ch01_1～ch01_2离散时间信号和系统的时域分析

nullnull第一章 离散信号与系统分析基础1.1～1.2 离散信号与系统的时域分析 1.3 离散信号的频域分析 1.4 离散系统的频域分析 1.5 双边z变换与反变换 1.6 离散系统的系统函数 1.7 全通滤波器与最小相位系统 1.8 信号的抽样与重建学 习 要 求学 习 要 求1.掌握基本序列的定义和特性，序列的线性卷积、周期卷积和相关计算。 2.掌握线性时不变离散系统的特性，以及系统因果性和稳定性等概念。3.掌握系统单位脉冲响应h[k]的物理概念，以及离散系统的零状态响应求解。4.掌握离散信号与系统频域分析的基本概念及方法。5.掌握双边z变换及性质，以及根据系统函数H(z)分析系统特性的方法。 6.掌握从频域分析信号抽样与信号重建。 重 点 和 难 点 重 点 和 难 点 本章的重点是离散序列的基本运算和频域分析 本章的难点是时域抽样和频域抽样 null离散信号与系统的时域分析 离散信号的示 离散序列的产生 基本序列 序列的基本运算 系统分类 单位脉冲响应 利用MATLAB求解离散LTI系统响应null 一.序列 1.信号及其分类 (1).信号 信号是传递信息的函数,它可表示成 一 个或几个独立变量的函数。 如，f(x); f(t); f(x,y)等。 (2). 连续时间信号与模拟信号 在连续时间范围内定义的信号,幅值为连续的信号称为模拟信号,连续时间信号与模拟信号常常通用。null(3). 离散时间信号与数字信号 时间为离散变量的信号称作离散时间信号；而时间和幅值都离散化的信号称作为数字信号。null为了方便，通常用x[n]表示序列﹛x[n]﹜。2.序列: 离散时间信号又称作序列。通常，离散时间信号的间隔为T，且是均匀的，故应该用x[nT]表示在nT的值,由于x[nT]存在存储器中,加之非实时处理,可以用x[n]表示x[nT],即第n个离散时间点的值,这样x[n]就表示一序列数,即 序列：{x[n]}。 3、信号或序列在MATLAB中的表示：MATLAB用向量表示一维采样数据序列或信号。向量可看作是n×1或1 ×n矩阵，n是采样数。列向量表示单通道信号。多通道信号用矩阵表示。每一列就代表一个通道。每一行对应一个采样点。null1-2-101n0nnullnull2.单位阶跃序列 u[n]nullnull3.矩形序列nullnull4.实指数序列，a为实数nullnull5.正余弦型序列 MATLAB函数cos(或sin)可用来产生正、余弦序列。其中，ω0为数字频率。周期性序列:如果存在一个最小的正整数N,满足x[n]=x[n+N],则序列x[n]为周期性序列,N为周期。余弦型序列是否为周期序列? 周期为多少?那么余弦型序列为周期序列,周期为Nm,N为不可约的正整数null例1-1 P4当角频率ω0从0增加到时,余弦序列幅度变化逐渐加快,即频率增加 当ω0从 增加到2时,余弦序列幅度变化逐渐变慢,即频率下降增加 cos(ω0k)= cos[(2n+ω0)k]  <ω0 2 两个余弦序列的角频率相差2 的整数倍时，是同一个序列。 最高频率:  高频信号:角频率在(奇数倍)附近的余弦序列 低频信号:角频率在0或2(偶数倍)附近的余弦序列null6．虚指数序列 和 正弦序列利用Euler 公式可以将正弦序列和虚指数序列联系起来，即MATLAB函数cos(或sin)可用来产生正、余弦序列。null   周期性：即ω0N = m·2 ， m = 正整数时，信号是周期信号。 null的振荡频率不随角频率ω0的增加而增加。   振荡性：两个虚指数序列的角频率相差2 的整数倍时，是同一个序列。null7.随机序列 MATLAB提供：rand(1,N)产生其元素在[0,1]之间均匀分布，长度为N的随机序列。randn(1,N)产生均值为0，方差为1，长度为N的Giassian随机序列。null8.周期序列 nullnull序列的周期性和对称性null任意序列可表示成单位抽样序列的位移加权和.null例:可看作：nullnullnullsigfold.mnull即表示n以前(包含n）的所有x[n]的和。