应用导数求函数区间最值

2008年第6期 中学数学研究 ⋯+口，(p—B)+ar+1(B一卢)+⋯+a。(B一 卢)=(口l+a2+⋯+a，_ar+1一⋯一口。)(卢一 佛)，因为口1+口2+⋯+口，≥专，所以口1+口2+ ⋯+口，一a，+l一·一口。≥0，又p—B>0，所以 f(f1)一厂(B)≥O，即，(口)≥厂(佛)，当z兰B 时，f(x)取得最小值，证毕． 业_}_t坐坐坐_}o坐坐坐坐虫坐誊I-业士坐坐-坐坐坐坐_}坐·士-坐．她坐坐坐鼍矗业-．-- 应用导数求函数区间。最值 广州市花都区一中 (510886)唐舜生 函数的区间最值是指函数在某个特定的区 间上的最大(小)值，这类题往往含有参数，解答 时常用到分类讨论与数形结合的思想．导数的 引入拓展了高考数学命题的范围，摆脱了对二 次函数的依赖，借助导数求高次函数、指数函 数、对数函数、三角函数等的区间最值，已成为 近几年高考的热点和难点．函数的区间最值问 题可分为以下四类，下面举例说明各种类型题 的解法． 一、定函数在定区间上的最值 函数是给定的，给出的定义域区间也是固 定的，我们称这种情况是“定函数在定区间上的 最值”．这类题不含参数，不需要对参数的变化 范围进行分类讨论，因此比较简单，只出极 值与区间端点的函数值，进行比较即得函数的 最大(小)值． 例1 求函数y=婿的最大值． 解：函数的定义域为[0，2]，令Y’=i：j_号恭20得z2丢，。·。厂(。)=。， 厂(2)：o，，(吾)=譬，．．．函数Y的最大值是 朽 3‘ 点评：求函数最值时，注意先求函数的定义 域． 例2 求函数厂(z)=COS3工+sin2x—COax 的最小值． 解：由厂(z)=COaX+1一oDS2z—cosz，令 ·44· t=COSZ，则t∈[一1，1]，f(x)=g(t)=t3一t2 一t+1，令97(t)=3t2—2t一1=0得t1= 一了1，￡2=1，’．‘g(1)=0，g(一1)=o，g(一了1) =鹣，．‘．函数f(x)的最小值是o． 点评：本题以三角函数知识为载体，先通过 换元，将三角函数问题转化为三次函数在区间 [一1，1]上的最小值问题． 二、动函数在定区间上的最值 函数随参数a的变化而变化，即其图像是 运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情 况是“动函数在定区间上的最值”．根据函数极 值点与区间的位置关系，需要分三种情形讨论： ①函数的极值点在这个区间的左边；②函数的 极值点在这个区间的右边；③函数的极值点在 这个区间内．然后判断函数在这个区间上的单 调性，得到函数的最大(小)值． 例3 已知函数．厂(z)=2ax一专，z∈(0， 1]，求，(z)在区间(0，1]上的最大值． 解：(1)当口=0时，厂(z)=一去， ．’．厂(z)一=一l； (2)当口≠0时，令厂(z)=2a+气= 弩掣-o，得z=再． 3厂—T (i)当√一言<0，即n>o时，由z∈(o， 1]，得厂(z)>0．．’．函数厂(z)在(0，1]上单调 万方数据 中学数学研究 2008年第6期 递增，厂(z)一=f(1)=2a一1； (ii)当3．／一土>o，即一1<口<0时，由z Y a ∈(0，1]，得厂(z)>0，．‘．函数f(x)在(0，1]上 单调递增，厂(z)～=厂(1)=2a—l； (iii)当o<4一土≤1，即口≤一1时，当0 0)，求f(x)在[0，2]上的最小值．解：令厂(z)=而1—1=一掣= 0，得z=l一口，’．‘0≤z≤2，又口>0，则z+a >0恒成立． (i)当1一a92时，得口≤一1，与题设口> 0矛盾； (ii)当1一口≤o，即口≥l时，／(z)≤o在 [0，2]恒成立'．．。f(z)在[0，2]上单调递减， f(x)商。=f(2)=ln(a+2)一2． (iii)当0<1一a<2时，即一10；z∈(1一a，2]时， 厂(z)<0．．‘．