构造向量求函数最值

构造向量求函数最值 李建新 !福建省永春崇贤中学 "#$#%&’ 孙建斌 !福建省永春县科委 "#$#%%’ 函数最值问题(屡屡出现在国内外各类 竞赛中)适当构造向量(可使一类函数最 值问题的思路清晰(解题简捷巧妙(并富 于规律性*趣味性) 定理 +(,为两个向量(则 -+-$.!+/,’ $ -,-$ ) 证明 设两向量的夹角为 0(则 -+-$1-+- $/-,-$ -,-$ . -+-$-,-$234$0 -,-$ 1 !+/,’$ -,-$ ( 证毕) 5 构造向量(求整函数最值 例 5 求实数 6(7的值(使得!78&’$9 !6978"’$9!$6978#’$达到最小值) !$%%&年全国初中联赛试题’ 解 构造 +1!78&(6978"($6978 #’(,1!8&($(8&’(依定理(则!78&’$9!6 978"’$9!$6978#’$1-+-$.!+/,’ $ -,-$ 1!879&9$69$78#8$6879#’ $ !8&’$9$$9!8&’$ 1 & #( 当且仅当78& 8&1 6978" $ 1 $6978# 8& ( 即 6 1 :$(71 : # 时(该式取最小值 &#) ; 构造向量(求分式函数最值 例 ; 已知 6(7(<=!%(9>’(且 6 $ &96$ 9 7 $ &97$9 <$ &9<$1 $( 求 6 &96$9 7 &97$9 < &9<$ 的最大值) !&??%年首届@希望杯A全国数学邀请赛 备选题’ 解 由 6 $ &96$9 7$ &97$9 <$ &9<$1$( 易得 & &96$9 & &97$9 & &9<$1 &( 构 造 +1 ! 6 &96B $ ( 7 &97B $ ( < &9(于是.4!$58$69.2>(即’>2 4!$58$692>1 ? 构造向量(求解一类恒成立问题 例 ? 设 4@5@6(且 #4’5$ # 5’6/ A 4’6 恒成立(则 A的最大值为* ,1 *"BBB年<希望杯=全国数学邀请赛高二 试题, 解 构造 )%* # +4’5 ( # +5’6 ,(-% + +* 4’5( 5’6,(依定理(则 #4’5$ # 5’6% .)."/*)0-, " .-." % *#$#," *4’5,$*5’6,% 7 4’6( 则 A的最大值是 71 C 构造向量(求三角函数最值 例 C 设函数 + +DEF!’#$ &’DEF! 的 最 大 值 是 G(最 小 值 是 H(则 GH % 1 *#:::年<希望杯=数学邀请赛山西I江 西I天津赛区高二试题, 解 由 #2DEF!2&(易知 +DEF!’#$ + +&’DEF!/ "(H +% "1构 造 )% + +* DEF!’#( &’DEF!,(-%*#(#,(依定 理(知 "%*DEF!’#,$*&’DEF!,%.)."/ *)0-," .-." % + +* DEF!’#$ &’DEF!," #$# % # " + +* DEF!’#$ &’DEF!,"(知 +DEF!’# +$ &’DEF!2"(G%"(故 GH% " +" % +"1 J 构造向量(求对数函数最值 例 J 已知 45%#BBB(4@#(5@#(则 + +#$KL4$ #$KL5的最大值是 1 *第 #&届<希望杯=全国数学邀请赛高二 培训题, 解 构造 ) + +%* #$KL4( #$KL5,(- %*#(#,(依定理(则 M%"$KL#BBB%"$ KL45% *#$ KL4,$ *#$ KL5,% .)."/ + +* #$KL4$ #$KL5," #$# % # " +* #$KL4$ +#$KL5,"(于 是 + +#$KL4$ #$KL52 +#B(知其最大值是 +#B1 N 构造向量(解一类解析几何最值题 例 N 已知点 O*!(8,在椭圆! " 7$ 8" :%# 上(求 "!’8的最大值1 解 构造 )%*!"( 8 &,(-%*7(’&,( 依 定理(知 #%! " 7$ 8" :%.). "/*)0-, " .-." % *"!’8," 7"$*’&,"% *"!’8," "M ( 即*"!’8,"2"M(故 "!’8的最大值是 M1 综上所述(构造向量(求一类函数最值有 如下特点P应用广泛I解法简便I解题富于规 律(容易掌握(应引起重视1 练习 *#,已知实数!(8满足!"$8"’"!$78 %B(求!’"8的最值1*#:QQ年广东省高考题, *",已知实数 !(8满足方程*!$","$8" 0#&0"BB&年第 &期 中学数学月刊 万方数据 !"#则$%"&%’ 的最小值是 ( )第 "*届+希望杯,邀请赛高二试题- ).-函数 $ / /! "001%&2 &%"00. 的值域是 ( )"001年上海市高三数学竞赛试题- )1-设&#$#34)*#25-#试求"&2 1 $2 0 3 的最小值()"00*年日本678选拔赛试题- )9-设&#$4)*#25-#且"0&2 0: $!"# 则 &2$的最小值是 ( )"00:年湖南省高中数学竞赛试题- 提示与答案 )"-&%’$的最小;最大值分别为 *#"*( 构造 # 构造 &%’>2"-#=!)>#%"-( ).-值域 /?"# ’@(由定义域 "00.A& A"001#知 $B"#构造 < /!) "001%&# /&%"00.-#=!)"#"-( )1-最小值 .C(构造 参数

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