排列与组合

选修2－3　排列与组合 例1．（2011全国理7）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友 每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 (A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种 例2．（2011全国文9）4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有 (A)12种 (B)24种 (C)30种 (D)36种 排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略． 一、基础知识 1．两个计数原理 分类计数原理：完成一件事，有 类办法，在第1类办法中有 种不同的方法，在第2类办法中有 种不同的方法，…，在第 类办法中有 种不同的办法，那么完成这件事共有 种不同的方法． 分步计数原理：完成一件事需要分成 个不同的步骤，做第1步有 种不同的方法，做第2步有 种不同的方法，…，做第 步有 种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法． 2．排列与组合 （1）排列的概念及排列数公式： 排列的概念：一般地，从 个不同元素中取出 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列． 从 个不同元素中取出 个元素的所有排列的个数，叫做 个不同元素中取出 个元素的排列数，用符号 示．特别地， 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 个不同元素的一个全排列，记为 ． 排列数公式： ， (其中 ， ) 特别地， ，叫做 的阶乘． （2）组合的概念及组合数公式、组合数的性质： 组合的概念：一般地，从 个不同元素中取出 个元素并成一组，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个组合． 组合数公式：从 个不同元素中取出 个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出 个元素的组合数，用符号 表示． 组合数公式： ， (其中 ， ) 组合数性质公式： ； ． 二、方法讲解 1．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列． 例1． 五人并排站成一排，如果 必须相邻且 在 的右边，那么不同的排法种数有 A、60种 B、48种 C、36种 D、24种 解析：把 视为一人，且 固定在 的右边，则本题相当于4人的全排列， 种，答案： ． 2．相离问题插空排：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端． 例2．七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种 解析：除甲乙外，其余5个排列数为 种，再用甲乙去插6个空位有 种，不同的排法种数是 种，选 ． 3．定序问题缩倍法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法． 例3． 五人并排站成一排，如果 必须站在 的右边（ 可以不相邻）那么不同的排法种数是 A、24种 B、60种 C、90种 D、120种 解析： 在 的右边与 在 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即 种，选 ． 4．标号排位问题分步法：把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成． 例4．将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 A、6种 B、9种 C、11种 D、23种 解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选 ． 5．有序分配问题逐分法：有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法． 例5．（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是 A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种 解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有 种，选 ． （2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配有 A、 种　B、 种　C、 种　D、 种 答案： ． 6．全员分配问题分组法： 例6．（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？ 解析：把四名学生分成3组有 种方法，再把三组学生分配到三所学校有 种，故共有 种方法． 说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配． （2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为 A、480种 B、240种 C、120种 D、96种 答案： ． 7．名额分配问题隔板法： 例7．10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？ 解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为 种． 8．限制条件的分配问题分类法： 例8．某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？ 解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况： ①若甲乙都不参加，则有派遣方案 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有 方法，所以共有 ；③若乙参加而甲不参加同理也有 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有 种，共有 方法．所以共有不同的派遣方法总数为 种． 9．多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计． 例9．（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有 A、210种 B、300种 C、464种 D、600种 解析：按题意，个位数字只可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有 、 、 、 和 个，合并总计300个,选 ． （2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？ 解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做 共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做 共有86个元素；由此可知，从 中任取2个元素的取法有 ，从 中任取一个，又从 中任取一个共有 ，两种情形共符合要求的取法有 种． （3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？ 解析：将 分成四个不相交的子集，能被4整除的数集 ；能被4除余1的数集 ，能被4除余2的数集 ，能被4除余3的数集 ，易见这四个集合中每一个有25个元素；从 中任取两个数符合要；从 中各取一个数也符合要求；从 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有 种． 10．交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式 ． 例10．从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？ 解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有： EMBED Equation.DSMT4 种． 11．定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。 例11．1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？ 解析：老师在中间三个位置上选一个有 种，4名同学在其余4个位置上有 种方法；所以共有 种． 12．多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理． 例12．