1.3 函数连续

nullnull同学们：第1章 函数、极限与连续 第1章 函数、极限与连续 1.1 函 数1.2 极 限1.3 连 续1.2.4 极限的运算法则 1.2.2 函数极限的概念1.自变量x 趋于无穷大时函数的极限2.自变量x 趋于某定数 x0时函数的极限1.2.3 无穷小量与无穷大量1.2.4 极限的运算法则 1.2 极 限 1.2.5 两个重要极限→两个重要极限的变换形式：两个重要极限两个重要极限的变换形式：#null1.3.1 函数连续性的概念1.3.3 初等函数的连续性1.3.4 闭区间上连续函数的性质1.3 函数的连续性 1.3.2 函数的间断点 1.3.1 函数连续性的概念1.3.1 函数连续性的概念1.3.1 函数连续性的概念1. 变量的增量 研究函数 y＝x2，当x从初值1增加到终值1.1,函数值 y从1增加到1.21，我们把1.1－1＝0.1称为自变量的增量，把1.21－1＝0.21称为函数 y 的增量。1.3.1 函数连续性的概念null 一般地, 常用x0 示自变量的初值，用 △x表示自变量的增量，则自变量的终值可 表示为x0＋△x，相应地 用△y表示函数值的增量，△y＝f( x0＋△x)－f(x0)则1. 变量的增量2. 函数连续性的定义 函数在x0处连续的意义是指:当自变量在x0处的增量 △x为无穷小量时，函数的增量△y也为无穷小量。 这一定义说明了连续的本质：当自变量变化很微小时，函数值相应变化也很微小.2. 函数连续性的定义定义1-92. 函数连续性的定义定义设f (x)在点 x0 的某邻域内有定义,则称 f (x)在点 x0 连续.2. 函数连续性的定义若null例1证明：证明 f (x) = 3x－1在 x = 1连续.由定义知 f (x) = 3x－1在 x = 1连续.null例2证明：null单侧连续的概念设 f (x)在点 x0 的左(右)邻域内有定义,若则称函数 f (x)在点 x0 左(右)连续.函数 f (x)在点 x0 连续的充要条件是 f (x) 在点 x0 即左连续又右连续.null例3解：设,讨论 f (x) 在点 x = 0 的连续性. 故 在 x=0 左连续.又因为故在x=0非右连续,故在x=0非连续.对自变量的增量对自变量的增量相应函数的增量左连续右连续函数在点连续有下列等价定义:连续性等价定义1.3.1 函数连续性的概念null在开区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如,连续函数null例4证明：证明 f (x) = sin x 在定义域上连续.任取因为由夹逼准则知故sin x 在 x0 连续.由 x0 的任意性知在上连续.null1.3.2 函数的间断点 null1.3.2 函数的间断点 null（1）可去间断点若极限存在,但不等于f (x0),则称x0是f (x)的可去间断点.例如:因为故 x=0 是 f (x) 的可去间断点.函数间断点的分类包括 f (x)在x0处无定义.null（2）跳跃间断点若极限与都存在但不相等，则称x0 是 f (x)的跳跃间断点.称为 f (x)在x0 的跳跃度.null解:跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.例5null第二类间断点若极限与至少有一个不存在,则称x0是f (x)的第二类间断点.例如:因为 故x=0是 f (x) 的第二类间断点.null解:例6#null复合函数连续性若函数 f (u)在 u0 连续,u=g (x)在 x0 连续,且则复合函数在 x0 连续.连续函数的四则运算法则设 f (x) , g (x)都在 x0 连续，则函数在 x0 也连续.基本初等函数在定义域内是连续的.1.3.3 初等函数的连续性null基本初等函数在定义域内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在其定义区间内都是连续的例如：的连续区间为(端点为单侧连续)1.3.3 初等函数的连续性定义区间是指包含在定义域内的区间null初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续;例如:这些孤立点的邻域内没有定义.在0点的邻域内没有定义.注意　null若函数 f (u)在 u0 连续,复合函数在 x0 处极限存在. 且 连续函数的极限运算与函数运算的顺序可以互换,或者说函数符号和极限符号可以互换位置。 这是证明函数连续和计算连续函数的极限常用的。null初等函数求极限的方法代入法(求极限的又一种方法).可以利用初等函数的连续性求极限 由于初等函数是连续函数，所以求初等函数 f (x) 在定义域内的某一点 x0 处的极限，只需求出 f ( x )在 x0 处的函数值 f ( x0 ) 即可。null例9求例10求解：解：例8解：求null例11解：求在 u = 1 连续,所以null例12解：求连续,从而null解例13求null 例14 求解 原式 = = e 2 .null定理1-3 (最值定理）若函数 f (x)在[a, b]上连续,则 f (x)在[a, b]上必有最大(小)值.即: 存在使(证明略)1.3.4 闭区间上连续函数的性质null定理1-4 (介值定理）若函数 f (x)在[a, b]上连续，则对介于 f (a)与 f (b)之间的任何实数c,则, 至少null若函数 f (x) 在[a, b]上连续，且零点定理: 则, 至少存在一点使零点定理(根的存在性)几何意义:一条连续曲线如果两个两侧,则它至少穿过 x 轴端点分别位于 x 轴上下一次.null思考与练习证明：证明方程 x = sinx +2至少有一个不大于令观察(0, 3) , 则方程 f (x) = 0在(0, 3)内至少有一实根,即方程至少有一个不大于3的的实根.3的实根.由零点定理知,null证明：设函数 f (x)在[a, b]连续，且 f (a) b,证方程 f (x) = x在(a, b)内至少有一实根.令在[a, b]上连续,由零点定理知在(a, b)内至少有一实根,即 f (x) = x 在 (a , b) 内至少有一实根.#P21习

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19若自变量在x0处有的增量若自变量在x0处有的增量相应函数的增量左连续右连续函数在点x0连续有下列等价定义:连续性等价定义小 结null在开区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.连续函数函数的间断点函数的间断点#初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质nullP21习题 1 14 16 (1) (3) 18 预习： P23 第2章 2.1导数的概念 学习指导书中第1章部分习题解答作 业