电磁场与电磁波03

nullnull第三章 静 电 场 §3.1  静电场的基本方程  §3.2  电位,电位梯度和电位方程  §3.3  电介质中的电场  §3.4  静电场的边界条件  §3.5  导体系的电容  §3.6  静电场的能量、能量密度和电场力 null§3.1 静电场的基本方程 微分形式: null积分形式: null3.1.1 真空中静电场的散度, 高斯定理 由库仑定律得到电场强度公式为 式中,ρv(r′)为源点r′处的体电荷密度(C/m3); ε0为真空中的介电常数; null图 3 - 1 求E(r)的示意图null 高斯根据库仑定律, 出电场特性与场源电荷间的依赖关系的一般规律, 称 为高斯定理。 真空中的高斯定理可表述为: 真空中的电场强度的闭合面积分等 于面内所包围电荷总电量与ε0的比值, 其数学表示式为null 为了更精确地表示场中任一点的特性, 有必要将积分形式变换为微分形式, 利用高斯公式可得真空中高斯定理的微分形式 上式说明场中任一点上电场强度E的散度等于该点的体电荷密度与真空中介电常数的比值。null图 3 - 2 散度与场源的关系 null 例 3.1 设有二块无限大带电平行平面, 面上分别带有均匀电荷, 上极板电荷密度是-ρs(C/m2), 下极板为+ρs(C/m2), 两极板间距离为d(m), 如图3 - 3所示。试求平行板内、外各点的电场强度E。 图 3 - 3 平行导体板间的电场 null［解］ 因电场强度E与柱形侧面的外法线方向垂直, 点积为零, 所以得 即 故求得两极板间电场强度 null 例 3.2 设有一电荷均匀分布的无限长细直导线, 线密度是ρl(C/m)。试求空间各点的电场强度E。 图 3 - 4 用高斯定理计算细直导线的E null解 上式左边是计算从闭合面上穿出的通量, 因为E与上下两底面平行, 没有通量穿过两底面, 所以从闭合面内穿出的通量为 从而得 null 例 3.3 设有一平板电容器, 其中两平板分别置于x=a及x=b处, 两极板间分布空间电荷, 且介电常数为ε0, 已测得板间的电场强度为 试求两极板间空间电荷密度的分布规律。 ; ［解］ 根据高斯定理 null将Ex代入上式, 则 所以 null3.1.2 静电场的旋度, 守恒定理 静电场本身满足能量守恒特性, 因为在电荷分布稳定情况下, 它没有提供能量的机构, 能量状态是恒定的, 这个特性称为静电场守恒定理。 假设, 沿一闭合回路移动一试验电荷q0, 电场力作功为q0∮lE·dl, 由于场中没有提供能量的机构, 故q0∮lE·dl≯0; 同样, 由于场中没有消耗能量的机构, 则q0∮lE·dl≮0, 因此从能量守恒特性, 只可能有q0∮lE·dl=0, 因q0≠0, 即得到静电场守恒定理的崐数学表示式为 (3 - 6)null利用斯托克斯公式, 可得式(3 - 6)的微分形式为 上式说明任何静电荷产生的电场, 其电场强度矢量E的旋度恒等于零, 静电场是无旋场。 静电场的电力线不可能是闭合曲线。 null§3.2 电位, 电位梯度和电位方程 3.2.1 电位 图 3 - 5 电场力作功与路径无关 null这时电场力作的功是 所以 试验电荷q0从场中的A点沿任意路径移至B点, 电场力作的功都相等, 即沿闭合路径绕一周, 电场力作的净功等于零。 这说明静电场中电场力作的功与路径无关, 只取决于始点和终点的位置, 所以静电场是保守场, 也称位场。 (3 - 8)null 式(3 - 8)表示把单位正电荷从A点移至B点电场力所作的功, 也可称为从A点到B点的电位差 若图3 - 5中设B点为参考点P, 令其电位为零, 则 null 电荷在等位面上移动时, 电场既不对电荷作功, 亦不会获得能量, 即 图 3 - 6 同轴线和带状线的等位面与电力线图 null 例 3.4 试求点电荷、体电荷、面电荷和线电荷产生的电场中的电位分布。 ［解］ (1) 单个点电荷q的电场中任一点的电位: null若令RP→∞, 则 图 3 - 7 求单个点电荷电场的电位 null (2) n个点电荷电场中的电位: ; 应用叠加原理, 对每个点电荷计算电位, 且均取无穷远处为参考点, 则可得 null(3) 体、 面、 线电荷场中的电位: 同样利用叠加原理, 可得 ; 体电荷: 面电荷:线电荷: null 例3.5 设一电荷均匀分布的圆盘, 其半径为a, 电荷密度为ρs(C/m2)。试求与该圆盘垂直的轴线上一点的电位。 图 3 - 8 电荷均匀分布的圆盘 null [解］ 如图3 - 8所示, 取一个宽度为dρ, 半径为ρ的圆环, 因为dρ很小, 源点到场点的距离为 。 如果以无限远处为参考点, 则源点在z点的电位为 所以整个圆盘在z点的电位是 null 例 3.6 设有两条电荷均匀分布的无限长直线电荷, 线电荷密度分别为±ρl(C/m), 二者相距d(m), 如图3 - 9所示。试求空间任意点P(x, y)的电位。 图 3 - 9 两无限长平行直线的电位 null 先求+ρl在P点产生的电位 同理可求得-ρl在P点产生的电位φ-, 积分路径如图中虚线所示, 故 null应用叠加原理, P点的电位应是 上式中的ρ+和ρ-分别表示观察点到+ρl和-ρl的垂直距离。当参考点选在两线电荷连线的中点, 即 处, 则得 null 如果用图3-9(b)的直角坐标, 并以原点O为参考点, 则P点的电位可表示为 null 例 3.7 设有一个半径为a的球体, 其中均匀充满体电荷密度为ρv(C/m3)的电荷, 球内外的介电常数均为ε０, 如图3-10所示。试求: (1)球内外的电场强度E; (2) 验证静电场的两个基本方程▽×E=0及▽ ·E=ρ/ε0; (3) 球内外的电位分布; (4) 画出球内外的E、φ随半径r的分布图。 ［解］ (1) 因为电荷分布为均匀球体, 所以电场有球对称性, 即在与带电球同心, 半径为r的高斯面上, E是常数,方向是径向, 可以应用高斯定理求距球心r处的电场强度。null 当r＜a时,  所以 当r＞a时, 所以 null图 3 - 10 球形体电荷的电场 null (2) 采用球坐标散度、旋度公式。因为球内、外的电场强度只是坐标r的函数, 所以 当ra时，null (3) 因为电荷分布在有限区域, 故球内、 外的电位分布均可选无限远处为参考点。当r＜a时, 当r>a时,null 如果不选无限远处为参考点, 而选择球心为零电位点, 则空间各点的电位为 ; 当r＜a时, 当r＞a时, null3.2.2 电位梯度 图 3 - 11 求电位梯度 null 设在静电场中沿任一方向l, 将单位正电荷从等位面φA移动一很小距离dl至等位面φB上的一点, 如图3 - 11所示, 则单位正电荷在前后位置上的电位降为 即 因为电场强度矢量与等位面正交, 所以等位面上任一点的场强只有法向分量。 因此当l沿等位面的法线方向取向时, 则得到 nullnull例 3 – 8 试求电偶极子电场的电场强度与电位。 图 3 - 12 电偶极子 null ［解］采用球坐标系, 设原点在电偶极子的中心, 并让z轴与电偶极子轴重合。我们先求远离电偶极子任一点P(r, θ, φ)的电位, 再由E=-▽φ求电场强度。 