03.复变函数的积分

nullnull物理方法周浩淼 副教授 2010年9月12号 中国计量学院、信息工程学院Methods of Mathmatical Physics第二章：复变函数的积分第二章：复变函数的积分第三章 复变函数的积分第三章 复变函数的积分第一节 积分的概念及性质 第二节 Cauchy定理 第三节 Cauchy积分第一节 积分的概念及性质第一节 积分的概念及性质概念设C是z平面上一分段光滑的曲线，函数 f(z)在C上定义。分割：求和：取极限：取一系列分点把C分成n个小段在每个小段上任取一点作和当 且每一小段都无限缩短时，如果这个和的 极限存在，且其值与各个 的选取无关，则这个和 的极限称为函数 沿曲线C从A到B的路积分null性质：复变函数的路积分可以归结为两个实变函数积分，因而实变函数线积分的许多性质也对路积分成立 null路积分的计算方法1. 归为二元函数的第二型积分来计算，计算公式为2. 参数方程的表达形式C:z=z(t) ( )null举例例1计算积分分别如图所示。两条路径的起点和终点相同， 均自z＝0至z＝1＋I。其中nullnull例2计算，其中为（1）连接0到点的直线；（2）连接0点到2再到的折线，如图解：nullnull由上两例看出，虽然被积函数相同， 起点和终点亦相同，但由于积分路 径不同，其结果有的不同有的却相同 到底复变函数的积分值与积分路径 呈什么样的关系？？？ ——柯西定理。第二节 Cauchy定理第二节 Cauchy定理单连通区域上的Cauchy定理如果函数f(z)在单连通区域G内解析，则沿G内的任何一条光滑的闭合曲线C有null推广正方向：对于区域的境界线，当观察者沿着 这个方向前进时，区域总是在观察者的左边。null复连通区域上的Cauchy定理null例3 计算积分 ，（n为整数）。null综上：nullCauchy积分公式Cauchy积分公式单连通域上的Cauchy积分公式（1）null照此类推，n阶导数是式（1）（2）都叫柯西公式 （2）null注意null复连通域上的Cauchy积分公式设B是由C0 , C1, C2 , … , Cn围成的复连通区域，函数f(z)在B内解析，在 上连续，则对B内任一点 ，有null举例nullnullwww.cjlu.edu.cnThank you ！