状态转移方程

-我们将人生划为诡异的阶段·我们把这个世界表为丰富的状态 1. 资源问题1 -----机器分配问题 F[I,j]:=max(f[i-1,k]+w[i,j-k]) 2. 资源问题2 ------01背包问题 F[I,j]:=max(f[i-1,j-v[i]]+w[i],f[i-1,j]); 3. 线性动态规划1 -----朴素最长非降子序列 F[i]:=max{f[j]+1} 4. 剖分问题1 -----石子合并 F[i,j]:=min(f[i,k]+f[k+1,j]+sum[i,j]); 5. 剖分问题2 -----多边形剖分 F[I,j]:=min(f[i,k]+f[k,j]+a[k]*a[j]*a[i]); 6. 剖分问题3 ------乘积最大 f[i,j]:=max(f[k,j-1]*mult[k,i]); 7. 资源问题3 -----系统可靠性(完全背包) F[i,j]:=max{f[i-1,j-c[i]*k]*P[I,x]} 8. 贪心的动态规划1 -----快餐问题 F[i,j]表示前i条生产线生产j个汉堡,k个薯条所能生产的最多饮料, 则最多套餐ans:=min{j div a,k div b,f[I,j,k] div c} F[i,j,k]:=max{f[i-1,j',k']+(T[i]-(j-j')*p1-(k-k')*p2) div p3} 时间复杂度 O(10*100^4) 9. 贪心的动态规划2 -----过河 f[i]=min{{f(i-k)} (not stone[i]) {f(i-k)}+1} (stone[i]); +贪心压缩状态 10. 剖分问题4 -----多边形-讨论的动态规划 F[i,j]:=max{正正 f[I,k]*f[k+1,j]; 负负 g[I,k]*f[k+1,j]; 正负 g[I,k]*f[k+1,j]; 负正 f[I,k]*g[k+1,j];} g为min 11. 树型动态规划1 -----加分二叉树 (从两侧到根结点模型) F[I,j]:=max{f[I,k-1]*f[k+1,j]+c[k]} 12. 树型动态规划2 -----选课 (多叉树转二叉树,自顶向下模型) F[I,j]表示以i为根节点选j门功课得到的最大学分 f[i,j]:=max{f[t[i].l,k]+f[t[i].r,j-k-1]+c[i]} 13. 计数问题1 -----砝码称重 const w:array[1..n] of shortint=(1，2，3，5，10，20)； //不同砝码的重量 var a:array [1..n] of integer; //不同砝码的个数 f[0]:=1; 总重量个数(Ans) f[1]:=0; 第一种重量0; f[f[0]+1]=f[j]+k*w[j]; (1<=i<=n; 1<=j<=f[0]; 1<=k<=a[i];) 14. 递推天地1 ------核电站问题 f[-1]:=1; f[0]:=1; f[i]:=2*f[i-1]-f[i-1-m] 15. 递推天地2 ------数的划分 f[i,j]:=f[i-j,j]+f[i-1,j-1]; 16. 最大子矩阵1 -----一最大01子矩阵 f[i,j]:=min(f[i-1,j],v[i,j-1],v[i-1,j-1])+1; ans:=maxvalue(f); 17. 判定性问题1 -----能否被4整除 g[1,0]:=true; g[1,1]:=false; g[1,2]:=false; g[1,3]:=false; g[i,j]:=g[i-1,k] and ((k+a[i,p]) mod 4 = j) 18. 判定性问题2 -----能否被k整除 f[I,j±n[i] mod k]:=f[i-1,j]; -k<=j<=k; 1<=i<=n 20. 线型动态规划2 -----方块消除游戏 f[i,i-1,0]:=0 f[i,j,k]:=max{f[i,j-1,0]+sqr(len(j)+k), f[i,p,k+len[j]]+f[p+1,j-1,0]} ans:=f[1,m,0] 21. 线型动态规划3 -----最长公共子串，LCS问题 f[i,j]={0 (i=0)&(j=0); f[i-1,j-1]+1 (i>0,j>0,x[i]=y[j]); max{f[i,j-1]+f[i-1,j]}} (i>0,j>0,x[i]<>y[j]); let(n>m); (n=length(a); m:=length(b)); for i:= 1 to n do begin x:=-1; p:=1; for j:= 1 to m do if a[i]=b[j] then begin x:=p; while flag[j,x] and (f[j,x]-1) and flag[j-1,x] and ((not flag[j,x]) or (f[j-1,x]0) and (not u[k]) then begin inc(b[k],a[j,k]); inc(max,b[k]) end else begin max:=0; u[k]:=true; end; if max>ans then ans:=max; end; end; end; 23. 资源问题4 -----装箱问题(判定性01背包) f[j]:=(f[j] or f[j-v[i]]); 注: 这里将数字三角形的意义扩大 凡状态转移为图形,跟其上面阶段和前面状态有关都叫数字三角形:) 24. 