（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是 A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种 解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共 种，选 ． （2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？ 解析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有 种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有 种，其余5个元素任排5个位置上有 种，故共有 种排法． 13．“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法：抽取两类混合元素不能分步抽． 例13．从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有 A、140种 B、80种 C、70种 D、35种 解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有 种,选． 解析2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有 台,选 ． 14．选排问题先取后排：从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法． 例14．（1）四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？ 解析：“先取”四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有 种，“再排”在四个盒中每次排3个有 种，故共有 种． （2）9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？ 解析：先取男女运动员各2名，有 种，这四名运动员混和双打练习有 中排法，故共有 种． 15．部分合条件问题排除法：在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求． 例15．（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有 A、70种 B、64种 C、58种 D、52种 解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成 四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有 个． （2）四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有 A、150种 B、147种 C、144种 D、141种 解析：10个点中任取4个点共有 种，其中四点共面的有三种情况：①在四面体的四个面上，每面内四点共面的情况为 ，四个面共有 个；②过空间四边形各边中点的平行四边形共3个；③过棱上三点与对棱中点的三角形共6个．所以四点不共面的情况的种数是 种． 16．圆排问题线排法：把 个不同元素放在圆周 个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列 个普通排列： 在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同， 个元素的圆排列数有 种．因此可将某个元素固定展成线排，其它的 元素全排列． 例16．5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？ 解析：首先可让5位姐姐站成一圈，属圆排列有 种，然后在让插入其间，每位均可插入其姐姐的左边和右边，有2种方式，故不同的安排方式 种不同站法． 说明：从 个不同元素中取出 个元素作圆形排列共有 种不同排法． 17．可重复的排列求幂法：允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地 个不同元素排在 个不同位置的排列数有 种方法． 例17．把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？ 解析：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有 种不同方案． 18．复杂排列组合问题构造模型法： 例18．马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？ 解析：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯 种方法,所以满足条件的关灯方案有10种． 说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决． 19．元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法： 例19．设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？ 解析：从5个球中取出2个与盒子对号有 种，还剩下3个球与3个盒子序号不能对应，利用枚举法分析，如果剩下3，4，5号球与3，4，5号盒子时，3号球不能装入3号盒子，当3号球装入4号盒子时，4，5号球只有1种装法，3号球装入5号盒子时，4，5号球也只有1种装法，所以剩下三球只有2种装法，因此总共装法数为 种． 20．复杂的排列组合问题也可用分解与合成法： 例20．（1）30030能被多少个不同偶数整除？ 解析：先把30030分解成质因数的形式：30030=2×3×5×7×11×13；依题意偶因数2必取，3，5，7，11，13这5个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为 个． （2）正方体8个顶点可连成多少队异面直线？ 解析：因为四面体中仅有3对异面直线，可将问题分解成正方体的8个顶点可构成多少个不同的四面体，从正方体8个顶点中任取四个顶点构成的四面体有 个，所以8个顶点可连成的异面直线有3×58=174对． 21．利用对应思想转化法：对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理． 例21．（1）圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点最多有多少个？ 解析：因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的10个点可以确定多少个不同的四边形，显然有 个，所以圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有 个． （2）某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从 到 的最短路径有多少种？ 解析：可将图中矩形的一边叫一小段，从 到 最短路线必须走7小段，其中：向东4段，向北3段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要确定向东走过4段的走法，便能确定路径，因此不同走法有 种． � PAGE 1 _1240030417.unknown _1240054002.unknown _1240056590.unknown _1240063343.unknown _1240132696.unknown _1240569484.unknown _1240569529.unknown _1240569612.unknown _1240569723.unknown _1240569757.unknown _1240569543.unknown _1240569504.unknown _1240133027.unknown _1240133513.unknown _1240133524.unknown _1240133959.unknown _1240133037.unknown _1240132738.unknown _1240064793.unknown _1240132102.unknown _1240132156.unknown _1240129994.unknown _1240130361.unknown _1240065214.unknown _1240063421.unknown _1240063922.unknown _1240063367.unknown _1240057140.unknown _1240057660.unknown _1240062879.unknown _1240062932.unknown _1240063279.unknown _1240062910.unknown _1240057816.unknown _1240057329.unknown _1240056886.unknown _1240057100.unknown _1240056861.unknown _1240055359.unknown _1240056255.unknown _1240056442.unknown 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