向量

28．（宣武·理·题19） 已知椭圆 的离心率为 ． ⑴若原点到直线 的距离为 ，求椭圆的方程； ⑵设过椭圆的右焦点且倾斜角为 的直线 和椭圆交于 两点． i)当 ，求 的值； ii)对于椭圆上任一点 ，若 ，求实数 满足的关系式． 【解析】 ⑴∵ ，∴ ． ∵ ，∴ ． ∵ ，∴ ，解得 ． 椭圆的方程为 ． ⑵ i)∵ ，∴ ，椭圆的方程可化为 …………① 易知右焦点 ，据题意有 ： ………② 由①，②有： …………③ 设 ， ∴ ii)显然 与 可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量 ，有且只有一对实数 ，使得等式 成立． 设 ， ∵ ，∴ 又点 在椭圆上，∴ ……………④ 由③有： 则 ……………⑤ 又 在椭圆上，故有 …………⑥ 将⑥，⑤代入④可得： ． 31．（崇文·文·题19） 已知椭圆 短轴的一个端点 ，离心率 ．过 作直线 与椭圆交于另一点 ，与 轴交于点 （不同于原点 ），点 关于 轴的对称点为 ，直线 交 轴于点 ． ⑴求椭圆的方程； ⑵求 的值． 【解析】 ⑴由已知， ． 所以椭圆方程为 ． ⑵设直线 方程为 ．令 ，得 ． 由方程组 可得 ，即 ． 所以 ， 所以 ， ． 所以 ． 直线 的方程为 ． 令 ，得 ． 所以 = ． 18．[山东省潍坊市2007—2008学年度高三第一学期期末考试数学试题（理科）第21题]（本小题满分12分） 已知椭圆的两个焦点为F1，F2，椭圆上一点M满足 （1）求椭圆的方程； （2）若直线L：y=与椭圆恒有不同交点A、B，且（O为坐标原点），求k的范围。 18．[山东省潍坊市2007—2008学年度高三第一学期期末考试数学试题（理科）第21题] 解：（1）设F1（－c,0），F2（c，0） ……………………………………………………2分 ① 又点M在椭圆上 ② 由①代入②得 整理为： …………………………4分 ∴椭圆方程为…………………………5分 （2）由………………7分 设 则 ………………10分 ……………………12分 40.（天津理18）在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆的左右焦点．已知△为等腰三角形． （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设直线与椭圆相交于两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程． 本小题主要考查椭圆的方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识，考查用代数研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力.满分13分. （I）解：设 由题意，可得 即 整理得（舍）， 或所以 （II）解：由（I）知 可得椭圆方程为 直线PF2方程为 A，B两点的坐标满足方程组 消去y并整理，得 解得 得方程组的解 不妨设 设点M的坐标为， 由 于是 由 即， 化简得 将 所以 因此，点M的轨迹方程是 19．（宁夏理2007本小题满分12分） 在平面直角坐标系 中，经过点 且斜率为 的直线 与椭圆 有两个不同的交点 和 ． （I）求 的取值范围； （II）设椭圆与 轴正半轴、 轴正半轴的交点分别为 ，是否存在常数 ，使得向量 与 共线？如果存在，求 值；如果不存在，请理由． 19．解：（Ⅰ）由已知条件，直线 的方程为 ， 代入椭圆方程得 ． 整理得 　　　① 直线 与椭圆有两个不同的交点 和 等价于 ， 解得 或 ．即 的取值范围为 ． （Ⅱ）设 ，则 ， 由方程①， ．　　　② 又 ．　　　　③ 而 ． 所以 与 共线等价于 ， 将②③代入上式，解得 ． 由（Ⅰ）知 或 ，故没有符合题意的常数 ． 20．（辽宁理2007本小题满分14分） 已知正三角形 的三个顶点都在抛物线 上，其中 为坐标原点，设圆 是 的内接圆（点 为圆心） （I）求圆 的方程； （II）设圆 的方程为 ，过圆 上任意一点 分别作圆 的两条切线 ，切点为 ，求 的最大值和最小值． 本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分14分． （I）解法一：设 两点坐标分别为 ， ，由题设知 ． 解得 ， 所以 ， 或 ， ． 设圆心 的坐标为 ，则 ，所以圆 的方程为 ． 4分 解法二：设 两点坐标分别为 ， ，由题设知 ． 又因为 ， ，可得 ．即 ． 由 ， ，可知 ，故 两点关于 轴对称，所以圆心 在 轴上． 设 点的坐标为 ，则 点坐标为 ，于是有 ，解得 ，所以圆 的方程为 ． 4分 （II）解：设 ，则 ． 8分 在 中， ，由圆的几何性质得 ， ， 所以 ，由此可得 ． 则 的最大值为 ，最小值为 ． 20．（福建理2007本小题满分12分）如图，已知点 ， 直线 ， 为平面上的动点，过 作直线 的垂线，垂足为点 ，且 ． （Ⅰ）求动点 的轨迹 的方程； （Ⅱ）过点 的直线交轨迹 于 两点，交直线 于点 ，已知 ， ，求 的值； 解法一：（Ⅰ）设点 ，则 ，由 得： ，化简得 ． （Ⅱ）设直线 的方程为： ． 设 ， ，又 ， 联立方程组 ，消去 得： ， ，故 由 ， 得： ， ，整理得： ， ， ． 1.（2008安徽卷22）．（本小题满分13分） 设椭圆 过点 ，且着焦点为 （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）当过点 的动直线 与椭圆 相交与两不同点 时，在线段 上取点 ，满足 ，证明：点 总在某定直线上 解 (1)由题意： ，解得 ，所求椭圆方程为 (2)方法一 设点Q、A、B的坐标分别为 。 