设电位参考点在无限远处, 则P点的电位等于+q和-q在该点电位之和, 表示式为 利用余弦定理可得 null因为r>>2l, 故将r1、r2用二项式定理展开, 并略去高阶小项, 得 所以 null 取矢量Pe, 其大小等于乘积q2l, 方向由-q指向+q, 该矢量称为电偶极子的电矩, 单位C·m, 简称偶极矩, 即 于是得到 偶极子的电场强度可在球坐标系中对上式求梯度得到 null图 3 - 13 电偶极子电力线与等位线分布图 null3.2.3 电位方程 称为电位的泊松(Poisson)方程。 如果介质中无自由电荷存在, 即ρv=0, 则得 上式称为电位的拉普拉斯(Laplace)方程。 null§ 3.3 电介质中的电场 为了计算电介质内所有电偶极子产生的宏观电场, 我们用极化强度P来表示电介质的极化程度, 其表示式为 式中ΣPe是体积元ΔV内偶极矩的矢量和, P是一个矢量函数, 它的方向取决于ΣPe, 大小是单位体积内的电偶极矩。 null图 3 - 14 计算束缚电荷的电场 nullA点的电位是 因此, 整个电介质中偶极矩在A点的电位为 null可改写为 null 体积分中的(-▽′·P) 相当于一种体电荷密度; 面积分中的 相当于一种面电荷密度。显然这是电介质受了电场影响而产生的束缚电荷。 我们定义 ; 束缚体电荷密度 束缚面电荷密度 null3.3.2 电介质中的高斯定理 电介质中高斯定理的微分形式应改写为 (3 - 29)null矢量(ε0E+P)的散度仅与自由电荷有关, 称该矢量为电通密度(或称电位移矢量), 其单位为C/m2(库/米2), 用D表示, 即 式(3 - 29)可表示为 将式(3 - 31)两边在任一体积V内积分, 并应用高斯公式, 则得 (3 - 31)或 (3 - 30)null3.3.3 D与E的关系, 介电常数 实验证明, 在这类电介质中, 极化强度矢量P与电介质中的合成电场强度成正比, 它们的关系是 上式中xe称为电介质的极化率, 是无量纲的常数, 其大小取决于电介质的性质。将式(3 - 33)代入式(3 - 30)得 (3 - 33)上式中 null表 3 - 1 电介质的介电常数和击穿强度 null 例 3.9 设有两块很大的平行导体板, 板间距离为d, 且d比平板的长和宽均小得很多。两板接上直流电压源U, 充电后又断开电源; 然后在两板间插入一块均匀介质板, 其相对介电常数εr=9。假设介质板的厚度比d略小一点, 留下一空气隙, 如图3 - 15所示。 试求: (1) 放入介质板前后, 平行板间各点的电场强度; (2) 介质板表面的束缚面电荷密度, 和介质板内的束缚体电荷密度。 null图 3 - 15 两平行导体板间的电场 (a) 插入介质板前的电场; (b) 插入介质板后的电场null ［解］ 因为两板间距离d远小于平板的尺寸, 所以可以忽略边缘效应, 认为板间的电场是均匀的, 方向与极板垂直。   (1) 加入介质板前的电场强度为 (即方向从正极板指向负极板) 设两极板上自由电荷面密度分别为ρs和-ρs, 根据高斯定理, 作一柱形高斯面, 如图3 -15(a)中虚线所示, 上下侧面与极板平行, ΔS是其面积, 所以 null因而得 加入介质板后的电场: 因为充电后电源已被切断, 所以极板上的自由电荷密度保持不变。 用上面同样的方法作高斯面, 并用高斯定理求得 所以空气间隙中的电场强度为 (与未加介质板前相同) 介质中的电场强度为 (是未加介质板前场强的1/9) null(2) 介质中的极化强度 null 如果考虑束缚电荷存在, 则两板间的全部空间(包含介质空间)都视为空气(εr=1)。 两层束缚面电荷在空气间隙部分产生的电场为零, 所以空气间隙的电场与未加介质板前相同。