数字三角形1 -----朴素の数字三角形 f[i,j]:=max(f[i+1,j]+a[I,j],f[i+1,j+1]+a[i,j]); 25. 数字三角形2 -----晴天小猪历险记之Hill 同一阶段上暴力动态规划 if[i,j]:=min(f[i,j-1],f[I,j+1],f[i-1,j],f[i-1,j-1])+a[i,j] 26. 双向动态规划1 数字三角形3 -----小胖办证 f[i,j]:=max(f[i-1,j]+a[i,j],f[i,j-1]+a[i,j],f[i,j+1]+a[i,j]) 27. 数字三角形4 -----过河卒 //边界初始化 f[i,j]:=f[i-1,j]+f[i,j-1]; 28. 数字三角形5 -----朴素的打砖块 f[i,j,k]:=max(f[i-1,j-k,p]+sum[i,k],f[i,j,k]); 29. 数字三角形6 -----优化的打砖块 f[I,j,k]:=max{g[i-1,j-k,k-1]+sum[I,k]} 30. 线性动态规划3 -----打鼹鼠’ f[i]:=f[j]+1;(abs(x[i]-x[j])+abs(y[i]-y[j])<=t[i]-t[j]) 31. 树形动态规划3 -----贪吃的九头龙 32. 状态压缩动态规划1 -----炮兵阵地 Max(f[Q*(r+1)+k],g[j]+num[k]) If (map[i] and plan[k]=0) and ((plan[P] or plan[q]) and plan[k]=0) 33. 递推天地3 -----情书抄写员 f[i]:=f[i-1]+k*f[i-2] 34. 递推天地4 -----错位排列 f[i]:=(i-1)(f[i-2]+f[i-1]); f[n]:=n*f[n-1]+(-1)^(n-2); 35. 递推天地5 -----直线分平面最大区域数 f[n]:=f[n-1]+n :=n*(n+1) div 2 + 1; 36. 递推天地6 -----折线分平面最大区域数 f[n]:=(n-1)(2*n-1)+2*n; 37. 递推天地7 -----封闭曲线分平面最大区域数 f[n]:=f[n-1]+2*(n-1) :=sqr(n)-n+2; 38 递推天地8 -----凸多边形分三角形方法数 f[n]:=C(2*n-2,n-1) div n; 对于k边形 f[k]:=C(2*k-4,k-2) div (k-1); //(k>=3) 39 递推天地9 -----Catalan数列一般形式 1,1,2,5,14,42,132 f[n]:=C(2k,k) div (k+1); 40 递推天地10 -----彩灯布置 排列组合中的环形染色问题 f[n]:=f[n-1]*(m-2)+f[n-2]*(m-1); (f[1]:=m; f[2]:=m(m-1); 41 线性动态规划4 -----找数 线性扫描 sum:=f[i]+g[j]; (if sum=Aim then getout; if suml) then exit(WQ) else getS:=(l mod n)*k2*sqr(l div n+1)+ (n-l mod n)*k2*sqr(l div n)+ k1*sqr(l); end; if x+S(x,k)>=f[i,q,p] then break else f[i,q,p]:=x+S(x,k);inc(k); 46 计数问题2 -----陨石的秘密（排列组合中的计数问题） Ans[l1,l2,l3,D]:=f[l1+1,l2,l3,D+1]-f[l1+1,l2,l3,D]; F[l1,l2,l3,D]:=Sigma(f[o,p,q,d-1]*f[l1-o,l2-p,l3-q,d]); 47 线性动态规划 ------合唱队形 两次F[i]:=max{f[j]+1}＋枚举中央结点 48 资源问题 ------明明的预算

方案

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：加花的动态规划 f[i,j]:=max(f[i,j],f[l,j-v[i]-v[fb[i]]-v[fa[i]]]+v[i]*p[i]+v[fb[i]]*p[fb[i]]+v[fa[i]]*p[fa[i]]); 49 资源问题 -----化工场装箱员 50 树形动态规划 -----聚会的快乐 f[i,2]:=max(f[i,0],f[i,1]); f[i,1]:=sigma(f[t[i]^.son,0]); f[i,0]:=sigma(f[t[i]^.son,3]); 51 树形动态规划 -----皇宫看守 f[i,2]:=max(f[i,0],f[i,1]); f[i,1]:=sigma(f[t[i]^.son,0]); f[i,0]:=sigma(f[t[i]^.son,3]); 52 递推天地 -----盒子与球 f[i,1]:=1; f[i,j]:=j*(f[i-1,j-1]+f[i-1,j]); 53 双重动态规划 -----有限的基因序列 f[i]:=min{f[j]+1} g[c,i,j]:=(g[a,i,j] and g[b,i,j]) or (g[c,i,j]) 54 最大子矩阵问题 -----居住空间 f[i,j,k]:=min(min(min(f[i-1,j,k],f[i,j-1,k]), min(f[i,j,k-1],f[i-1,j-1,k])), min(min(f[i-1,j,k-1],f[i,j-1,k-1]), f[i-1,j-1,k-1]))+1; 