一次绝对值函数的最值问题

l数理化研究I．-【关注】 一次绝对值函数的最值问 一次绝对值函数是我们十分熟悉的一种简单函数。它与方 程、不等式、分段函数等密切相关。由于绝对值具有非负性和示 距离等特性。再加上绝对值概念简单。可移植性强。与其他知识结 合能较全面地考查学生的基本数学素养，是命题的一个热 点。纵观近几年有关一次绝对值函数的高考和竞赛．直接或 以应用题的形式间接考查其最值问题常有出现。但教材中关于一 次绝对值函数的内容，只是零星地散布于几个模块中(以人教A 版为例)。如必修4中的平面向量的加减法的几何意义。选修系列 “中的三角形不等式等。故此．本文对一次绝对值函数的最值 问题进行探讨．供读者参考。 函数的图像是函数关系的直观表达式。形象地显示了函数的 性质。借助一次绝对值函数的图像．我们可以方便地研究其最值， 加深对一次绝对值函数的理解和认识。 1．1含一个绝对值的一次函数的最值 (1)f(x)=Ixl的图像是以原点为顶点的。v”字形折线。函数 在顶点处取得最小值“0)=o．无最大值； (2)f(x)=lkx+bl的图像是以(一}，0)为顶点的。V”字形折 K 线，函数在顶点取得最小值“一})=o。无最大值； K (3)f(x)=kIx“l的图像是：当k>0时。以(一b,O)为顶点的 。v”字形折线。函数在顶点处取得最小值f(“)=o。无最大值；当 k<0时，以(_h．0)为顶点的倒“V”字形折线．函数在顶点处取得最 大值“一h)：I)，无最小值。 1．2含两个绝对值的一次函数的最值 (4)“xkfx-mf+fx_nI(mn时。图像是分别向左、右两边向上无 限延伸的两条射线。而中间一段在区间【m，n】上为平行于x轴的线 段．在中间段处最低．此时函数有最小值n—m。代数描述为： lpmI+Ix．nI≥I(x—n1)一“一n)I=n—m，当且仅当x∈【m，n】时取。=” 号．取得最小值。 (5)f(x)=lx—mI一}x—nI(mn时，图像是分别向左、右两边无限 延伸的两条平行线．而中间一段在区间【m。n】上为线段，有最大值 和最小值．最大值为n-m。最小值为m—n。代数描述为： l lx—ml—Ix—nl≤I(x—m)一(x—n)I=n—m。即m—n≤Ix—ml—Ix—nI ≤n—m，当且仅当xE【一∞．mj时取得最小值m—n，当且仅当x∈ 【n。+*】时取得最大值n—m。 (6)f(x)=aIx-mI“Ix—nI的图像是以【m'f(m)1，【n，f(n)1为折 点的折线。且当a“>o时。两端向上无限延伸。故最小值为rain {“m)，“n)J；当a+b<0时。两端向下无限延伸。故最大值为m一 {“m)，“n)’；当a“=()时．两端平行。故有最大值和最小值。最大 值为l眦{“ml，“n)}。最小值为rainl“m)，“n)1。 例1：(2007年高考海南、宁夏理22选做c)设函数f(x)= 12x+lI—Ix-4I。求函数y=“x)的最小值。 解：“x)=12x+1卜Jx4I-2lx+{一卜Jx_4l，因绝对值前的系 二I 数和为正。故图像是以x-一i1，x=4为折点．两端向上无限延伸的 二 折线．故有最小值且最小值为min{“一下1)。“4)l-“一彳1)一下9。 t ‘ J 上 二 1．3含多个绝对值的一次函数的最值 40●-2008．2 ●刘峥嵘 (7)“x)=∑lx—aiI(a；ER．i∈N+)(令a，aII时，图像是分别向左、右两边 向上无限延伸的两条射线。而中问各段在区间h，“。l(i=l。2。⋯． n-1)上均为线段。它们首尾相连形成折线形．当n为奇数时，在 中间点处最低。此时函数有最小值；当n为偶数时．在中间段即 区间【辄A+。】内最低，此时函数有最小值。 代数描述有以下结论：函数“x)=∑Ix—aiI(a；∈R．i∈N+) (令al0时。折线两端向上无限延伸。故有最小值 i=- 为rain{f(a．)．“动，⋯⋯f(曲}；当艺b；<0．折线两端向下无限延 i=I 伸。故有最大值为m“(“a。)，“曲，⋯⋯‰叭当艺b。=o时。两端平 i=l 行，故有最大值和最小值．最大值为nmf“a．)．“a2)，⋯⋯“曲l。最 小值为rain{f(aI)，f(a2)，⋯⋯．f【aT．)1。 例2：如图。兰台机器人M．、M：、M，和检测台M位处时．M： 即自动送检。当M：把零件送达M处时，M，即自动送检。设M2 的送检在一条直线上，三台机器人需把各自生产的零件送交M 处进行检测。送检程序设定：当M．把零件送达M速度为v．且 送检速度是M。的2倍，是％的3倍。现要求M．、M：、M，的送检 时间总和必须最短。请你

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出检测台M在该直线上的位置 (M与M。M2、M，均不能重合)。 竺! ． 翌 竺!． 望：·—-—·●——·—●————●————●————●————●———■■ 一2一l 0 l 2 3 分析：令检测台坐标为M(x)。所需时间总和为“x)，依题意 可得： “x)-上(2Ix+2l+l—lI+3lx_31)。要求的是．当x为何值 V 时．函数取得最小值?因绝对值前的系数和为正。所以其图像两 端向上无限延伸．故有最小值为rain{“一2)，“1)'f(3)}-f(1l=f f3)=些。故当x∈(1，3)时．函数总有最小值。因此。检测台设在 V 该线段M2M，上(除去两端点)的任一点均可。 参考文献： [1]李勤俭．关注绝对值[J]．中学数学教学参考，2005(4)． [2]翟斌，郭亚琴．一道高考题的探究与引申叩]．中学数学教学参 考。2006(10) (湛江师范学院附属巾学．作者系华南师范犬学2006级教 仃顾上) 万方数据 一次绝对值函数的最值问题 作者： 刘峥嵘 作者单位： 湛江师范学院附属中学 刊名： 成才之路 英文刊名： WAY OF SUCCESS 年，卷(期)： 2008(4) 参考文献(2条) 1.翟斌;郭亚琴 一道高考题的探究与引申 2006(10) 2.李勤俭 关注绝对值 2005(04) 本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_cczl200804036.aspx