由题设知 均不为零，记 ,则 且 又A，P，B，Q四点共线，从而 于是 ， ， 从而 ， （1） ， （2） 又点A、B在椭圆C上，即 （1）+（2）×2并结合（3），（4）得 即点 总在定直线 上 （2008辽宁卷20）．（本小题满分12分） 在直角坐标系 中，点P到两点 ， 的距离之和等于4，设点P的轨迹为 ，直线 与C交于A，B两点． （Ⅰ）写出C的方程； （Ⅱ）若 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，求k的值； （Ⅲ）若点A在第一象限，证明：当k>0时，恒有| |>| |． 20．本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分12分． 解： （Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以 为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴 ， 故曲线C的方程为 ． 3分 （Ⅱ）设 ，其坐标满足 消去y并整理得 ， 故 ． 5分 若 ，即 ． 而 ， 于是 ， 化简得 ，所以 ． 8分 （Ⅲ） ． 因为A在第一象限，故 ．由 知 ，从而 ．又 ， 故 ， 即在题设条件下，恒有 ． 12分 12.（陕西卷20）．（本小题满分12分） 已知抛物线 ： ，直线 交 于 两点， 是线段 的中点，过 作 轴的垂线交 于点 ． （Ⅰ）证明：抛物线 在点 处的切线与 平行； （Ⅱ）是否存在实数 使 ，若存在，求 的值；若不存在，说明理由． 20．解法一：（Ⅰ）如图，设 ， ，把 代入 得 ， 由韦达定理得 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 点的坐标为 ． 设抛物线在点 处的切线 的方程为 ， 将 代入上式得 ， 直线 与抛物线 相切， ， ． 即 ． （Ⅱ）假设存在实数 ，使 ，则 ，又 是 的中点， ． 由（Ⅰ）知 ． EMBED Equation.DSMT4 轴， ． 又 ． ，解得 ． 即存在 ，使 ． 解法二：（Ⅰ）如图，设 ，把 代入 得 ．由韦达定理得 ． EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 点的坐标为 ． ， ， 抛物线在点 处的切线 的斜率为 ， ． （Ⅱ）假设存在实数 ，使 ． 由（Ⅰ）知 ，则 ， ， ，解得 ． 即存在 ，使 ． 13.（2008四川卷21）．（本小题满分12分） 设椭圆 的左右焦点分别为 ，离心率 ，右准线为 ， 是 上的两个动点， （Ⅰ）若 ，求 的值； （Ⅱ）证明：当 取最小值时， 与 共线。 【解】：由 与 ，得 ， 的方程为 设 则 由 得 ① （Ⅰ）由 ，得 ② ③ 由①、②、③三式，消去 ，并求得 故 （Ⅱ） 当且仅当 或 时， 取最小值 此时， 故 与 共线。 33、(广东省惠州市2008届高三第三次调研考试)已知圆 ： . （1）直线 过点 ，且与圆 交于 、 两点，若 ，求直线 的方程; （2）过圆 上一动点 作平行于 轴的直线 ，设 与 轴的交点为 ，若向量 ，求动点 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线. 解（Ⅰ）①当直线 垂直于 轴时，则此时直线方程为 ， 与圆的两个交点坐标为 和 ，其距离为 ，满足题意……… 2分 ②若直线 不垂直于 轴，设其方程为 ， 即 …………………………………………………… 3分 设圆心到此直线的距离为 ，则 ，得 ∴ ， ， 故所求直线方程为 ……………………………………5分 综上所述，所求直线为 或 …………………… 6分 （Ⅱ）设点 的坐标为 ， 点坐标为 ,则 点坐标是 …… 7分 ∵ ，∴ 即 ， EMBED Equation.3 …………9分 又∵ ，∴ …………………………… 10分 由已知，直线m ∥ox轴，所以， ，…………………………… 11分 ∴ 点的轨迹方程是 ，…………………… 12分 轨迹是焦点坐标为 ，长轴为8的椭圆， 并去掉 两点。 20.（2009全国卷Ⅱ理）（本小题满分12分） 已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线与相交于、两点，当的斜率为1时，坐标原点到的距离为 （I）求，的值； （II）上是否存在点P，使得当绕F转到某一位置时，有成立？ 若存在，求出所有的P的坐标与的方程；若不存在，说明理由。 解:(I）设，直线，由坐标原点到的距离为 则，解得 .又. （II）由(I）知椭圆的方程为.设、 由题意知的斜率为一定不为0，故不妨设 代入椭圆的方程中整理得，显然。 由韦达定理有：．．．．．．．．① .假设存在点P，使成立，则其充要条件为： 点，点P在椭圆上，即。 整理得。 又在椭圆上，即. 故．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．② 将及①代入②解得 ,=,即. 当; 当. 18、(江苏省常州市2008-2009高三第一学期期中统一测试数学试题)椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率e = eq \f(\r(2),2)，椭圆上的点到焦点的最短距离为1－eq \f(\r(2),2), 直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且． （1）求椭圆方程； （2）若，求m的取值范围． 