直线方程

第1讲 直线的倾斜角与斜率及直线方程 ★知识梳理★ 1、直线的倾斜角与斜率: 对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在直线绕着它与直线的交点按照逆时针方向旋转到和直线重合时，所转过的最小正角叫倾斜角；倾斜角的取值范围是[00，1800) 直线的倾斜角α与斜率k的关系:当α 时， k与α的关系是 ；α 时，直线斜率不存在； 经过两点P1(x1,y1)P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式是 ； 三点 共线的充要条件是 2.直线方程的五种形式: 点斜式方程是 ；不能示的直线为垂直于 轴的直线 斜截式方程为 ；不能表示的直线为垂直于 轴的直线 两点式方程为 ；不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线 截距式方程为 ；不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线和过原点的直线. 一般式方程为 . 3.几种特殊直线的方程: ①过点 垂直于x轴的直线方程为x=a;过 垂直于y轴的直线方程为y=b ②已知直线的纵截距为 ,可设其方程为 ; ③已知直线的横截距为 ,可设其方程为 ; ④过原点的直线且斜率是k的直线方程为y=kx ★重难点突破★ 重点: 理解倾斜角与斜率的对应关系,熟练利用五种形式求直线方程 难点:在求直线方程时,条件的转化和设而不求的运用 重难点:结合图形,把已知条件转化为确定直线位置的要素,从而顺利求出直线方程 （1）倾斜角与斜率的对应关系 涉及这类问的题型一般有：（1）已知倾斜角(或范围)求斜率(范围)（2）已知斜率(或范围)求倾斜角(或范围)，如： 问题1：直线 的倾斜角 是 A. B. C. D. 问题2: 求直线 的倾斜角的取值范围 点拨: 要从 和正切函数的单调性来理解倾斜角与斜率的对应关系， ①当 时, , 随 的增大而增大; ②当 时, , 随 的增大而增大. 问题3：已知函数 ，当 ，方程 表示的直线是 （3）选择恰当的形式求直线方程 问题4:过点 的直线分别交 轴、 轴的负半轴于 两点，当 最小时，求直线 的方程。 问题5:求过点 ，且在 轴上的截距是在 轴上的截距的2倍的直线方程。 点拨: 设直线方程都要考虑是否丢解的问题，本题用截距式设直线方程容易漏掉过原点的直线，应警惕。 解：当直线过原点时,方程为 ;当直线不经过原点时,设方程为 ,把 代入得 , 综上,所求方程为 或 ★热点考点题型探析★ 考点1 直线的倾斜角和斜率 题型1 ：已知倾斜角(或范围)求斜率(或范围)或已知斜率(或范围)求倾斜角(或范围) [例1 ]已知经过 的直线的倾斜角为 ，且 ，试求实数 的取值范围。 注意：根据正切函数在 上的单调性,要分 ; EMBED Equation.3 三种情况讨论,特别注意 时容易遗漏. 题型2 ：动直线与线段(曲线段、区域)相交 [例2 ]已知直线l:y=kx-2和两点P（1，2）、Q（-4，1）,若l与线段PQ相交，求k的取值范围； 【新题导练】 1. 下列多组点中，三点共线的是( ) A.(1，4)，(-1，2)，(3，5) B.(-2,-5),(7,6),(-5,3) C.(1,0),(0,- ),(7，2) D.(0，0)，(2，4)，(-1，3) 2.（广东省四校联合体2007-2008学年度联合考试）若函数f(x)=log2（x+1）且a＞b＞c＞0，则 、 、 的大小关系是 A、 ＞ ＞ B、 ＞ ＞ C、 ＞ ＞ D、 ＞ ＞ 3. (华南师大附中2009届高三综合测试（一）)已知直线 （t为参数），则下列说法错误的是 （　　） A．直线的倾斜角为 B．直线必经过点 C．直线不经过第二象限 D．当t=1时，直线上对应点到点（1,2）的距离为 4. 若 为不等式组 表示的平面区域，则当 从－2 连续变化到1时，动直线 扫过 中的那部分区域的面积为 5.在平面直角坐标系中，点 的坐标分别为 ．如果 是 围成的区域（含边界）上的点，则 的取值范围是 考点2 求直线方程 题型：根据题目条件，选择方程的形式求直线方程 [例3 ] 等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线2x+y–6=0上，顶点A的坐标是(1, –1)，求边AB, AC所在的直线方程. 注意：求直线方程的一般步骤:(1)寻找所求直线的满足的两个条件(2)将条件转化,使转化后的条件更利于列出方程组(3)列方程组求解 [例4] 过点P（0，1）作直线l，使它被两直线l1:2x+y-8=0和l2：x-3y+10=0所截得的线段被点P平分的直线的方程. 7.已知点A（3，4） （1）经过点A且在两坐标轴上截距相等的直线方程为： ； （2）经过点A且与两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程为 ： （3）经过点A且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为： ； （4）经过点A且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程为： ； 8.已知直线 经过点 ,分别交 轴， 轴正半轴于点A，B，其中O为原点，求 △AOB的面积最小时，直线 的方程； [解析] 设直线 的方程为 , 令 ,令 , , , 当且仅当 ，即k=±4时等号成立，但k<0,故直线 的方程为： 考点3 对称问题 题型1：求点关于某直线的对称点或求两点的对称直线方程 [例5 ] [例5 ]已知直线l:2x-3y+1=0,点A（-1，-2），求： （1）点A关于直线l的对称点 的坐标； （2）直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线 方程； （3）直线l关于点A(-1，-2)对称的直线 的方程； 注意：（1）要抓住两点关于直线对称的特征来列式； （2）点对称是其它对称问题（曲线的对称等）的基础，务必重点掌握； 题型2：利用对称知识解决有关问题 [例6 ] [2008·深一模] 如图，已知 、 ，从点 射出的光线经直线 反向后再射到直线 上，最后经直线 反射后又回到 点，则光线所经过的路程是 A． B． C． D． SHAPE \* MERGEFORMAT 【解题思路】：利用对称知识，将折线 的长度转化为折线 的长度 9.（2006中山）将一张坐标纸折叠一次，使得点（0，2）与点（-2，0）重合，且点（2003，2004）与点（m,n）重合，那么n-m= ; [解析] 1. 点（0，2）与点（-2，0）的连线平行于点（2003，2004）与点（m,n）的连线 11.若点P（a，b）与Q（b-1，a+1）关于直线 对称，则 的方程为 函数性质强化巩固训练 1．（06北京改编）已知 是上的减函数，那么的取值范围是 2．（2008浙江理）已知t为常数，函数在区间[0，3]上的最大值为2， 则 3．已知函数，求的值 4. （09年山东梁山）定义在区间上的函数f (x)满足：对任意的， 都有. 求证f (x)为奇函数； 5.设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a2+a+1)