复变函数的积分

第二章 复变函数的积分 §2.1 复变函数的积分 复平面上的路积分 定义: 复平面分段光滑曲线l 上的连续函数 f (z)，作和 • • • • A • • x y o • B z0 zn l z1 zk-1 zk k    n k kkk zzf 1 1))((  存在且与 k 的选取无关, 则这个和的极限称为 函数 f (z) 沿曲线 l 从 A 到 B 的路积分，记为       n k kkk z nl zzfzzf k 1 1 0||max ))((limd )(  即       n k kkk z n zzf k 1 1 0||max ))((lim  若 l zzf d )( 分量形式：f (z) = u(x,y)+ i v(x,y), z = x + i y f (z) dz=( u+ i v) d (x + i y) 参数形式：曲线l 的参数方程 {x = x (t), y = y (t)}, 起始点 A  tA, 结束点 B tB    ll l xvyuyvxuzzf )d d ( id d d )(                B A B A t t l t t t t x v t y ut t y v t x uzzf d d d d d id d d d d d )( 几个重要性质 1.常数因子可以移到积分号之外 2.函数和的积分等于各函数积分的和 3.反转积分路径，积分值变号       l n ll l n zzfzzfzzf zzfzfzf d )( .......d )( d )( d )(......)()( 21 21   ll zzfczzfc d )( d )(    ll zzfzzf d )(d )( 4. 全路径上的积分等于各分段上的积分之和 即： 如果 l=l1+l2+……+ln 5. 积分不等式1： 6.积分不等式2： 其中 M 是 | f (z) | 在 l 上的最大值，L 是 l 的全长。   nllll zzfzzfzzfzzf d )(......d )(d )(d )( 21   ll zzfzzf d )( d )( MLzzf l  d )( 例：计算积分 解： ,d Re ,d Re 21 21   ll zzIzzI i 2 1 d id d id )id( d Re 1 0 1 0 1 11 11       yxx yxxx yxxzzI ll ll 2 1 d d i0 1 0 1 0 2   xxyI 一般而言,复变函数的积分不仅与起点和终点有 关, 同时还与路径有关。 o x y l1 l1 l2 l2 1 1+i i f (z)=Re (z)不是解析函数! ( y = 0) (x=1) (x=0) ( y=i ) §2.2 柯西（Cauchy）定理 ——研究积分与路径之间的关系 （一）单连通域情形 单连通域： 在其中作任何简单闭合围线，围 线内的点都是属于该区域内的点。 单连通区域的Cauchy 定理 ：如果函数 f (z) 在闭 单连通区域 中单值且解析， 则沿 中任 何一个分段光滑的闭合曲线 l (也可以是 的 边界 l0 ), 函数的积分为零。 B B B  l zzf 0d )( 证明：由路径积分的定义：     l l l yuxvyvxu zzf )d d i(d d d )( 因 f (z)在 上解析，因而 在 上连续。 B y v x v y u x u         , , , B x y o B l L 沿 l 环线正向走 环域在左侧 对实部虚部分别应用格林公式 将回路积分化成面积分               l s yx y P x Q yQxP d d d d 又u、v 满足C-R条件 x v y u y v x u           ,  l zzf 0d )(                             ss l l l yx y v x u yx y u x v yuxvyvxuzzf d d id d )d d i(d d d )( 平面内曲线积 分和二重积分 之间关系 10 George Green (14 July 1793–31 May 1841) was a British mathematician and physicist , who wrote "An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism―. Green‘s life story is remarkable in that he was almost entirely self-taught, having only had about one year of formal schooling as a child between the ages of 8 and 9. He entered Cambridge University as an Undergraduate in 1833 aged 40 and graduated in 1837. After graduation Green stayed on at Cambridge, writing on Optics, Acoustics and Hydrodynamics. However, in 1840 he became ill and returned to Nottingham where he died the following year. 