起抛 到落地静止整个过程和第一次的完全相同，但硬币两次落地静止后的结果却截然不同。 3 两个时间段[t0,t0+0.5]和[t0+1,t0+1.5]的时间先后显然不同，但它们的时间长度相同。 4 为了避免采用时间无限可分等假定，我们允许时刻t的取值范围是有限多个实数。 5 即第二次起抛时硬币受力仍为 F牛顿，且受力点在硬币反面的点 P位置，硬币从起抛到落地静止历时仍为 0.5分 钟。 6 我们在这里及下文继续假定时间的先后对硬币从起抛到落地静止整个过程没有任何影响。 出现这种情形的原因在于，实际测量的结果无法反映硬币真实的从起抛到落地静止整个 过程7，并且那些未被测量的或由测量误差引起的等因素，对硬币落地静止后是正面朝 上抑或是反面朝上的作用不能被忽略不计。这正是大于0且小于1的概率的现实基础。而 且关键是那些未被测量的或由测量误差引起的等因素对我们来说是无从知晓的，从而也 就缺乏把它们对硬币落地静止后是正面朝上抑或是反面朝上的作用进行量化的依据。 为了确定硬币落地静止后是正面朝上抑或是反面朝上的概率是某个大于0且小于1 的实数，常见的有三种方法。第一种使用“等可能”这样的概念。比如把硬币落地静止 后正面朝上或反面朝上看作是等可能的，从而进一步得到硬币落地静止后正面朝上的概 率是0.5。第二种是个人根据已经掌握的信息，主观地认定硬币落地静止后正面朝上或 反面朝上的概率是某个大于0且小于1的实数，比如0.8。第三种则认为通过在相同的条 件8下重复抛硬币足够多次，硬币落地静止后出现正面朝上的次数和抛硬币的总次数9会 稳定在某个比值，这个比值就是硬币落地静止后正面朝上的概率，比如0.7。不管这三 种方法中的哪一种，都未能顾及那些未被测量的或由测量误差引起的等因素对我们来说 是无从知晓的这个事实。这是这三种方法最为重要的缺陷所在。另外，对于第二种方法 来说，人们往往无法得到一致的某个大于0且小于1的实数作为硬币落地静止后正面朝上 或反面朝上的概率。而对第一种方法和第三种方法，我们总要通过含糊不精的“抛硬币 足够多次”来分别验证“把硬币落地静止后正面朝上或反面朝上看作是等可能的”和“硬 币落地静止后出现正面朝上的次数和抛硬币的总次数会稳定在某个比值”等假定是否合 理。而且第三种方法没有顾及这样的情形，即由于“在相同的条件下重复抛硬币足够多 次”中的“相同的条件”与实际测量的结果是直接相关的，当预先约定的测量次数10以 7 比如硬币从起抛到落地静止整个过程中所涉及的不同时刻 t的总个数要远远多于现实当中实际进行了测量的那些 不同时刻 t的总个数。 8 相同的条件指相同的实际测量结果。本文不采用“相似的条件”这种含糊不清的短语。 9 注意我们在这里把硬币落地静止后竖立不动的那些次数忽略不计。 10 同时也是实际进行了测量的不同时刻 t的总个数。 及预先选取的测量工具的精确程度不同时，尽管都是在“相同的条件”下重复抛硬币足 够多次，但所得到的硬币落地静止后出现正面朝上的次数和抛硬币的总次数的比值却是 不同的，从而得到不同的概率。而且我们甚至不能排除随着预先约定的测量次数增加以 及预先选取的测量工具的精确程度提高，那些未被测量的或由测量误差引起的等因素对 硬币落地静止后是正面朝上抑或是反面朝上的作用可以被忽略不计，从而出现在相同的 条件下重复抛硬币，硬币落地静止后必然是正面朝上或必然是反面朝上。 参 考 文 献 [1] Bertsekas Dimitri P., Tsitsiklis John N.. Introduction to Probability(2nd ed) [M]. USA: Athena Scientific, 2008: 2-3. [2] Chung Kai Lai, AitSahlia Farid. Elementary Probability Theory: with Stochastic Processes and an Introduction to Mathematical Finance (4th ed) [M]. New York: Springer-Verlag, 2003: 22-23. [3] DeGroot Morris H., Schervish Mark J.. Probability and Statistics (4th ed) [M]. USA: Pearson Education, 2012: 2-5. [4] Ross Sheldon. A First Course in Probability (8th ed) [M]. USA: Pearson Education, 2010: 26-28. [5] 陈希孺. 《概率论与数理统计》[M]. 合肥: 中国科学技术大学出版社, 2009: 2-9. [6] 王梓坤. 《概率论基础及其应用》（第 3版）[M]. 北京: 北京师范大学出版社, 2007: 389-398, 408-411.