杯赛专题——完全平方数——杨帅
杯赛专题——巧求面积与周长
学而思 杨帅老师
【考点分析】
1、 近几年完全平方越来越受到各类杯赛重视,并且频繁出题,数论里完全平方数绝对是个重要的研
究对象,也是一个大问题。
2、 最重要的要属其前 n 个完全平方数求和公式: 1
6n
S n n= × × ×(n+1)(2 +1),重要的知识点。
3、 前 1000 个自然数中有多少完全平方数并且都分别是什么要了然于胸。
4、 完全平方数的末位数只能是 0 ,1 , 4 , 5 , 6 , 9 ;
5、 奇数的平方的个位数字为奇数,十位数字为偶...
杯赛专
——巧求面积与周长
学而思 杨帅老师
【考点分析】
1、 近几年完全平方越来越受到各类杯赛重视,并且频繁出题,数论里完全平方数绝对是个重要的研
究对象,也是一个大问题。
2、 最重要的要属其前 n 个完全平方数求和公式: 1
6n
S n n= × × ×(n+1)(2 +1),重要的知识点。
3、 前 1000 个自然数中有多少完全平方数并且都分别是什么要了然于胸。
4、 完全平方数的末位数只能是 0 ,1 , 4 , 5 , 6 , 9 ;
5、 奇数的平方的个位数字为奇数,十位数字为偶数;
6、 如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是 6 ;反之,如果完全平方数的
个位数字是 6 ,则它的十位数字一定是奇数;(这个要小心记忆)
7、 在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数;
8、 一个正整数 n是完全平方数的充分必要条件是 n有奇数个因数(包括1和 n本身)。
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【真题回放】
1、( 2008 年第八届“春蕾杯”
数学邀请赛五年级决赛) 4 2 2= × ,9 3 3= × ,16 4 4= × ,…这时
4 9 16、、 这些数叫完全平方数。前500个自然数中所有完全平方数的和是_______.
【分析】 前 500个自然数中最大的完全平方数为 22 22 484× = ,前 500个自然数中所有完全平方数
的和为 2 2 2 2 2 11 2 3 21 22 22
6
+ + + + + = × × × ×" (22+1)(2 22+1)=3795
2、( 2008 年北京“数学解题能力展示”读者评选活动五年级初赛)有 4个不同的数字可组成18个的
四位数,将这18个不同的四位数由小到大排成一排,其中第一个是一个完全平方数,倒数第二个也
是完全平方数,则这18个数中最大的数是________.
【分析】 若由 4个不包含零的数字组成四位数,一共可以组成 4 3 2 1 24× × × = 种;若其中有一个是
零,其余不是零,则少了 3 2 1 6× × = 种,而 24 6 18− = ,即这四个不同的数字中刚好有一
个是 0 。那么可以设其余三个数为: a b c、 、 ,使得 a b c< < 。那么这四个数组成的最小
的数是 0a bc,最大的数是 0cba ,第二大的是 0cb a。要使 0a bc和 0cb a都是完全平方数,
根据性质,完全平方数的末位只能是 0 1 4 5 6 9、、、、、,完全平方数被 4 除的余数是 0 或1。而
0cb a被 4除的余数即 a被 4除的余数,所以 a可取 0 1 4 5 9、、、、,而 0 a b c< < < ,所以 a可取
1 4 5、、;
1a = 时,有1024 和1089 ,检验得到1089 满足;
4a = 时,有 4096 ,检验不满足;
5a = 时,有5041,检验不满足。
最大的数是9810
3、( 2008 年第二届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛笔试二)是否能将1 ~ 16这16个自
然数排成一排,使得任意相邻两个数的和都等于自然数的平方,如果能,请写出排法,如果不能,请
说明理由。
【分析】 1 ~ 16两个数的和最大为15 16 31+ = ,小于31的完全平方数有1 4 9 16 25、、、、 。而16只有与9
相加才能得到 31以内的完全平方数,即 25;8只有与1相加才能得到 31以内的完全平方
数 。 所 以 16 8、 在 这 个 数 列 的 两 端 。 之 后 进 行 尝 试 可 以 得 出 排 法
16 9 7 2 14 11 5 4 12 13 3 6 10 15 1 8、、、、、、、、、、、、、、、。
4、( 2007 年第五届“走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛)称能
示成1 2 3 k+ + + +" 的形式的自然数为三角数。有一个四位数 N,它既是三角数,又是完全平方数。
则 ________N = 。
【分析】 (1 )1 2 3
2
k kN k += + + + + =" ,同时 2N a= ,所以 2( 1) 2k k a+ = 。因为 k与 1k + 是连续自
然数,所以 k与 1k + 中必有一个奇数,有 2
2
a× =相邻偶数奇数 。又由相邻自然数互质只,
“奇数”与“
2
相邻偶数 ”也互质,于是设 2m=奇数 , 2
2
n=相邻偶数 ,而 a m n= × 。因
为 2a 为四位数,所以32 99a≤ ≤ ,即32 99m n≤ × ≤ ,又 2m 与 22n 相邻,有 7 12m≤ ≤ 。
当 7m = 时, 2 49m = ,相邻偶数为 50 时, 5n = 满足条件,这时 2 2(7 5) 1225a = × = ,即
1225N =
当 9m = 时, 2 81m = ,相邻偶数为80 和82 都不满足条件;
当 11m = 时, 2 121m = ,相邻偶数为120和122都不满足条件;
故 1225N =
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【经典解析】
1、 (第五届“华杯赛”决赛)将自然数的平方按从小到大依次排列成一串有序数列:1491625364964 ,
问第 612个位置的数字是几?