推广：若 f (z)在单连通域B上解析，在闭单连通 域 上连续，则沿 上任一分段光滑闭合曲 线 l (也可以是 的边界)，有 （二）复连通域情形 如果区域内存在： (1)奇点 ；(2)不连续线段；(3)无定义区  为了把这些奇异部分排除在外，需要作适当的 围道 l1、l2、 l3 把它们分隔开来，形成带孔的区 域—复连通区域。 B B B  l zzf 0d )( 一般而言，在区域 内，只要有一个简单的 闭合围线其内有不属于 该区域的点，这样的区 域便称为复连通域 区域边界线的正向 当观察者沿着这个方向 前进时，区域总是在观 察者的左边。 x y l0 o  B    l1 l2 l3 l0 复连通区域的Cauchy 定理： 如果 f (z) 是闭复连通区域 中的单值 解析函数，则 0d)(d)( 1    l n i li zzfzzf B l 为外边界线， li 为内边 界线，积分沿边界线正向 证： 作割线连接内外边界线 0d)(d)(d)( d)(d)(d)(d)( '' '' 2 1      CDlCD ABlABl zzfzzfzzf zzfzzfzzfzzf 0d)(d)(d)( 21   lll zzfzzfzzf     l n i li zzfzzf 1 d)(d)(     l n i li zzfzzf 1 d)(d)( 即 柯西定理总结： 1. 若 f (z)在单连通域B上解析，在闭单连通域 上连续，则沿 上任一分段光滑闭合曲线 l(也 可以是 的边界)的积分为零； 2. 闭复连通区域上的单值解析函数沿所有内外境 界线正方向的积分和为零； 3. 闭复连通区域上的单值解析函数沿外境界线逆 时针方向的积分等于沿所有内境界线逆时针方向 积分之和。 B B B 由Cauchy 定理可推出： 在闭单连通区域或复连通区域中解析的函数 f (z)，其路积分值只依赖于起点和终点，而与积 分路径无关。   21 0d )( CC zzf  2C    21 21 d )(d )(d )(CC CC zzfzzfzzf 证明：由图可知 其中 示C2 的反方向。 由积分的基本性质可得： 只要起点和终点固定不变，当积分路径连续变形时 （不跳过“孔”）时，函数的路积分值不变。    221 d )(d )(d )( CCC zzfzzfzzf C1 C2 B A D §2.3 不定积分（原函数）  z z fzF 0 d)()(  l zzf d )( 根据 Cauchy 定理，若函数 f (z) 在单连通 区域B上解析， 则沿B上任一分段光滑曲线 l 的积分 只与起点和终点有关，而与 路径无关。因此如果固定起点 z0 而变化终点 z, 这个不定积分便定义了一个单值函数 F(z): F(z) 的性质： (1) F(z) 在B上是解析的； (2) 即 F(z) 是 f (z) 的一个原函数。 )()(' zfzF  原函数不是唯一的，但原函数之间仅仅 相差一常数，这一常数决定于起点 z0。 可以 证明： )()(d )( 12 2 1 zFzFf z z   例一：计算积分 解：（1）当 n  -1 时， z n 的原函数是 z (n+1)/(n+1) 故 ) ( d 为整数其中nzzI b a n    )1( , 1 1 d 1 1 1 1 1       nabn z n I nn b a n    b a ab a b ab z z Arg Arg ilnlnln d （2）当 n = -1 时，z -1 的原函数是 ln(z), 故 此积分与路径有关系！因z = 0 是1/z的一个奇点。 如被积函数有奇点，则由不定积分给出的函数可能是 多值的。被积函数的奇点，可能是该函数的支点。 )|ln(|ln z Argezz  例二：计算积分   l z zzezI d )sin|(|  l z zze 0d sin        l l l eaaea zazzI az 2i2i 0|)d( d d|| || , 0 0    矢径绝对值用极坐标系 其中 l 是正向圆周 |z| = a > 0。 解：显然函数 ez sin z 在复平面上处处解析，由 Cauchy 定理知 故 此若用复积 分的计算公式 则非常复杂。 