高考中三角函数求最值问题归纳

版 重要内容，也是高考中的常见题型， 现对j角函数的求最值问题进行归 类研究，供同学们借鉴． 一、化成Y=Asin(山z+够)的形 式 倒，在直角三角形中，两锐角 为A和B，求sinAsinB的最大值． 解：sinAsinB=sin Asin(旦2 A)一sinAcosA一—虿1 sin2A，由o< A<詈，得0<2A<丌，则当A一手 It寸,sinAsinB有最大值丢． 倒2求函数，(z)一COS4 z一 2sinzcosz—Sin4z在[0，詈]上的 最大值和最小值． 解：f(2‘)一COS4T一2sin．／'COST —sinlT一(COS2z+sin2z)(COS23- 一Sin2z)一sin2z =COS2x--sin222一在sin2工一手)． 由o≤T≤昙，得 詈≤2z一詈≤警，一譬≤ sin2x一‘})≤1，则一厄≤一抠sin(2z一号)≤1． 则当z一0n,-t，厂(z)。。。一1； 当严警时，／(“。 妊． 点评：求解这类题目的思路是把问题化归为 ／‘(z)一Asin(ojx+9)+是的形式．一般而言，．／(，)。。 一{A|+是，．，’(上)⋯一一IAI+k，但若附加了丁的取 值范围，最好的方法是通过图像加以解决． 二、形如y。篡罴专蔫的形式 例，求函数y5詈兰乏的最大值和最小值． 解：由已知得ycosT一2y—sinz一1．即sinz— ycosz一1—2y，~／y2+1·sin(x+妒)一1—2y．所以 sin(T+P)=朵．因为jsin(工十妒)【≤1， l一2v q妒七1≤1，即3y2—4y≤o，解得o≤y≤鲁，故 ‰一号帆产o． 界性，转化为以函数v为主元的不 等式，是解决这类问题的最佳方法． 虽然本题可以使用万能公式。或利 用圆的参数方程和斜率公式去求 解，但都不如上述解法简单易行．有 兴趣的同学不妨试一试． 三、形如j，2ncssiinn．丁r+J-d厅。的I 。形式 “oIII』f， 倒 卑 求函数y一黯的 最大值和最小值． 解： y 一!!i翌兰二! sinz一2 3—2Sinz sinj·一2 一一!堕翌兰二；!±!一 sin工——2 ·jL≮一2．南一1≤sin丁≤1，得 SIn工——Z 一3≤sin工一2≤～1，一1≤。—L SInZ—— ≤一丢。告≤一五番i≤ 上一2≤一1． sin．27—2 。、 1’ 1．即一要 j 所以Y。。一一1，Y⋯一一姜． 点评：此题是利用了分离分母的方法求解的．若 用例3的解法同样可求，有兴趣的同学不妨试一下， 并作解法对比． 四、利用sina与COSa之间的关系 侧F 求函数Y—sinT—COS丁+sin．TCOS上的最 大值和最小值． 解：设t—sin工一cos丁一厄sin(J一旱)，则 一以(／"-'-L-f≤以，且。inI'COSj：L≠．由于y一￡+ 旦亏￡一告(f一】)z4-l，故当f—l时。y。。。一1；当 t～厄时，Y。。一一在一妻． 点评：sina+COS口，sin口一COS口，sinO'COSa这三者 之间有着相互制约、不可分割的密切联系．sinaCOSa 是纽带，三者之间知其一，可求其二．令t=sinz— COS工换元后依题意可灵活使用配方法、重要不等式、 函数的单调性等方法来求函数的最值． (责任编辑徐利杰) 选定一个目标，然后疯狂地去追逐 一daiqiankun@sina．cn 中学生数理亿高 万方数据 高考中三角函数求最值问题归纳 作者： 武卫红 作者单位： 刊名： 中学生数理化（高二版） 英文刊名： MATHS PHYSICS & CHEMISTRY FOR MIDDLE SCHOOL STUDENTS(MIDDLE SCHOOL EDITION) 年，卷(期)： 2010(7) 本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zxsslh-geb201007007.aspx