【分析】 1 ~ 3的平方是一位数,占去3个位置;
4 ~ 9 的平方是二位数,占去 6 2 12× = ;
10 ~ 31的平方是三位数,占去 22 3 66× = 个位置;
32 ~ 99 的平方是四位数,占去 68 4 272× = 个位置;
将1到 99 的平方排成一行,共占去 3 12 66 272 353+ + + = 个位置, 612 353 259− = ,即还
有 259 个位置。
259 51 5 4= × +
从100起到150,共 51个数,它们的平方都是五位数,要占去 259 个位置中的 255个,还
余 4个位置,151 151 22801× = ,从左到右第 4个位置上是 0
2、 有一个由不同数字组成的四位数 A, 2A B= ;已知 A的千位数字是 2,十位数字是1,且 A各个
位数上的数字相加的和为3的倍数。那么这个四位数是几?
【分析】根据完全平方数的性质之一:如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定
是 6 。 A的个位数字是 6 。设百位上的数字是 x,那么 2 1 6 9x x+ + + = + 是3的倍数,又因
为这个四位数各个位数上的数字都不同,所以 3x = 或9 。
若 3x = , 2316 2A = = × 2×3×193,这个 A不是完全平方数,与条件相矛盾,所以 3x = 不成
立。
若 9x = , 2916 2A 2= = × 2×3×3×3×3×3×3 = 54×54 = 54 ,这个 A是完全平方数,符合
所以,这个四位数是 2916
3、(04 南京冬令营)将 1,2,3,……n(n 为大于 4 的整数)这 n 个数分成两组,使每组中任意两
数之和都不是完全平方数,整数 n 可以取得的最大值是( ),并给出一种分组方法
【分析】 若1在第一组,则3一定在第二组,可推出 6 一定在第一组,据此又可推出10一定在第二
组,据此又可推出15第一在第一组,而 215 1 4+ = 。所以 14n ≤ 。尝试分组。
第一组:1、 2、 4、 6 、9 、11、13
第二组:3、5 、 7 、8、10、12、14
经验算符合要求。
4、少年宫游客厅内悬挂着 200 个彩色灯泡,这些灯泡或明或暗,十分有趣。这 200 个灯泡按 1 到 20
0 编号,它们的亮暗
是:
第一秒,全部灯泡变亮;
第二秒,凡编号为 2 的倍数的灯泡由亮变暗,改变原来的亮暗状态;
第三秒,凡编号为 3 的倍数的灯泡由亮变暗,改变原来的亮暗状态;
一般地,第 n 秒,凡编号为 n 的倍数的灯泡由亮变暗,改变原来的亮暗状态;
这样继续下去,每 4 分钟为一个周期。第 200 秒时,明亮的灯泡有( )个。
【分析】 4分钟有 240 秒,200 秒时还不到一个周期。根据奇数个约数的自然数是完全平方数。拉
奇数次的灯亮着,每个灯拉的次数是编号的约数的个数。有奇数个约数的自然数是完全平
方数,比 200 小的完全平方数有 214 196= ,因此亮着的灯有14个
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