A1-试卷

A1 试 第 1 页 （共 20 页） 2011 年秋季中国精算师资格考试-A1 数学 （以下 1-50 题为单项选择题，每题 2 分，共 100 分。每题选对的给分，选错或 不选的不给分。） 1. 已知 ( ) 0.7P A B  ， ( ) 0.4P B  ，则 ( )P AB 等于（ ）。 (A) 0.1 (B) 0.2 (C) 0.3 (D) 0.4 (E) 0.5 2. 设 100件产品中有 10件次品，若从中任取 5件进行检验，则所取的 5件产 品中至多有 1件次品的概率为（ ）。 (A) 0.553 (B) 0.653 (C) 0.753 (D) 0.887 (E) 0.923 3. 两人相约 7 点到 8点在某地会面，先到者等候另一个人 10分钟，过时就离 去。假设两人到达的时间服从均匀分布且相互独立，则两人能会面的概率 为（ ）。 (A) 0.112 (B) 0.306 (C) 0.533 (D) 0.678 (E) 0.894 A1 第 2 页 （共 20 页） 4. 设某建筑物按设计使用寿命超过 50年的概率为 0.8，超过 60年的概率 为 0.7，若该建筑物已使用了 50 年，则它在 10年内坍塌的概率为（ ）。 (A) 1/8 (B) 1/7 (C) 1/6 (D) 1/5 (E) 1/4 5. 已知甲、乙袋中都有 2 个白球和 3 个红球，现从甲袋中任取 2 个球放入乙 袋中，然后再从乙袋中任取 2 个球，则最后取出的这 2 个球都是红球的概 率为（ ）。 (A) 0.11 (B) 0.33 (C) 0.54 (D) 0.67 (E) 0.88 6. 设一选手的射击命中率为 0.2，若他对同一目标独立地进行四次射击，则至 少有一次命中的概率为（ ）。 (A) 0.25 (B) 0.36 (C) 0.59 (D) 0.76 (E) 0.88 A1 试题 第 3 页 （共 20 页） 7. 设连续型随机变量 X 的概率密度函数和概率分布函数分别为 ( )f x ， ( )F x ， 则下列达式正确的是（ ）。 (A) 0 ( ) 1f x  (B) ( ) ( )P X x F x  (C) ( ) ( )P X x f x  (D) ( ) ( )P X x F x  (E) 0 1 ( ) 2 f x dx   8. 设连续型随机变量 X 的概率分布函数为 2 2 , 0( ) 0, x A Be xF x      其他 ， 则 ( ln 4 ln9)P X  等于（ ）。 (A) 1/6 (B) 1/5 (C) 1/4 (D) 1/3 (E) 1/2 9. 设随机变量 X 的分布函数为 ( )F x ，则 3 1Y X  的分布函数 ( )G y 为（ ）。 (A) (3 1)F y  (B) 3 ( ) 1F y  (C) 1 1 ( ) 3 3 F y  (D) 1 1 ( ) 3 3 F y  (E) 1 1 1 ( ) 3 3 3 F y  A1 试题 第 4 页 （共 20 页） 10. 设两个随机变量 X 和Y相互独立， X 服从均值为 2的指数分布，Y服从均 值为 4的指数分布，则 X 大于Y的概率为（ ）。 (A) 1/4 (B) 1/3 (C) 1/2 (D) 2/3 (E) 3/4 11. 设二维随机变量 ( , )X Y 的概率密度为 3 , 0 1,0 ( , ) 0, x x y x f x y         其他 ，则 1 1 | 8 4 P Y X        等于（ ）。 (A) 1/5 (B) 1/4 (C) 1/3 (D) 1/2 (E) 1 12. 已知二维随机变量 ( , )X Y 的相关系数为 0.6，且 ( ) 1E X  ， ( ) 2E Y  ， ( ) 1Var X  ， ( ) 4Var Y  。令 2(2 1)Z X Y   ，则 ( )E Z 等于（ ）。 (A) 1.2 (B) 2.2 (C) 3.2 (D) 4.2 (E) 5.2 A1 试题 第 5 页 （共 20 页） 13. 设随机变量 X 的概率密度函数为 22 , 0 ( ) 0, xe x f x      其他 ，令Y表示对 X 的 n 次独立重复观察中事件 1 { } 2 X  出现的次数，则 ( )Var Y 等于（ ）。 (A) 1ne (B) 2ne (C) 1(1 )n e (D) 1(1 2 )n e (E) 1 1(1 )ne e  14. 设随机变量 X 服从均值为 2 的泊松分布，则由切比雪夫不等式可知 {| 2 | 4}P X   的值不大于（ ）。 (A) 1/8 (B) 1/7 (C) 1/6 (D) 1/5 (E) 1/4 15. 某种电器的售后服务规定，若产品在一年内损坏，顾客可以免费调换一次。 已知每出售一台该产品，公司可获净利 200 元，每调换一台该产品，公司 花费成本 300 元。假设该产品的使用寿命服从均值为 4 的指数分布。如果 要使得盈利的期望达到 10万元，则至少需要出售的产品数为（ ）。 (A) 549 (B) 649 (C) 749 (D) 849 (E) 949 A1 试题 第 6 页 （共 20 页） 16. 设随机变量 1 2, , , nX X X 独立同分布，且方差 2 0  ，令 1 1 n i i Y X n    ，则下 列等式成立的是（ ）。 (A) 2 1( )Var X Y   (B) 2 1 1 ( ) n Var X Y n     (C) 21 2 ( ) n Var X Y n     (D) 2 1( , )Cov X Y n   (E) 21( , )Cov X Y  17. 假设随机变量 X 以概率 0.2服从均值为 5的泊松分布，以概率 0.8服从均值 为 1的泊松分布，则 ( )Var X 等于（ ）。 (A) 1.36 (B) 2.36 (C) 3.36 (D) 4.36 (E) 5.36 A1 试题 第 7 页 （共 20 页） 18. 设 1 2, , , nX X X 相互独立，均服从指数分布，其概率密度函数为 ( ) , 0xf x e x   ( )  为标准正态分布的分布函数，则下列表达式正确的是（ ）。 (A) 1lim ( ) n i i n X n P x x n                   (B) 1lim ( ) n i i n X n P x x n                  (C) 1lim ( ) n i i n X n P x x n                  (D) 1lim ( ) n i i n X n P x x n                    (E) 1lim ( ) n i i n X n P x x n                  A1 试题 第 8 页 （共 20 页） 19. 设大学的一家快餐店记录了过去 5 年在每天的营业额，每天营业额的均值 为 2500元，标准差为 400元。由于在某些节日的营业额偏高，所以每日营 业额的分布是右偏的。假设从这 5 年中随机抽取 100 天，并计算这 100 天 的平均营业额，则样本均值的抽样分布是（ ）。 (A) 正态分布，均值为 250元，标准差为 400元 (B) 正态分布，均值为 2500元，标准差为 40元 (C) 正态分布，均值为 2500元，标准差为 400元 (D) 右偏，均值为 2500元，标准差为 400元 (E) 右偏，均值为 2500元，标准差为 40元 20. 设总体 X 服从正态分布 ( ,4)N  ， 1 2, , , nX X X 是来自该总体的简单随机样 本， nX 为样本均值，如果要使 ( ) 0.1nE X   ，则 n至少应当满足（ ）。 (A) n>4 (B) n>14 (C) n>41 (D) n >165 (E) n >255 21. 设总体 X 服从正态下分布 2( , )N   , 1 2, , , nX X X 是来自该总体的简单随机 样本，令 1 1 n i i X X n    ， 2 2 1 1 ( ) n n i i S X X n    ，则 1 1 n n X X n Y S n    服从的 分布是（ ）。 (A) 2( 1)n  (B) ( , 1)F n n (C) ( 1)t n (D) ( )t n (E) 以上选项都不正确 A1 试题 第 9 页 （共 20 页） 22. 设总体 X 服从正态分布 2( , )N   , 1 2, , , nX X X 是来自该总体的简单随机样 本，令 1 1 k k i i X X k    （1 k n  ），则 5 4X X 的概率分布为（ ）。 (A) 2 (0, ) 20 N  (B) 2 (0, ) 21 N  (C) 2 (0, ) 22 N  (D) 2 (0, ) 23 N  (E) 2 (1, ) 23 N  23. 