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第4章 第7节 一、选择题 1．在△ABC中，AB＝eq \r(3)，A＝45°，C＝75°，则BC等于(　　) A．3－eq \r(3)　　　　　　　 B.eq \r(2) C．2 D．3＋eq \r(3) []　A [解析]　由eq \f(AB,sinC)＝eq \f(BC,sinA)得BC＝3－eq \r(3). 2．(2008·安徽)在三角形ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC的大小为(　　) A.eq \f(2π,3)　　 　 B.eq \f(5π,6)　　 　 C.eq \f(3π,4)　　 　 D.eq \f(π,3) [答案]　A [解析]　cos∠BAC＝eq \f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝－eq \f(1,2). ∵0<∠BAC<π，∴∠BAC＝eq \f(2π,3). 3．在△ABC中，cos2eq \f(A,2)＝eq \f(b＋c,2c)，则△ABC的形状为(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 [答案]　A [解析]　∵cos2eq \f(A,2)＝eq \f(b＋c,2c)，∴eq \f(1＋cosA,2)＝eq \f(b＋c,2c)， 即cosA＝eq \f(b,c)，又由余弦定理知， cosA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，∴eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(b,c)， ∴a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形． 4．(2010·天津理)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝eq \r(3)bc，sinC＝2eq \r(3)sinB，则A＝(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° [答案]　A [解析]　由余弦定理得：cosA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)， 由题知b2－a2＝－eq \r(3)bc，c2＝2eq \r(3)bc，则cosA＝eq \f(\r(3),2)， 又A∈(0°，180°)，∴A＝30°，故选A. 5．已知△ABC的三个内角为A、B、C，所对的三边分别为a、b、c，若△ABC的面积为S＝a2－(b－c)2，则taneq \f(A,2)等于(　　) A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,8) D．1 [答案]　B [解析]　由于S＝eq \f(1,2)bcsinA，又S＝a2－b2－c2＋2bc，由余弦定理知a2－b2－c2＝－2bccosA， ∴eq \f(1,2)bcsinA＝－2bccosA＋2bc⇒sinA＝4(1－cosA) ⇒2sineq \f(A,2)coseq \f(A,2)＝4×2sin2eq \f(A,2)⇒taneq \f(A,2)＝eq \f(1,4). 6．锐角三角形ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，设B＝2A，则eq \f(b,a)的取值范围是(　　) A．(－2,2) B．(0,2) C．(eq \r(2)，2) D．(eq \r(2)，eq \r(3)) [答案]　D [解析]　∵eq \f(b,a)＝eq \f(sinB,sinA)＝eq \f(sin2A,sinA)＝2cosA，又△ABC是锐角三角形，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(B＝2A<90°,A＋2A>90°))∴30°分析

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