解：（1）设C：eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1（a>b>0），设c>0，c2＝a2－b2，由条件知a-c＝eq \f(\r(2),2)，eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)， ∴a＝1，b＝c＝eq \f(\r(2),2)， 故C的方程为：y2＋eq \f(x2,\f(1,2))＝1　 5′ （2）由 eq \o(AP,\s\up6(→)) ＝λ eq \o(PB,\s\up6(→)) ， ∴λ＋1＝4，λ＝3　或O点与P点重合 eq \o(OP,\s\up6(→)) = eq \o(0,\s\up6(→)) 7′ 当O点与P点重合 eq \o(OP,\s\up6(→)) = eq \o(0,\s\up6(→)) 时，m=0 当λ＝3时，直线l与y轴相交，则斜率存在。 设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2） eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m,2x2＋y2＝1)) 得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0 Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）>0 （*） x1＋x2＝eq \f(－2km,k2＋2)， x1x2＝eq \f(m2－1,k2＋2)　 11′ ∵eq \x\to(AP)＝3 eq \o(PB,\s\up6(→)) ∴－x1＝3x2 ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－2x2,x1x2＝－3x\o\al(2,2))) 消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（eq \f(－2km,k2＋2)）2＋4eq \f(m2－1,k2＋2)＝0 整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0　 13′ m2＝eq \f(1,4)时，上式不成立；m2≠eq \f(1,4)时，k2＝eq \f(2－2m2,4m2－1)， 因λ＝3 ∴k≠0 ∴k2＝eq \f(2－2m2,4m2－1)>0，∴－12m2－2成立，所以（*）成立 即所求m的取值范围为（－1，－eq \f(1,2)）∪（eq \f(1,2)，1）∪｛0｝ 16′ 4（2009泉州市）已知中心在原点、焦点在x轴上椭圆，离心率为，且过点A（1,1） （Ⅰ）求椭圆方程； 如图，B为椭圆右顶点，椭圆上点C与A关于原点对称，过点A作两条直线交椭圆P、Q（异于A、B），交x轴与,求证：存在实数 解：（Ⅰ）设椭圆方程为 ① 点A(1,1)在椭圆上， ② 又 ③ 故所求椭圆方程为 （Ⅱ）由A(1,1)得C(-1,1) 则 易知AP的斜率k必存在，设AP；则 由 由A(1,1)得的一个根 由韦达定理得： 以-k代k得 故 即存在实数 三 解答题 2．(江西省五校09届第二次月考) 椭圆的中心为坐标原点,焦点在轴上,焦点到相应的准线的距离以及离心率均为,直线与轴交于点,与椭圆交于相异两点.且. （1）求椭圆方程; （2）若，求的取值范围. 解：（1）设设，由条件知 ，，故的方程为： ……… (2)由 得， ， 设与椭圆交点为 得 （*） ， 因 即 消 得=0 整理得 时，上式不成立； 时， ，由（*）式得 因 或 即所求的取值范围为 4.（辽宁省沈阳二中2008—2009学年上学期高三期中考试） 如图所示，已知圆定点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足，点N的轨迹为曲线E。 （1）求曲线E的方程； （2）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足的取值范围。

答案

八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案

：（1） ∴NP为AM的垂直平分线， ∴|NA|=|NM| 又 ∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆 且椭圆长轴长为 ∴曲线E的方程为 （2）当直线GH斜率存在时， 设直线GH方程为 得 由 设 又 整理得 又 4.（辽宁省沈阳二中2008—2009学年上学期高三期中考试） 如图所示，已知圆定点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足，点N的轨迹为曲线E。 （1）求曲线E的方程； （2）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足的取值范围。 答案：（1） ∴NP为AM的垂直平分线， ∴|NA|=|NM| 又 ∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆 且椭圆长轴长为 ∴曲线E的方程为 （2）当直线GH斜率存在时， 设直线GH方程为 得 由 设 又 整理得 又 又当直线GH斜率不存在，方程为 即所求的取值范围是 5．【临沂高新区·理科】22．（本小题满分14分） 如图，已知椭圆C：，经过椭圆C的右焦点F且斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆G于A、B两点，M为线段AB的中点，设O为椭圆的中心，射线OM交椭圆于N点． （1）是否存在k，使对任意m>0，总有成立？若存在，求出所有k的值； （2）若，求实数k的取值范围． 【解】（1）椭圆C： 1分 直线AB：y＝k（x－m）, 2分 ，（10k2＋6）x2－20k2mx＋10k2m2－15m2＝0． 3分 设A（x1,y1）、B（x2,y2）,则x1＋x2＝，x1x2＝ 4分 则xm＝ 5分 若存在k,使为ON的中点，∴． ∴， 即N点坐标为． 