函数最大最小值

nullnull江西省临川第一中学 游建龙（344100）知识和技能目标 知识和技能目标 理解的最值与极值的区别和联系 进一步明确闭区间[a，b]上的连续函数f(x)，在[a，b]上必有最大、最小值 掌握用导数法求上述函数的最大值与最小值的方法和步骤 null问题情境：在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使成本最低、产量最大、效益最高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值与最小值 如图,有一长80cm,宽60cm的矩形不锈钢薄板,用此薄板折成一个长方体无盖容器,要分别过矩形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形，按加工要求,长方体的高不小于10cm且不大于20cm．设长方体的高为xcm,体积为Vcm3．问x为多大时,V最大?并求这个最大 值。 null解：由长方体的高为xcm， 可知其底面两边长分别是 （80－2x）cm，（60－2x）cm,(10≤x≤20). 所以体积V与高x有以下函数关系 V=（80－2x）（60－2x）x =4（40－x）（30－x）x 分析函数关系可以看出，以前学过的方法在这个问题中较难凑效，这节课我们将学习一种很重要的方法，来求某些函数的最值 null1．我们知道，在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． 问题1：如果是在开区间（a，b）上情况如何？ 问题2：如果[a，b]上不连续一定还成立吗？ null如图为连续函数f(x)的 图象： 在闭区间[a，b]上连续函数f(x)的最大值、最小值分别是什么？分别在何处取得 ？null例1 求函数y= x4－2 x2＋5在区间[－2，2]上的最大值与最小值． 解： y′=4 x3－4， 令y′=0，有4 x3－4x=0，解得： x=－1,0,1 当x变化时，y′，y的变化情况如下表：从上表可知，最大值是13，最小值是4 null例2:如图,有一长80cm,宽60cm的矩形不锈钢薄板,用此薄板折成一个长方体无盖容器,要分别过矩形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形，按加工要求,长方体的高不小于10cm不大于20cm,设长方体的高为xcm,体积为Vcm3．问x为多大时,V最大? 并求这个最大值．分析：建立V与x的函数的关系后，问题相当于求x为何值时，V最小，可用本节课学习的导数法加以解决．null以上分析，说明求函数f(x)在闭区间[a，b]上最值的关键是什么？ 设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求f (x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求f (x)在(a,b)内的极值； （2）将f (x)的各极值与f (a)、f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． null思考：求函数f(x)在[a,b]上最值过程中，判断极值往往比较麻烦，我们有没有办法简化解题步骤？null设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤可以改为： （1）求f(x)在(a,b)内导函数为零的点，并计算出其函数值； （2）将f(x)的各导数值为零的点的函数值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 y′=4 x3－4x 令y′=0，有4x3－4x=0，解得： x=－1,0,1． x=－1时，y=4, x=0时，y=5, x=1时，y=4． 又 x=－2时，y=13， x=2时，y=13． ∴所求最大值是13，最小值是4 解法2：null课堂练习：求下列函数在所给区间上的最大值与最小值： （1）y=x－x3,x∈[0,2] （2）y=x3＋x2－x，x∈[－2,1]null课堂小结： 3．利用导数求函数最值的关键是对可导函数使导数为零的点的判定.1．在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在 [a,b]上必有最大值与最小值;2．求闭区间上连续函数的最值的方法与步骤;作业布置：P139 1、2、3 null江西省临川第一中学 游建龙（344100）