而在介质板所在区域内, 电场是两层自由电荷和两层束缚面电荷产生场的叠加, 它们产生的电场相反, 即 null 例3.10 设有一填充两层均匀电介质的同轴电缆, 内导体半径a=5mm, 外导体内半径b=15mm, 两介质分界面半径为c, 内外两层介质的介电常数分别为εr1=2.7(聚苯乙烯), εr2=3(纸), 且聚苯乙烯和纸的击穿场强各为Emax1=20×106(V/m), Emax2=15×106(V/m), 电缆横截面如图3 - 16所示。 ; 试求: (1) 画出电场强度E及电通量密度D随半径变化的分布图。 (2) 当崐两介质分界面半径c为何值时, 两层介质均被击穿? 这时该同轴电缆的击穿电压为多少伏? null ［解］ 设内、外导体沿轴线方向单位长度带电量分别为+ρl和-ρl, 与电缆同轴且半径为ρ的圆柱面上场强大小相等、方向为 向。 (1) 应用高斯定理, 可得内、 外导体间(a＜ρ＜b)的电通量密度:null当r=a时, 当r=b时, 在介质1中(a＜ρ＜c), 电场强度为 介质2中(c＜ρ＜b)的电场强度 null令 当当null图 3 - 16 同轴电缆中的电场null (2) 如果电场强度最大值等于或大于电介质的击穿场强时介质就被击穿, 所以 得c=6mm,U0=2.7×105Vnull§ 3.4 静电场的边界条件 静电场的边界条件是研究物理量D、E、φ在媒质交界面上各自满足的关系。 与交变电磁场相同, 由静电场基本方程的积分形式, 即∮S D·ds=Q; 和∮lE·dl=0, 推导出两种不同媒质交界面的边界条件。为使导出的边界条件不受所取的坐标系的限制, 可将D、E在交界面上分成两个相互垂直的分量, 即垂直于交界面的法向分量(下标以n表示)和平行于交界面的切向分量(下标以t表示), 即 null3.4.1 D与E满足的边界条件 或 式中,ρs为交界面上自由面电荷密度, 单位为C/m2。该式表示, 若两种媒质交界面上有自由电荷, 则D的法向分量不连续。 (1) 如果第二媒质是导体, 第一媒质是电介质。因为静电场中导体内部电场为零, 式(3 - 37)变为 (3 - 37)null (2) 如果交界面的两侧都是电介质, 且分界面上没有自由电荷, 即ρs=0, 则式(3 - 37)改写为 上式也可写为 null 根据静电场中E沿任意闭合路径的环量恒等于零这一概念, 沿交界面作一矩形闭合路径, 可以推得 可改写为上两式相除, 得 null图 3 - 17 电场方向在 交界面上的曲折 null图 3 - 18 推导电位的边界条件 3.4.2 电位φ满足的边界条件 根据静电场的无旋性∮lE·dl=0, 在交界面两侧取一封闭矩形, h趋近于零, 如图3 - 18所示。 null当电场强度E沿封闭矩形ABCD积分, 可得 当h→0时, C与B趋于同一点P, 取作为参考点,∫APE1·dl1=φA为介质1中边界面处的电位, 所以 得 或 null因为 所以边界条件D1n-D2n=ρs可改写为 对两种介质的交界面, 则有 null 例 3.11 如图3 - 19所示的两个无限长同轴圆柱, 内、 外导体半径分别为a和b, 两导体间部分填充介电常数为ε的电介质, 内外导体间的电压为U0。图(a)中电介质与空气分界面的半径为c; 图(b)中0＜φ＜φ1间部分填充电介质。试对该二同轴线分别求出: (1) 内、 外导体间的电场强度E及电通量密度D; ; (2) 导体表面上单位长度的带电量ρl。 null图 3 - 19 部分填充介质的同轴电缆 null ［解］ 因为同轴圆柱是轴对称结构, 故只有沿半径ρ方向的电场。图(a) 结构中, 电场垂直于介质与空气的交界面, 根据两介质交界面上法向分量电通量密度相等的边界条件, 可知道不同介质内D的表示式相同。而在图(b)结构中, 电场平行于介质与空气交界面, 由交界面上电场强度切向分量连续的边界条件, 崐得知不同介质内E的表示式相同。 (1) 图(a)结构: 当ρ=c时, 令内、外导体表面上单位长度电量分别为+ρl、-ρl(C/m), 根据高斯定理可得 nulla＜ρ＜c时, c＜ρ＜b时, null所以内导体带电量为+ρl ，外导体带电量为-ρl null(2) 图(b)结构: 当φ=0时, 当0< φ< φ1当φ1< φ< 360。时null所以 因而得 null 例 3.12 试用电位微分方程, 求解例3.7中球内、外的电位和电场强度。 例3.7中我们首先采用高斯定理求出场强, 然后从电场强度E的线积分来求电位。 本例中先求电位, 再由电位求场强。 解：设球内、外的电位分别为φ1和φ2, φ1满足泊松方程, φ2满足拉普拉斯方程, 由于电荷均匀分布, 场球对称, 所以φ1、 φ2均是球坐标r的函数。 ;null(1) 分别列出球内、外的电位方程: 当r≤a时, 当r≥a时, 将上述两个方程分别积分两次可得φ1、φ2的通解: nullnull最后得到电位函数: 将上述两个方程分别积分两次可得φ1、 φ2的通解：null 例 3.13 如图3 - 20所示三个区域, 它们的介电常数均为ε0, 区域2中的厚度为d(m), 其中充满体电荷密度为ρv(C/m3)的均匀体电荷, 分界面为无限大。试分别求解①、②、③区域的位函数与电场强度。 图 3 - 20 平板形体电荷的几何关系 null ［解］设①、 ②、 ③区域的电位函数分别为φ1(y)、φ2(y)、 φ3(y)。 (1) 分别列出三个区域的电位方程。 在①、 ③两个区域内电位满足拉普拉斯方程, 而第②区域的电位满足泊松方程: null将上面三个方程分别分两次可得 由场分布的y=0平面对称性，可知φ3(y)= φ1(-y)，所以我们只需求解φ1和φ2，也就是只要根据边界条件确定常数C1、 C2 、 C3 、 C4。 null(2) 由边界条件确定常数: 边界条件为: ① 时, φ1=φ2; (交界面上无自由面电荷); ②y=0, φ2=0 因体电荷板无限大, 不能选择无限远处为参考点, 这里选择y=0处为参考点。 null③由场分布的对称性, φ2(y)=φ2(-y) ; 由条件②、 ③可得: 由条件①可得 null根据公式 可求得三个区域的电场分布: null§3.5 导体系的电容 一、双导体的电容 定义: 二导体带有等量异性 电荷时, 电量与两导体间电 位差之比, 即 电容可用来储存能量(energy-storage elements)，并能将储存的能量释放回电路。 电容无法自行产生能量，故称被动元件(passive elements)。 电容是根据电场现象制造的电路元件，将能量储存於电场。nullnull例 3.14 设无限长同轴线内外导体间充满介电常数为ε (F/m)的均匀电介质, 且内导体半径为a (m), 外导体的内半径为b (m), 如图3 - 21所示。试求同轴线单位长度的电容。 图 3 - 21 同轴线 解

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步骤： 1、求解内外导体间的电场 2、求解内外导体间的电位差 3、求解同轴线单位长度的电容null则两导体间的电位差 同轴线单位长度电容 解:设内外导体单位长度的带电量分别为+ρl和-ρl (C/m)。 用高斯定理可求得内外导体间的电场强度 注：此处引用例3.2 结论 见47页null例3.15 设一无限长平行双导线置于空气中(介电常数为ε0), 两导体的半径均为a (m), 且它们轴线间的距离为d (m), 如图3 - 22所示。试求: (1)在两线间距离较远的情况下, 求单位长度的电容; (2)在两线间距离较近的情况下, 求单位长度的电容。 ［解］(1) 由题意, 二线间距离较远(即2a<