6分 由N点在椭圆上，则 7分 即5k4－2k2－3＝0．∴k2＝1或k2＝－（舍）． 故存在k＝±1使 8分 （2）＝x1x2＋k2（x1－m）（x2－m） ＝（1＋k2）x1x2－k2m（x1＋x2）＋k2m2 ＝（1＋k2）· 10分 由得 12分 即k2－15≤－20k2－12,k2≤且k≠0． 7．【温州十校联合·理】21、（文科22）（本小题满分15分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1, 0)、B(1, 0), 动点C满足 条件：△ABC的周长为2＋2 EQ \r(2).记动点C的轨迹为曲线W. (Ⅰ) 求W的方程； (Ⅱ) 经过点（0, EQ \r(2)）且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q，求k 的取值范围； (Ⅲ)已知点M（ EQ \r(2)，0），N（0, 1），在(Ⅱ)的条件下，是否存在常数k，使得向量 与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由． 【解】 交点。 ∴ 由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为的椭圆除去与x轴的两个交点。 ∴ 。 ∴ ∴W：…………………………………………….5分 (Ⅱ) 设直线的方程为，代入椭圆的方程，得 整理，得 ① …………………………7分 因为直线与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于 ，解得或。 ∴ 满足条件的k的取值范围为或。 （Ⅲ）设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则＝（x1+x2，y1+y2), 由①得. ② 又 ③ 因为，， 所以.……………………… 12分 所以与共线等价于. 将②③代入上式，解得. 所以不存在常数k，使得向量与共线. ……………………15分 O y x 1 � EMBED Equation.DSMT4 ��� l F P B Q M F O A x y x A y 1 1 2 M N B O � EMBED PBrush ��� � EMBED PBrush ��� _1243597823.unknown _1333189383.unknown _1333262947.unknown _1333350260.unknown _1333350675.unknown _1333350683.unknown _1333350692.unknown _1333350696.unknown _1333350700.unknown _1333522298.unknown _1333350702.unknown _1333350698.unknown _1333350694.unknown _1333350688.unknown _1333350690.unknown _1333350685.unknown _1333350679.unknown _1333350681.unknown _1333350677.unknown _1333350667.unknown _1333350671.unknown _1333350673.unknown _1333350669.unknown _1333350264.unknown _1333350665.unknown _1333350262.unknown _1333350243.unknown _1333350251.unknown _1333350256.unknown _1333350258.unknown _1333350254.unknown _1333350247.unknown _1333350249.unknown _1333350245.unknown _1333350235.unknown _1333350239.unknown _1333350241.unknown _1333350237.unknown _1333263008.unknown _1333350233.unknown _1333262954.unknown _1333262108.unknown _1333262616.unknown _1333262710.unknown _1333262731.unknown _1333262825.unknown _1333262724.unknown _1333262675.unknown _1333262689.unknown _1333262664.unknown _1333262367.unknown _1333262484.unknown _1333262551.unknown _1333262377.unknown _1333262175.unknown _1333262265.unknown _1333262133.unknown _1333193403.unknown _1333262018.unknown _1333262078.unknown _1333262088.unknown _1333262028.unknown _1333261967.unknown _1333261985.unknown _1333193412.unknown _1333193310.unknown _1333193376.unknown _1333193399.unknown _1333193361.unknown _1333189392.unknown _1333189402.unknown _1333189405.unknown 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