nullnullnull(i)卷积和运算卷积积分：求连续线性时不变系统输出响应的主要方法； 卷积和： 求离散线性移不变系统输出响应的主要方法； 对于两个序列x[n]和h[n]),其卷积和序列y[n]定义：根据卷积和的定义，可以看出卷积和运算实际上包括四个步骤：翻褶、移位、相乘以及相加 卷积和运算与两个序列的先后次序无关 两个序列的卷积时，卷积所得序列的起点等于两个序列起点之和，终点等于两个序列的终点之和，序列长度等于两个序列的长度之和减一。conv_m.m卷积运算满足交换律！null例1：已知x1[k]*x2[k]= y[k]，试求y1[k]= x1[k-n]*x2[k-m]。 解： y1[k]= y[k-(m+n)]求： y[k]=x[k]* h[k]的非零范围。 解：N1+N3 k  N4+N2序列卷积的基本特性 两个序列的卷积时，卷积所得序列的起点等于两个序列起点之和，终点等于两个序列的终点之和，序列长度等于两个序列的长度之和减一。null举例：线性卷积和的求法。设序列x[n],h[n],它们的卷积和y[n]定义为：卷积和计算分四步：折迭(翻褶)位移相乘相加例：null求：解： 1. 翻褶 .以m=0为对称轴，折迭h[m] 得到h[-m]，对应序号相乘，相加 得 y[0]； 2. 位移一个单元，对应序号相乘，相加 得 y[1]； 3. 重复步骤2，得y[2]，y[3]，y[4],y[5] 如下所示。 null在亚变量坐标m上作出x[m],h[m]null翻褶h(m)移位1得：y[0]y[1]………nullnull(j)奇偶合成evenodd.mnull（k）相关运算（p8）在数字信号处理中，相关（线性相关）是一个很重要的概念。相关是两个序列相似程度的一种度量，通常利用相关来分析随机信号的功率谱密度，对确定信号的分析也有一定的作用。在这里我们暂只讨论实值序列的相关。对于实值序列而言，相关函数的定义和卷积和公式相似，因而我们求相关序列时，也可以用卷积和来求。MATLAB中提供函数xcorr来计算‘相关’。相关运算不满足交换律！null例: x[k]={2, 1, -2, 1}， y[k]={-1, 2, 1, -1} 试计算互相关函数rxy[n] 和rxy[n]，以及自相关函数rx[n]。 解：根据序列的相关运算定义可得 nullnullx=[3,11,7,0,-1,4,2];nx=[-3:3]; %给定信号 x(n) [y,ny]=sigshift(x,nx,2); %得到 x(n-2) w=randn(1,length(y));nw=ny; %产生 w(n) [y,ny]=sigadd(y,ny,w,nw); %得到 y(n)=x(n-2)+w(n) [x,nx]=sigfold(x,nx); %得到 x(-n) [rxy,nrxy]=conv_m(y,ny,x,nx); %compute crosscorrelation计算互相关 subplot(2,1,1);stem(nrxy,rxy); axis([-4,8,-50,250]);xlabel('迟延量 l') ylabel('rxy');title('互相关: noise sequence1')null序列相关的基本特性(1) rxy[n]=x[-n] * y[n](2) rxy[n]=ryx[-n] rx[n]=rx[-n] (3) rx[0]|rx[n]| 相关与卷积都是信号处理中基础的基础，它们在数学形式和变换上是如此的相似。 相关是衡量两信号的相关性，它在信号能量和谱分析中有很重要的作用； 卷积是联系频域分析和时域分析的纽带。null1.2 离散时间系统的时域分析离散时间系统定义:系统实际上表示对输入信号的一种运算，所以离散时间系统就表示对输入序列的运算，即y[n]=T{x[n]}null DT系统的差分方程表示null1.2.1 系统的分类 设系统具有： 那么该系统就是线性系统，即线性系统具有均匀性和迭加性。 *加权信号和的响应=响应的加权和。 *先运算后系统操作=先系统操作后运算。1、线性系统null2.移不变系统如T{x[n]}=y[n],则T{x[n-m]}=y[n-m], 满足这样性质的系统称作移不变系统。 即系统参数不随时间变化的系统，亦即输出波形不随输入加入的时间而变化的系统。 *移（时）不变null例：分析y[n]=3x[n]+4是不是移不变系统. 解：因为 T[x(n)]=y(n)=3x(n)+4 所以 T[x(n-m)]=3x(n-m)+4 又 y(n-m)=3x(n-m)+4 所以 T[x(n-m)]=y(n-m) 因此， y(n)=3x(n)+4是移不变系统. *系统操作=函数操作null3.因果系统某时刻的输出只取决于此刻以及以前时刻的输入的系统称作因果系统。 *实际工程系统一般是因果系统； *对图象、已记录数据处理以及平均处理的系统可能不是因果系统； * y(n)=x(-n)是非因果系统,因n< 0的输出取决于 n>0时的输入; 线性移不变因果系统的充要条件为:null由于M1+M2+1点滑动平均系统为LTI系统，因此，当M2=0时，系统是因果的。例: 判断M1+M2+1点滑动平均系统的因果性 可得该系统的的单位脉冲响应h[k]为 解： 根据M1+M2+1点滑动平均系统的输入-输出关系null4.稳定系统：有界的输入产生有界的输出系统。 线性移不变稳定系统的充要条件是5、无记忆系统和记忆系统（即时系统）和（动态系统） nullDT系统与系统性质小结null解：(1) 系统线性。所以 系统因果。 3) (4) 当输入信号x[k]有界时，输出信号y[k]可以是无界的，所以系统时变。 系统不稳定。nullnull例1-9 试分别求出累加器nully[n]=x[n]* h[n]Therom: 线性移不变系统的时域零状态响应等于其输入与单位抽样信号响应的卷积和。MATLAB中提供函数conv来计算两个有限长序列的线性卷积。conv函数假定序列从n=0开始。null线性卷积计算null四.线性移不变系统的性质1.交换律2.结合律null3.对加法的分配律null[例]：已知两线性移不变系统级联，其单位抽样响应分别为 h1(n)=δ(n)- δ(n-4); h2(n)=an u(n),|a|<1,当输入x(n)=u(n) 时，求输出。 [解]： w(n)=x(n)* h1(n)=∑x(m) h1(n-m)= ∑u(m) h1(n-m) = ∑u(m) [δ(n-m)- δ(n-m-4)]=u(n)-u(n-4) = δ(n)+δ(n-1)+δ(n-2)+ δ(n-3) y(n)= w(n)* h2(n)=[δ(n)+δ(n-1)+δ(n-2)+ δ(n-3)] * h2(n) = h2(n)+ h2(n-1) +h2(n-2)+ h2(n-3) = an u(n)+ an-1u(n-1)+ an-2u(n-2)+ an-3u(n-3)nullLTI 系统 和 联接● 因果性: h[n]=0, n＜0.(单位抽样响应在n≥0时存在) ● 稳定性: ∑︱h[n] ︳＜∞ ● FIR/IIR: 视 h[n] 长度有限与否. (注: FIR 系统总是稳定的) ● 串联(Cascade) : ● 并联(Parallel ): h[n] =h1[n]﹡h2[n] h[n] =h1[n]+h2[n] 通常LTI 系统具有因果性和稳定性，按大类可分成FIR和IIR：滤波器是设计用来进行‘频率选择’和‘频率分辨’任务的线性时不变系统的通称。所以离散时间LTI系统也称为：数字滤波器。null* 常系数：a0,a1,…,aN ; b0,b1,…,bM 均是常数（不含n）. *阶数：y[n]变量n的最大序号与最小序号之差 ，如 N=N-0. *线性：y[n-k],x[n-m]各项只有一次幂,不含它们的乘积项。常系数线性差分方程：2.解法: 时域：迭代法，卷积和法; 变换域：Z变换法.MATLAB中提供filter子程序用来在给定输入x和系数a、b时求差分方程的数值解。利用MATLAB求解离散LTI系统响应