§3.2 柯西积分定理与原函数

null§3.2 柯西积分定理与原函数§3.2 柯西积分定理与原函数一、柯西定理及其推论1825年柯西证明了解析函数的积分与路径无关。定理3.2 （Cauchy定理）设 f (z)在单连通域E内解析,C为E内任一简单闭曲线，则证明：令则 null内连续，并适合C－R条件： 所以由格林公式得即定理3.3如果函数 f (z)在单连通域E内解析，那么而与C的路径无关。例1例1设C是正向圆周则以下积分都等于0。(1)(2)(3)二、原函数与不定积分二、原函数与不定积分一个单值函数，记为：定理3.4设 f (z)在单连通域E内解析，且C为证证因 f (z)在E内解析，由定理2 ，F (z) 与路径无关， 从而P (x , y)与Q (x , y)路径无关，所以P (x , y)与Q (x , y)在E内可微，并且有从而有所以 F (z)为解析函数，且null f (z)的任两个原函数只相差一个常数。若函数 f (z)在区域D内解析， f (z)在D内的一个原函数，原函数与不定积分定义3.2设函数 f (z)在区域D内连续，若D内的函在D内的一个原函数，的不定积分。 f (z)的全体原函数称为 f (z)定理3.5是则证明：证明：为 f (z) 的一个原函数令得令得例2 计算下列积分例2 计算下列积分解：1） 2）三、复合闭路定理（柯西定理的推广）三、复合闭路定理（柯西定理的推广）复合闭路c区域D内一条正向限条互不包含互不相交的负即有定理3.6 （复合闭路定理）如果 f (z)在多连通域D内解析，所围成的区域全包含于D中，那么即证明：证明：如图所示：互不相交，且全在D内的连接,形成一个以的单连通区域， f (z)在该区域内解析，从而为边界注意到沿与沿的积分相抵消，即得作n条例3例3闭路变形公式形域中解析，则有解：使c1包含于c内，由复合闭路定理得：例4例4其中c为内部包含 z =0和z=1的任何正向简单闭曲线。解：如图所示，在c内分别作以z=0和z=1为圆心互不相则由复合闭路定理有格林(Green)公式设D是以光滑曲线C为边界的单连通区域(也可为一般区域，此时，C是多条光滑或按段光滑的曲线组成，其正向按区域边界的正向约定取)，函数P(x,y)和Q(x,y)在D及C上连续并且具有对x和y的连续偏导数，则有：格林(Green)公式