计算方法132

计算方法试卷（一） 一、填空题（30分，每空3分） 1、 用 表示 的近似值时，它的相对误差限是 ． 2、 当 时，为减少舍入误差的影响，应将表达式 改写为 ． 3、 设 ，已知节点 ，其相应 的函数值为 ，则 的三次Lagrange插值多 项式 ，插值余项 ． 4、 设 ，则 的一阶差商 ，二阶差商 ． 5、 设 ，则 ， ． 6、 取 ，用牛顿法求 的根时，迭代一次所得的结果为 ，迭代二次所得的结果为 (保留四位小数) ． 二、已知测量数据: 1 2 3 4 5 4 4.5 6 8 8.5 用最小二乘法求拟合直线 及其均方误差．（12分） 三、分别用梯形、辛甫生公式、柯特斯公式计算积分： ．（结果保留五位小数） （12分） 四、用克洛特(Crout)分解法将矩阵A作LU分解，然后用解三角形方程组的方法求AX=b的解，其中 ． （12分） 五、讨论分别用雅可比迭代法和高斯—赛德尔迭代法求解下列方程组的收敛性： （12分） 六、用简单迭代法求方程 在区间 内的实根，并分析 所用的迭代格式是收敛的．（结果精确到5位小数）（12分） 七、证明：用改进的尤拉公式能准确地求解初值问题： （10分） 常微分方程试卷 一、问答题：（每题6分，共30分） 1． 常微分方程和偏微分方程有什么区别？微分方程的通解是什么含义? 答：微分方程就是联系着自变量，未知函数及其导数的关系式。常微分方程，自变量的个数只有一个。偏微分方程，自变量的个数为两个或两个以上。常微分方程解的表达式中，可能包含一个或几个任意常数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，这样的解为该微分方程的通解。 2． 举例阐述常数变易法的基本思想。 答：常数变易法用来求线性非齐次方程的通解，是将线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数来求线性非齐次方程的通解。 例：求 的通解。 首先利用变量分离法可求得其对应的线性齐次方程的通解为 ，然后将常数 变易为 的待定函数 ，令 ，微分之，得到 ，将上述两式代入方程中，得到 即 积分后得到 进而得到方程的通解 3．高阶线性微分方程和线性方程组之间的联系如何？ 答： 阶线性微分方程的初值问题 其中 是区间 上的已知连续函数， ， 是已知常数。它可以化为线性微分方程组的初值问题 但是需要指出的是每一个 阶线性微分方程可化为 个一阶线性微分方程构成的方程组，反之却不成立。 4．若常系数线性方程组 和 有相同的基本解矩阵， 则 与 有什么关系？ 答：设常系数方程组 的基解为 ， 的基解为 ，由于两个常系数线性方程组有相同的基解矩阵，根据的解的性质知 ，则可得 ， 为非奇异 的常数矩阵。 5．写出线性微分方程组的皮卡逐次逼近序列。 PAGE 4 _1133366512.unknown _1133368411.unknown _1133368871.unknown _1133369398.unknown _1133371501.unknown _1133372059.unknown _1133381918.unknown _1133371738.unknown _1133369822.unknown _1133368889.unknown _1133368562.unknown _1133368619.unknown _1133368509.unknown _1133367377.unknown _1133367867.unknown _1133367980.unknown _1133367487.unknown _1133366752.unknown _1133367287.unknown _1133366631.unknown _1116417689.unknown _1133366167.unknown _1133366295.unknown _1116421116.unknown _1133366120.unknown _1116417781.unknown _1116417576.unknown _1116417648.unknown _1116417364.unknown _1102970948.unknown