55 线性动态规划 ------日程安排 f[i]:=max{f[j]}+P[I]; (e[j]0) 59 线性动态规划 -----多重历史 f[i,j]:=sigma{f[i-k,j-1]}(if checked) 60 背包问题(+-1背包问题+回溯) -----CEOI1998 Substract f[i,j]:=f[i-1,j-a[i]] or f[i-1,j+a[i]] 61 线性动态规划(字符串) -----NOI 2000 古城之谜 f[i,1,1]:=min{f[i+length(s),2,1], f[i+length(s),1,1]+1} f[i,1,2]:=min{f[i+length(s),1,2]+words[s],f[i+length(s),1,2]+words[s]} 62 线性动态规划 -----最少单词个数 f[i,j]:=max{f[I,j],f[u-1,j-1]+l} 63 线型动态规划 -----APIO2007 数据备份 状态压缩＋剪掉每个阶段j前j*2个状态和j*2+200后的状态贪心动态规划 f[i]:=min(g[i-2]+s[i],f[i-1]); 64 树形动态规划 -----APIO2007 风铃 f[i]:=f[l]+f[r]+{1 (if c[l]d[r]) 0(d[l]=d[r]) g[l]=g[r]=1 then Halt; 65 地图动态规划 -----NOI 2005 adv19910 F[t,i,j]:=max{f[t-1,i-dx[d[[t]],j-dy[d[k]]]+1],f[t-1,i,j]; 66 地图动态规划 -----优化的NOI 2005 adv19910 F[k,i,j]:=max{f[k-1,i,p]+1} j-b[k]<=p<=j; 67 目标动态规划 -----CEOI98 subtra F[I,j]:=f[I-1,j+a[i]] or f[i-1,j-a[i]] 68 目标动态规划 ----- Vijos 1037搭建双塔问题 F[value,delta]:=g[value+a[i],delta+a[i]] or g[value,delta-a[i]] 69 树形动态规划 -----有线电视网 f[i,p]:=max(f[i,p],f[i,p-q]+f[j,q]-map[i,j]) leaves[i]>=p>=l, 1<=q<=p; 70 地图动态规划 -----vijos某题 F[I,j]:=min(f[i-1,j-1],f[I,j-1],f[i-1,j]); 71 最大子矩阵问题 -----最大字段和问题 f[i]:=max(f[i-1]+b[i],b[i]); f[1]:=b[1] 72 最大子矩阵问题 -----最大子立方体问题 枚举一组边i的起始，压缩进矩阵 B[I,j]+=a[x,I,j] 枚举另外一组边的其实，做最大子矩阵 73 括号序列 -----线型动态规划 f[I,j]:=min(f[I,j],f[i+1,j-1](s[i]s[j]=”()”or(”[]”)), f[I+1,j+1]+1 (s[j]=”(”or”[” ] , f[I,j-1]+1(s[j]=”)”or”]” ) 74 棋盘切割 -----线型动态规划 f[k,x1,y1,x2,y2]=min{min{f[k-1,x1,y1,a,y2]+s[a+1,y1,x2,y2], f[k-1,a+1,y1,x2,y2]+s[x1,y1,a,y2] min{}} 75 概率动态规划 -----聪聪和可可(NOI2005) x:=p[p[i,j],j] f[I,j]:=(f[x,b[j,k]]+f[x,j])/(l[j]+1)+1 f[I,i]=0 f[x,j]=1 76 概率动态规划 -----血缘关系 我们正在研究妖怪家族的血缘关系。每个妖怪都有相同数量的基因，但是不同的妖怪的基因可能是不同的。我们希望知道任意给定的两个妖怪之间究竟有多少相同的基因。由于基因数量相当庞大，直接检测是行不通的。但是，我们知道妖怪家族的家谱，所以我们可以根据家谱来估算两个妖怪之间相同基因的数量。 妖怪之间的基因继承关系相当简单：如果妖怪C是妖怪A和B的孩子，则C的任意一个基因只能是继承A或B的基因，继承A或B的概率各占50％。所有基因可认为是相互独立的，每个基因的继承关系不受别的基因影响。 现在，我们来定义两个妖怪X和Y的基因相似程度。例如，有一个家族，这个家族中有两个毫无关系(没有相同基因)的妖怪A和B，及它们的孩子C和D。那么C和D相似程度是多少呢？因为C和D的基因都来自A和B，从概率来说，各占50％。所以，依概率计算C和D平均有50％的相同基因，C和D的基因相似程度为50％。需要注意的是，如果A和B之间存在相同基因的话，C和D的基因相似程度就不再是50％了。 你的任务是写一个程序，对于给定的家谱以及成对出现的妖怪，计算它们之间的基因相似程度。 F[A, B]=(f[A0, B]+P[A1, B])/2 f[I,i]=1 f[I,j]=0(I,j无相同基因) 77 线性动态规划 -----决斗 F[I,j]=(f[I,j] and f[k,j]) and (e[I,k] or e[j,k]),i记录

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