当z=1一a时，f(x)取极大值， 最小值只能产生于f(O)或，(2)，而f(O)一 f(2)=lne2a—In(2+口)． 当古<口<1时，f(0)>厂(2)，f(x)曲 e‘——1 2／(2)；当0<口≤寿时，厂(o)≤，(2)， 厂(z)山=f(O)=lna． 综上知：当口>≯三时，厂(z)nlin=In(2+ 口)一2；当o<口≤高时，／(z)r11in=lna． 点评：例4中若注意到口≥一1，z∈(0，1] 时，厂(z)≥0，f(x)单调递增，则解法更简便． 三、定函数在动区间E．的最值 函数是确定的，但它的定义域区间是随参 数t而变化的，我们称这种情况是“定函数在动 区间上的最值”．根据区间与函数极值点的位置 关系，需要分三种情形讨论：①这个区间在极值 点的左边；②这个区间包含极值点；③这个区间 ，在极值点的右边．然后判断函数f(x)在这个 区间上的单调性，得到函数的最大(小)值． 侈95 已知函数f(x)=z3—322+2，求 ，(z)在区间[0，t](0 0)，试问当z取何值时，容量、厂有最大值． 解：。．‘y=z(2a一2x)2=4(口一z)2z．依 题意得：z>o；2口一2x>o；赢≤￡，·‘·o< z≤悬，．·．函数V的定义域为(o，惫]． V7=4(35"一口)(3x—a)，令V7=0，得z= 等，z=口(舍)． ·45· 万方数据 2008年第6期 中学数学研究 巧用ln(1+z)<．77证明不等式 黑龙江省大庆实验中学(163316)卢伟峰 在很多问题中都涉及了这样一个重要的不 等式：当z>一1且z4：0时，有In(1+z)o时，则厂(．27)< 0，所以函数f(x)=ln(1+z)一z在(0，+oo) 上是单调递减函数，则有f(x)o，所以函数 厂(z)=In(1+．27)一z在(～1，0)上是单调递增 函数，则有f(z)0且z≠1时，lnx<．／7—1和 ．27>0时。1+z<矿也成立． 这个不等式及变式的应用非常广泛，下面 结合几个实例来加以说明． 例1 已知ai>0(i=1，2，⋯)，证明： 垡鱼之}二垫≥湎la赢23．an．————≯—一多、／凸口一’证：令A=尘二旦型焉訾，因为万ai >O，则有In万ai≮-万ai一1(i=1，2，⋯)成立，所以 ln百al+ln万a2+⋯+1n署≤署+百a2+⋯+署一 九----rt--n=o，即In百al+1n百a2+⋯+ln署≤o， 即璺上≯≤1，贝oA”≥口l口2口3⋯口。，即 堕生生}二垫≥兀—Ia2石3瓦得证．———————i———一声、／口 口⋯口n1哥址· 评注：均值不等式的证明方法非常多，此法 采用构造重要不等式1n五ai＼<．-Aai一1(i=1，2， ⋯)来证明，更显得格外的简洁明快． 例2 (2004全国，理22题改编)已知 g(x)=xlnx，当b>口>O时，求证：0o，水旨一害和ln笼=叱(1 +霄)>一百a-b，所洲n而2a+6ln簏 ●_业盥坐I尘坐t坐妇矗坐坐妊业●螺峰啦坐坐业坐坐簟--●妇-坐----●-★--- (1)当号≤悬，即￡≥{时，‘．’oo；号悬，即o<￡<百1时，‘．‘oo恒成立，。．。v(x)为增函数， ．·．当z=笼时，V有最大值者备． 应用导数求函数的区间最大值，具有普适 性．一般步骤是：求函数极值点——讨论极值点 与区间的位置关系——判断函数在区间上的单 调性——联想函数在区间上的大致图像——直 观得出结论．按此程序解决函数区间最值问题， 思路清晰，能够“以不变应万变．” 万方数据 应用导数求函数区间最值 作者： 唐舜生 作者单位： 广州市花都区一中,510886 刊名： 中学数学研究 英文刊名： STUDIES IN MIDDLE SCHOOL MATH GUANGDONG 年，卷(期)： 2008(6) 本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zxsxyj200806020.aspx