利用极值求最值时存在的问题

第23卷第l期 沧州师范专科学校学报 No．1V01．23 2007年3月 JournalofCangzhouTeachers’College Mar．2007 利用极值求最值时存在的问 王金花，李杰 (1．沧州师专数学系．河北沧州06l001；2．沧州市一中，河北沧州061001) 摘要：就提法“--．,L或多元连续#函数#若在区间或区域上有唯一的极值点，则该极值点必为最值点”的正确 性进行讨论。 关键词：连续；极值；最值；正定二次型；负定二次型 中图分类号：01741 文献码：A 文章编号；1008．-．4762(2007)01-0044-03 在日常生活实践中，经常遇到求函数最值的问题。求函数 最值时，往往先求出函数的极值，再讨论该极值是否为最值。 众多版本的教科上都提到，一元或多元连续函数若在区间或 区域上有唯一的极值点，则该点必为最值点。本文将对一元函 数证明该说法的正确性，对多元函数将通过反例说明该说法是 错误的。本文还将证明一类特殊二元函数对于上述提法的正确 性。 定理1—元函数Y=，(z)在区间I上连续，，(力在I 上有唯一的极值点‰。若％是，(x)的极小(大)值点，则 xo是f(x)的最小(大)值点。 证明 设而是，(工)的极小值点，则存在xo的邻域 U(xo)c，，使得沌∈U(xo)都；fff(x)≥f(xo)。因 0 为％是唯一的极值点，胱AVxeU(xo)有厂(工)>f(xo) 可知，存在考∈(‘，工2)，使得．厂晦)=f(xo)。叉厂(曲率 区间[Xo，考】上连续，从而有最大值M和最小值in，又因为 而∈(Xo，喜)，f(x。)>f(Xo)=-厂(考)，所以，(石)在 (Xo，孝)上取到最大值M，此最值点必为极值点，-与f(x)6t 有—个极值点而矛盾。 例l 求函数厂(工)=√iln工在区间(o，佃)上的 最值。 解川加等-o'得⋯-2 ．厂弋x)：1-lnx，，，(P_2)>o，所以．厂(石)在区间 4xVx (否则极值点不唯一)。下证％是，(z)的最小值点，即(o，十*)上有唯一的极值点，且为极小值点，所以，(工)有最 VxeJ，，(z)≥f(xo)。 反证法设存在屯∈I，使得厂(屯)f(xo)。由连续函数的介值性 小值，(P一2)：兰 P 定理1中函数改为多元函数，结论不一定成立。即n 元函数，(^，屯人，X。)在尺”中的区域Q上连续，且有唯 一的极值点，该极值点不一定是最值点。看下面例子： 例2 求函数厂(工，)，)=3xy—X3一y3在R2上的 ·收稿日期：2006-11—11 作者简介：王金花(1963一)，女．河北河问人，沧州师专数学系副教授。 ·44· 万方数据 极值与，值。 无极值也无最值：若曰2一AC<0，则，o，y)在 辩解方程组{务曷x,y)，==33zy一-33yx2：=：三得驻点。‰砒，取雅，A>。时融帕，A<。时取极大值， ( o’ o ) 和 ( 1 ， 1 )。 由于 -vi正(Xo,Yo)是，0，_)，)的最值点。 A=厶∞=Q曰=厶㈣=3c=厶(c卿=Q铲一AC>O ， 所以(0，0)不是极值点。由于 A一．疋J㈣=—6公式

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