设总体 X 服从正态分布 2( , )N   , 1 2, , , nX X X 和 1 2, , , mY Y Y 是分别来自该 总体的简单随机样本，令 2 2 2 1 1 [ ( ) ( ) ] n m i i i i S C X X Y Y        ，若 2S 为 2 的无 偏估计量，则C取值为（ ）。 (A) 1 2n m  (B) 1 1n m  (C) 1 m n (D) 1 1n m  (E) 1 2n m  A1 试题 第 10 页 （共 20 页） 24. 设总体 X 服从正态分布 2( , )N   ，和 2 为未知参数，若 2 的矩估计量为 2 1ˆ ，极大似然估计量为 2 2ˆ ，则下列选项中正确的是（ ）。 (A) 2 2 1 2 ˆ ˆ  (B) 2 2 1 2 ˆ ˆ  (C) 2 2 1 2 ˆ ˆ  (D) 2 1ˆ 和 2 2ˆ 的大小关系与具体抽取的样本有关 (E) 以上答案都不正确 25. 设总体X服从正态分布 2( ,10 )N  ,若使的置信度为 0.95的置信区间长度为 5，则样本容量 n至少应该为（ ）。 (A) 5 (B) 44 (C) 62 (D) 103 (E) 110 26. 设总体 X 服从正态分布 ( ,9)N  , 1 2 25, , ,X X X 是来自该总体的简单随机样 本，对检验问题 0 0:H   , 1 0:H   ，取如下拒绝域： 0{ }x c  ，若 取置信水平等于 0.95，则 c的取值为（ ）。 (A) 1 (B) 1.176 (C) 1.45 (D) 1.77 (E) 1.96 A1 试题 第 11 页 （共 20 页） 27. 设税务管理官员认为，大多数企业都有偷税漏税行为。在对由 800 个企业 构成的随机样本的检查中，发现有 144 个企业有偷税漏税行为。根据 99% 的置信水平估计偷税漏税企业比例的置信区间为（ ）。 (A) 0.18 0.015 (B) 0.18 0.025 (C) 0.18 0.035 (D) 0.18 0.045 (E) 0.18 0.055 28. 在下面的各种推断中，使用 2 分布的是（ ）。 (A) 推断总体相关系数 (B) 推断两个总体的方差比 (C) 推断两个总体的比例差 (D) 推断一个总体的方差 (E) 推断一个总体的比例 29. 设从两个总体中分别抽取 71 n 和 62 n 的两个独立随机样本。经计算得到 下面的方差 差异来源 SS df MS F P-value 组间 7.50 1 7.5 A 0.10 组内 26.19 11 B 总计 33.69 12 则表中“A”单元格内的结果是（ ）。 (A) 3.15 (B) 3.58 (C) 4.20 (D) 4.61 (E) 5.38 A1 试题 第 12 页 （共 20 页） 30. 下面选项正确的是（ ）。 (A) 在方差分析中，一般都假定各总体的方差等于 0 (B) 在方差分析中，用于检验的统计量 F等于组间平方和÷组内平方和 (C) 在方差分析中，组间误差既包括随机误差也包括系统误差 (D) 在假设检验中，不拒绝原假设意味着原假设肯定是正确的 (E) 在假设检验中，第二类错误是指当原假设正确时拒绝原假设 31. 设对 n组数据建立了线性回归模型 0 1i i iy x     ，下述选项中正确的是 （ ）。 I. 最小二乘估计量 0ˆ 和 1ˆ 是 iy 的线性组合。 II. 点 ( , )x y 肯定落在回归直线上 。 III. 1 2 1 ˆ( ) ( ) n i i Var x x      。 (A) 仅仅是 I和 II (B) 仅仅是 I和 III (C) 仅仅是 II和 III (D) I，II和 III (E) 前面四个选项都不对 A1 试题 第 13 页 （共 20 页） 32. 经过试验得到一组重量 X 对弹簧长度 Y的观测数据为: 重量 X 5 10 15 20 25 30 长度 Y 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8 计算可得 6 1 1 17.5, 6 i i x x    6 2 1 ( ) 437.5,i i x x    6 1 1 9.4867, 6 i i y y    6 2 1 ( ) 14.678,i i y y    6 1 1076.2i i i x y   ， 若用最小二乘法做线性回归，则回归方程的样本相关系数为（ ）。 (A) 0.1885 (B) 0.5625 (C) 0.6876 (D) 0.8955 (E) 0.9996 33. 已知时序模型 22 0.5 , ,t t tX t Z     { }t 独立同分布服从 (0,1)N ，则 9 6 5 3( ) ( )E X X E X X 等于（ ）。 (A) 0 (B) -1 (C) -1/2 (D) 1 (E) 1/2 34. 下列说法不正确的是（ ）。 (A)  AR p 模型偏相关函数 p步截尾 (B)  MA q 模型自相关函数 q步截尾 (C)  ,ARMA p q 模型偏相关函数 p步截尾 (D)  AR p 的一阶偏自相关函数等于一阶自相关函数 (E) 任意有限阶  MA q 模型都是平稳的 A1 试题 第 14 页 （共 20 页） 35. 已知序列 1 210 0.4 0.3t t t tx x x      ，{ }t 独立同分布服从 (0,1)N ,观察到 30Tx  , 1 35Tx   ，若对 2Tx  进行预测，其预测方差为（ ）。 (A) 0.4 (B) 0.46 (C) 1.16 (D) 32 (E) 32.5 36. 设随机过程 ( )Y t X t  ， 0t  ，其中 X 为服从标准正态分布的随机变量， 则下列说法正确的是（ ）。 (A) ( )Y t 是泊松过程 (B) ( )Y t 是更新过程 (C) ( )Y t 是布朗运动 (D) ( )Y t 是独立平稳增量过程 (E) 以上说法都不正确 37. 设移民到某地定居的户数是一个泊松过程，平均每周有 2 户定居。设每户 的人口数是一个随机变量，一户有 4人的概率是 1/6，有 3人的概率是 1/3， 有 2 人的概率是 1/3，有 1 人的概率是 1/6，则在五周内到该地定居的移民 人数的方差为（ ）。 (A) 2.5 (B) 7.17 (C) 25 (D) 71.67 (E) 83.33 A1 试题 第 15 页 （共 20 页） 38. 设进入中国上空的流星的个数是一个泊松过程，平均每年为 10000 个，且 每个流星能以陨石落入地面的概率为 0.0001，则一个月内落于中国地面的 陨石数的期望为（ ）。 (A) 1/12 (B) 13/144 (C) 1/4 (D) 1/2 (E) 1 39. 设某种设备的寿命是服从均匀分布 (0,10)U 的随机变量，当设备损坏或用了 3 年时，就以旧换新。假设一台新设备价格为 10 万元，用了 3 年的旧设备 卖出的价格为 1 万元，一台损坏的设备没有任何价值。若每当购置一台新 设备时就说一个循环开始，则长时间后每年的平均费用为（ ）万元。 (A) 1.57 (B) 2.44 (C) 3.65 (D) 4.78 (E) 5.24 40. 设 ( )N t 是一个更新过程， nT 是第 n次更新发生的时刻，则下面事件的等价 关系成立的是（ ）。 (A) 1 2{ } { }T t T t   (B) 1{ ( ) 1} { }N t T t   (C) { ( ) } { }nN t n T t   (D) 1{ ( ) } { }nN t n T t   (E) { ( ) } { }nN t n T t   A1 试题 第 16 页 （共 20 页） 41. 设齐次马尔可夫链的状态空间为  1,2,3,4S  ，其一步转移概率矩阵为 1/ 2 1/ 2 0 0 1 0 0 0 0 1/ 3 2 / 3 0 1/ 2 0 1/ 2 0 P             则下列说法不正确的是（ ）。 (A) 状态 1 是正常返状态 (B) 状态 2 与状态 3不是互通的 (C) 状态 3 与状态 4不是互通的 (D) 状态 4 是正常返状态 (E) 状态 2 的周期为 1 42. 设齐次马尔可夫链的状态空间为  1,2,3,4 5S  ， ，其一步转移概率矩阵为 0 1 0 0 0 1/ 3 1/ 3 1/ 3 0 0 0 1/ 3 1/ 3 1/ 3 0 0 0 1/ 3 1/ 3 1/ 3 0 0 0 1 0 P                则此马尔可夫链的极限分布为（ ）。 (A)  1/3 1/9 1/9 1/9 1/3， ， ， ， (B)  1/5 2/10 2/10 2/10 1/5， ， ， ， (C)  1/11 3/11 3/11 3/11 1/11， ， ， ， (D)  1/5 1/5 1/5 1/5 1/5， ， ， ， (E)  1/2 0 0 0 1/2， ， ， ， A1 试题 第 17 页 （共 20 页） 43. 设 0 0X  ，  , 1,2,nX n  是独立同分布随机变量序列，且 1( ) 0E X  ， 2 1( ) 1E X  ，令 0 0Y  ，则下列说法正确的是（ ）。 (A) 令 2 1 ( ) n n i i Y X    ，则 , 0,1,nY n  是关于 , 0,1,nX n  的一个鞅 (B) 令 2 1 ( ) n n i i Y X n    ，则 , 0,1,nY n  是关于 , 0,1,nX n  的一个鞅 (C) 令 2 2 1 ( ) n n i i Y X n    ，则 , 0,1,nY n  是关于 , 0,1,nX n  的一个鞅 (D) 令 2 1nY X ，则 nY 是关于 nX 的一个鞅 (E) 令 n nY X ，则 nY 是关于 nX 的一个鞅 44. 设下列说法不正确的是（ ）。 (A) 泊松过程中第一个事件发生的时刻服从指数分布 (B) 泊松过程是一种特殊的更新过程 (C) 不可约有限状态马尔科夫链可能存在非常返态 (D) 布朗运动的增量服从正态分布 (E) 布朗运动是平稳增量过程 45. 设标准布朗运动为 ( ), 0B t t  ，令 ( ) (1 ) ( ) 1 t X t t B t    ，0 1t  ，则对任何 的0 1s t   ， ( ( ), ( ))Cov X t X s 等于（ ）。 (A) s t (B) (1 ) (1 ) t s s t   (C) (1 )(1 ) st t s  (D) (1 )t s (E) (1 )s t A1 试题 第 18 页 （共 20 页） 46. 设标准布朗运动为 ( ), 0B t t  ，令 2 0 ( ) ( ( )) ( ) t X t B s dB s  ， 0t  ，则下列选 项正确的是（ ）。 (A) 3 1 ( ) ( ( )) 3 X t B t (B) 3 1 ( ) ( ( )) 3 3 t X t B t  (C) 3 0 1 ( ) ( ( )) ( ) ( ) 3 t X t B t B s dB s   (D) 3 0 1 ( ) ( ( )) ( ) 3 t X t B t B s ds   (E) 3 1 ( ) ( ( )) ( ) 3 X t B t B t  47. 设标准布朗运动为 ( ), 0B t t  ，令 0 ( ) ( ) t X t B s ds  ， 0t  ，则 ( )X t 的期望等 于（ ）。 (A) 0 (B) t (C) t (D) 2 2 t (E) 2 2 t t A1 试题 第 19 页 （共 20 页） 48. 设标准布朗运动为 ( ), 0B t t  ，令 ( )( ) t B tX t e  ， 0t  ，则下列选项正确的 是（ ）。 (A) 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 dX t X t dt X t dB t  (B) ( ) ( ) ( ) ( )dX t X t dt X t dB t  (C) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 dX t X t dt X t dB t  (D) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 dX t X t dt X t dB t  (E) ( ) ( )dX t X t dt 49. 设 标 准 布 朗 运 动 为  ( ) , 0B t t ， 过 程 ( )X t 满 足 随 机 微 分 方 程 ( ) ( ) ( )d X t X t d B t ，并且 ( ) 0X t  ， 0t  。令 2( ( )) ( ( ))f X t X t ，则下列选项 正确的是（ ）。 (A) ( ) 2 ( ) ( ) ( )df t f t dt f t dB t  (B) ( ) ( ) 2 ( ) ( )df t f t dt f t dB t  (C) 1 ( ) ( ) ( ) df t dt dB t f t    (D) 1 1 ( ) ( ) 2 ( ) 2 df t dt dB t f t    (E) ( ) 2 ( )df t dB t A1 试题 第 20 页 （共 20 页） 50. 设下列说法不正确的是（ ）。 (A) 随机微分方程的解是一个随机过程 (B) 在[0, ]T 上的一次连续可微函数与布朗运动的二次变差不相等 (C) 布朗运动的样本轨道是连续的且任何点都是不可微的 (D) 布朗运动的样本轨道不是单调函数 (E) 若 0t s  ， ( )B t 与 ( )B s 相互独立 ***A1试题结束***