12.2_可分离变量微分方程

null第二节第二节转化 可分离变量微分方程 可分离变量方程 分离变量方程的解法:分离变量方程的解法:设 y＝ (x) 是方程①的解, 两边积分, 得 ①则有恒等式 ②当G(y) 与F(x) 可微 G’(y) ＝g(y)≠0,时,由②确定的隐函数 y＝(x) 是①的解. 则有称②为方程①的隐式通解, 或通积分.同样,当F’(x)= f (x)≠0 时,上述过程可逆,由②确定的隐函数 x＝(y) 也是①的解. 例1. 求微分方程例1. 求微分方程的通解.解: 分离变量得两边积分得即( C 为任意常数 )或说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )例2. 解初值问例2. 解初值问题解: 分离变量得两边积分得即由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数 )故所求特解为例3. 求下述微分方程的通解:例3. 求下述微分方程的通解:解: 令 则故有即解得( C 为任意常数 )所求通解::练习:解法 1 分离变量即( C < 0 )解法 2故有积分( C 为任意常数 )所求通解:例4. 例4. 子的含量 M 成正比,求在衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. 建模: 相关变量, 有:(初始条件)已知 t = 0 时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原问题, 求:条件:null解: 根据题意, 有(初始条件)对方程分离变量, 即利用初始条件, 得故所求铀的变化规律为然后积分:例5.例5.成正比,求并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系. 建模: 相关变量, 有:(初始条件)问题, 求:条件:根据牛顿第二定律null解: 根据牛顿第二定律列方程初始条件为对方程分离变量,然后积分 :得利用初始条件, 得代入上式后化简, 得特解t 足够大时例6. 有高 1m 的半球形容器, 水从它的底部小孔流出,例6. 有高 1m 的半球形容器, 水从它的底部小孔流出,开始时容器内盛满了水,从小孔流出过程中, 水面的高度 h 随时间 t 的变化规律.求水小孔横截面积建模, 相关变量, 有:问题, 求:条件:由水力学知, 水从孔口流出的流量为即(1)解:null设在内水面高度由 h 降到 对应下降体积(2)综合(1)与(2)式, 得:微量分析 列方程null因此得微分方程定解问题:将方程分离变量:两端积分, 得null利用初始条件, 得因此容器内水面高度 h 与时间 t通解有下列关系:小结内容小结1. 可分离变量方程的求解方法:分离变量后积分;根据定解条件定常数 . 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法:1) 根据几何关系列方程 ( 如: P263,5(2) ) 2) 根据物理规律列方程 ( 如: 例4 , 例 5 )3) 根据微量分析列方程 ( 如: 例6 )2. 解微分方程应用题的方法和(2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.(3) 求通解, 并根据定解条件确定特解. 作业 P 269 1(1)(5)(7)(10); 2 (3)(4) ; 4 ; 5null课堂练习null课堂练习参考答案null课堂练习参考答案备用题1 已知曲线积分备用题1 已知曲线积分与路径无关, 其中求由确定的隐函数解:因积分与路径无关 , 故有即因此有备用题2备用题2 求下列方程的通解 :提示:(1) 分离变量(2) 方程变形为