计算方法-4

nullnull 用插值多项式 P(x) 代替被积函数或者被微分函数f(x) , 从而导出计算 f(x) 的定积分和微分近似值的公式。1 Newton-Cotes公式 2 复合求积法 3 Romberg算法 4* Gauss求积法 5 数值微分利用等距节点的Lagrange插值 多项式建立插值型求积公式将求积区间等分为多个子区间,然后在每个子区间用低阶求积公式利用复合梯形公式,并采用加速技术用插值多项式代替被求微分的函数本章要点 null对于任意函数的定积分,是否都可以利用Newton-Leibniz 公式求得？如果已知 f(x) 的原函数 F(x), 则由 Newton-Leibniz 公式：可求得式(1)的积分值.对于积分解决：建立积分近似计算 ——利用插值多项式构造数值求积公式如何解决上述问？ null4.1 Newton-Cotes 公式1-1 插值型求积公式及Cotes系数使用 Newton-Cotes 公式求解数值积分问题的步骤: 则 f(x) 可示为 ： 2.将(2)代入定积分公式 ：null利用公式(3)计算 In 的 关键:计算求积系数 Ak 3. 定义近似积分：如何计算 Ak ？ null4. Ak 的计算注意: 节点等距且有代入(5)式, 得 null将 Ak 代入(3)式, 求积区间等分数注：1.只要已知节点上的函数值, 以及积分区间等分数, 即可求得 积分的近似值； 2.n 取不同的值, 得不同的求积公式。节点下标得 Newton-Cotes 求积公式:nulln = 1~8 的Cotes 系数null Newton-Cotes 公式中,n =1,2,4 时的求积公式是最常用、最重要的三个公式。1. 梯形(trapezoid)公式Cotes系数为:求积公式为:即梯形求积公式/两点公式null2. Simpson 公式Cotes 系数为:nullSimpson求积公式/三点公式/抛物线公式Simpson求积公式为:null3. Cotes 公式Cotes系数为:nullCotes 求积公式为:Cotes 求积公式/五点公式null例：用梯形公式和Simpson公式对幂函数 xm (m=1,2,3,4) 和指数函数 ex 在区间[-2,0]上积分，结果如下：结论：simpson 公式对更多的函数求积分是准确的。 为了使一个求积公式(近似积分)具有较好的实际计算意义,就希望它对尽可能多的被积函数都准确成立.null但对 m+1 次的多项式却不能准确成立,即只要则称该求积公式具有 m 次的代数精度.代数精度null第二积分 中值定理梯形公式具有 1 次代数精度梯形公式的余项为:由余项公式可知:1-2 低阶 Newton-Cotes 公式的余项nullSimpson 公式的余项为:Simpson公式具有3 次代数精度Cotes 公式的余项为:Cotes 公式具有5 次代数精度null考察Cotes系数:1-3 Newton-Cotes公式的稳定性只与函数 f(x) 以及区间 [a, b] 无关,而只与区间等分数 n 有关, 其值可以精确计算.记:null而理论值为null此时, 公式的稳定性将无法保证.在实际应用中一般不使用高阶 Newton-Cotes 公式, 而是采用低阶复合求积法。null典型例题null思路:将 f(x) = 1, f(x) = x, f(x) = x2, … 依次代入上式,比较左右两侧是否相等,若直到 f(x) = xk 时左右相等,但 f(x)=x(k+1)时左右不等,则近似公式的代数精度为k.举例（一）举例（一）与精确值 0.6321 相比得误差分别为 0.0518 和 0.0002。复合求积公式复合求积公式 提高积分计算精度的常用两种 用 复合公式 用 非等距节点 复合求积公式：将积分区间分割成多个小区间，然后在每个小区间上使用低次牛顿－科特斯求积公式。 将[a, b] 分成 n 等分 [xi , xi+1] ，其中节点数值积分公式与多项式插值有很大的关系。因此Runge现象的存在，使得我们不能用太多的积分点计算。采用与插值时候类似，我们采用分段、低阶的方法。1、复合梯形公式及余项1、复合梯形公式及余项 复合梯形公式: 余项：一、复合求积公式及余项2.复合simpson公式及余项2.复合simpson公式及余项 复合simpson公式: 余项：3.复合科特斯公式及余项3.复合科特斯公式及余项 复合cotes公式: 余项：举例（二）举例（二）解：与准确值0.9460837比较，复化梯形3位有效数字，复化辛普森6位null一 龙贝格公式 用梯形公式得到的积分近似值 的误差大致是 ,因此人们期望, 如果用这个误差作为对 的一种补偿,则得到 的求积公式的代数精度会有所提高。null通过直接验证可知null 用抛物线公式得到的积分近似值 的误差大致是 ,因此对抛物线公式进行修正, 得到null通过直接验证可知null 用柯特斯公式得到的积分近似值 的误差大致是 ,因此, 对柯特斯公式进行修改,得到求积公式为此,构造求积公式称(6)式为龙贝格(Romberg)公式。null龙贝格求积的计算步骤如下：龙贝格公式是一种计算积分的方法。在变步长的求积过程中, 运用(2) , (4) , (6) 式可以将精度低的梯形值 逐步加工成精度较高的抛物线 ,柯特斯值 与龙贝格值 。。null(5) 把[ a , b] 16等分, 计算null用龙贝格求积法计算积分的近似值,要求准确到小数点后第5位。解:例 1(1)(2)null(3)null(4)null(5)(6)所以事实上, I 的准确值为