例三（重要）：计算 ( n 为整数）   l n zzI d)(  解： （1）如果 l 不包含  点， 被积函数总解析, 按柯 西定理， I = 0; (2) 如果 l 包含  点, 又要 分两种情况： (a) n  0, 因被积函数解析， I = 0; (b) n < 0, 被积函数在 l 内有 奇点  。 x y l0 o  B  l C R 用半径为 R 的圆周 C 包围  点，则 l +C 构 成复连通区域，因此原积分变成圆周 C上的积分， 在 C 上 故:                2 0 )1(i1 2 0 ii ii di d i ) (dd)( nn nn l C nnn eR eReR eReRzzI   ii , eRzeRz  这样, (a) n  -1      l l l z z ) ( 1 ) ( 0d i 2 1    包围 不包围  l n nzz )1( .0d)( i 2 1   0e )1(i 1 i )]1(d[i )]1([i i 2 0 )1(i1 2 0 )1(i 1               nn n n n R ne n R I i 2di 2 0    I(b) n = -1 总结起来有 §2.4 柯西（Cauchy）公式 解析函数是一类具特殊性质的函数，特 殊性表现之一是，在解析区域各处的函数值 并不相互独立，而是密切相关，这种关联的 表现之一就是Cauchy 积分公式。 一、单连通域情形 若 f (z) 在闭单通区域 上单值解析；l 为 的境界线， 为 内的任一点，则有 Cauchy 积分公式： z z zf f l d )( i 2 1 )(      B B  B 证明： 由（2.3.4）式      ll z z f z zf f d )( i 2 1d i 2 )( )(      0d )()( i 2 1    l zz fzf                cl z z fzf z z fzf d )()( i 2 1 d )()( i 2 1 从而仅需证明 因被积函数一般以为奇点， 作如图所示回路，有 • • l c       l l l z z ) ( 1 ) ( 0d i 2 1    包围 不包围 对右端值作一估计 (2.4.2) 2 )()( max | d | |)()(|d )()(         fzf z z fzfz z fzf CC       0)()( max2limd )()( lim 00          fzfz z fzf C 0d )()( i 2 1    l zz fzf    因 )()(lim 0   fzf   于是 （2.4.2）左端与无关，故必有 (2.4.3) d )( i 2 1 )(        l z f zf 作变量代换 对复连通区域，（2.4.3） 式仍成立，只要将l 理解成 所有境界线，且均取正向 z z zf f l d )( i 2 1 )(     将 zz   , 正向 l2 x y l0 o  B    l1 l2 l3 l0 z    ,......3,2,1,0k kll 二、无界区域的Cauchy积分公式 如果：f (z) 在 l’ 外部解析，且当 |z| 时，f (z) 0 (一致)， 则：     d )( i 2 1 )( '    l z f zf 注意： l 和 l’ 的方向不同，但都是所考虑 区域的正方向（正方向是指：当沿着该方 向走动时，所考虑的区域始终在左方） • z l’ 三、Cauchy 积分公式的重要推论（任意次 可导！）：     d )( )( i 2 ! )( 1 )(    l n n z fn zf     d )( )( i 2 !1 )(' 2   l z f zf (2.4.3) d )( i 2 1 )(        l z f zf 本章基本要求： 1. 掌握科希定理和科希公式， 理解其证明方法及关键步骤。 2．掌握(2．3．4)式及(2．3．5)式 作业§2.4. 2 (本章作业免做免交） 例一、计算积分 I, 其中 C 为不经过点 0 和 1 的正 向曲线。 解： (1) 如果 0 和 1 都不在C 中，则被积函数解析， 因此, 由 Cauchy 定理得 I=0; (2) 若仅 0 在 C 内, 函数 在 C 上及 C 包围的区域解析， 由 Cauchy 积分公式，得到 z zz e I C z d )1(i 2 1 3    30 )1( )( z e zf z   1)0(d 0 )( i 2 1 0 0     f f I C     • z =1 • z=0 C(2) C(1) z z zf I C d )( i 2 1 0   d )( i 2 1 )(        l z f zf （3）若仅 1 在 C 内, 在 C 上及 C 包围的区域解析， 由Cauchy 积分公式，得到 2/) 22 ( !2 1 )( !2 1 d )1( )( i 2 !2 !2 1 d )1( )( i 2 1 d )1( )( i 2 1 1 32 1 '' 112 1 3 1 3 1 e z e z e z e zf f f z z zf I z zzz zC CC                                   d )( )( i 2 ! )( 1 )(    l n n z fn zf zezf z /)(1  33 )1( 1 )1( 1    zz • z =1 • z=0 C(3) 33 32 32 2 2 1 2 1 1 /2/2/ ]/2)/[( )//( )'/()'/()(" //)(' /)( zezeze zeze zeze zezezf zezezf zezf zzz zz zz zz zz z       而在 C0 上及C0 包围的圆内 f0(z) 解析，同 样在 C1 上及C1 包围的圆内 f1(z) 解析，故利用 Cauchy 积分公式，有上面的结果得 。 2/1 eI  (4) 若 0 和 1 都在 C 内，由Cauchy 定理       1 0 d )1( )( i 2 1 d 0 )( i 2 1 3 1 0 C C z z zf z z zf I   • z =1 • z=0 C(4) 30 )1( )( z e zf z   zezf z /)(1  35              D)1 D,(0 2/1 D)1 D,(0 2/ D)1 D,(0 1 D)1 D,(0 0 d )1(i 2 1 3 e e z zz e C z  最后，我们有： 其中 D 为曲线 C 包围的区域。 例二、用Cauchy 积分公式计算 其中，复数 a  0, |a| c, c (实常数）> 0: 解：令 则 因此     cz az z I || 2|| |d| icez  z d i i d d |d| id e deid i i z c z z ccz c c z z                 cz cz zacaz z c z z azaz c I || 2 || )*)(( d i d *)*)(( i de id , i2 czczz    i- i * ecz ecz   y o cz || 37     cz zacaz z cI || 2 )*)(( d i zac zf * 1 )( 21   cz  || 0|*| 2  zac(1)若 |a|< c, ) || ( || 2 )( )i 2( id )( i 22 1 || 1 ca ac c zfc a f cI azz             x y o a 在圆 内解析， 由Cauchy 公式， cz || （2）若 |a|> c, 在圆 内解析， az zf   1 )(2 cz  ||              cz cz cz aczaz z a czaaz z zacaz z cI || 2 || 2 || 2 *)/)(( d * i )*)(( d 1 i )*)(( d i   */2 ac奇点 y o a cz || a* cac  |*/| 2 39 )||( , || 2 */ 1 2 * |)( i 2 * i d * )( * i 222 */2|| 2 2 2 ca ca c aaca c zf a c a c f a I aczcz               由Cauchy公式， az zf   1 )(2 40 例题： 习题§2.4.1 d i 2 ! d )(i 2 ! )1( d i 2 1 ),( d )( i 2 1 )( ： 1 2 0 1 2 2 2 2 2 2 2                                     l n x tn n l n x n n l x txt l en t t en t t e ext z f zf 利用由柯西公式证 22 2 )1( )2( ? )1( ),( 0 0 2 x n n xn tn n tn n ttx e x e t zx t ext               证明由 41 22 2 2 22 22 2 2 )1( d )(i 2 ! )1( d )(i 2 !)1( d )(i 2 ! )(d )(i 2 ! d i 2 ! ( )2( 1 1 1 1 1 )( )(2 1 2 0 x n n xn l n z xn l n zxn l n zx l n zxxzx l n x tn n e x e z xz en e z xz ene z zx en zx zx en en t xzx                                           是复常数）由 22 222 2 222 )( )(2 zx zzxxzxx zxxzx        d )( )( i 2 ! )( 1 )(    l n n z fn zf